高考数学一元二次不等式及其解法大全含练习和答案

一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式()与对应的二次函数（）及一元二次方程（）的关系(简称三个二次之间的关系)学校向鉴别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根有两相等实根没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集注：（1）若时，能够先将二次项系数化为正数，若对应方程有两实根，则可根据“不不大于取两边，不大于取中间”求解集。2．简朴的分式不等式(1)______________；（2）____________(3)___________（4）_____________3.二次不等式恒成立的条件（1）ax2＋bx＋c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________（2）ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切x∈R恒成立的充要条件是___________1．(人教A版教材习题改编)不等式2x2－x－1＞0的解集是()A．(－eq\f(1,2)，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)2．不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集为()A．(－eq\f(1,2)，1]B．{x|x≥1或x＜－eq\f(1,2)}C．[－eq\f(1,2)，1]D．{x|x≥1或x≤－eq\f(1,2)}3．(·福建高考)已知有关x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范畴是________．4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是(－eq\f(1,2)，eq\f(1,3))，则a＋b的值是________．（一）考向1一元二次不等式的解法例1求下列不等式的解集（1）（2）3＋2x－x2≥0；（3）（4）（5）（6）eq\f(2x,x－1)≤1解一元二次不等式的环节：(1)把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配办法或鉴别式法；(3)写出不等式的解集．变式训练1解下列不等式：（1）（2）（3）（4）（5）（6）－1≤x2＋2x－1≤2；（二）考向2三个二次的关系例2已知有关x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集(－1，2)，试求有关x的不等式ax2＋x＋b＜0的解集．【思路点拨】不等式解集的端点值是对应方程的根．(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和对应一元二次方程的两根．(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想办法．变式训练2若有关x的不等式eq\f(ax,x－1)＜1的解集是{x|x＜1或x＞2}，求实数a的取值范畴．（三）考向3含参数的一元二次不等式的解法求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．【思路点拨】先求方程12x2－ax＝a2的根，讨论根的大小，拟定不等式的解集．解含参数的一元二次不等式的环节(1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0，不大于0，还是不不大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程实根的个数，讨论鉴别式Δ与0的关系．(3)拟定方程无实根时可直接写出解集，拟定方程有两个相异实根时，要讨论两实根的大小关系，从而拟定解集形式．变式训练3解有关x的不等式x2－(a＋1)x＋a＜0.（四）考向4不等式恒成立问题若不等式mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范畴．【思路点拨】分m＝0与m≠0两种状况讨论，当m≠0时，用鉴别式法求解．1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＜0；))不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＜0.))2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，普通地，懂得谁的范畴，谁就是主元，求谁的范畴，谁就是参数．变式训练4对任意a∈[－1，1]不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则实数x的取值范畴是________．一种过程解一元二次不等式的普通过程是：一看(看二次项系数的符号)，二算(计算鉴别式，判断方程根的状况)，三写(写出不等式的解集)．两点联想不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(a≠0)的求解，善于联想：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点，(2)方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，运用好“三个二次”间的关系．三个防备1.二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数与否为零的状况．2．解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对鉴别式进行分类讨论，分类要不重不漏．3．不同参数范畴的解集切莫取并集，应分类表述．学时训练1.设集合M=，N=等于（）A．B.(1,3)C.(0,1)D.(-1,0)2.在R上定义运算，若不等式对任意实数成立，则（）A、B、C、D、3．“|x－1|＜2成立”是“x(x－3)＜0成立”的()A．充足不必要条件B．必要不充足条件C．充足必要条件D．既不充足也不必要条件4.定义运算，则不等式的解集为（）A．B.C.D.5.设A＝{x∈Z||x－2|≤5}，则A中最小元素为()A．2B．－3C．7D．06、不等式的解集为的解集为（）A、B、C、D、7．设x∈R，则“x>eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1>0”的()A．充足而不必要条件B．必要而不充足条件C．充足必要条件D．既不充足也不必要条件8.不等式的解集为（）A.B.C.D.9．“有关x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R”是“0≤a≤1”()A．充足而不必要条件B．必要而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不必要条件10.不等式成立的一种必要不充足条件是（）A．B.C.D.11.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范畴为（）A．B.C.D.12、若函数是奇函数，则满足的取值范畴是________13.若不等式的解集是[-4,3]的子集，则的取值范畴是________14．已知不等式|x－2|＞1的解集与不等式x2＋ax＋b＞0的解集相等，则a＋b的值为________．15.设命题p：2x2－3x＋1≤0；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若命题p是命题q的必要不充足条件，则实数a的取值范畴是________．不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范畴是________．一元二次不等式及其解法答案1、D【解析】∵2x2－x－1＝(x－1)(2x＋1)＞0，∴x＞1或x＜－eq\f(1,2).故原不等式的解集为(－∞，－eq\f(1,2))∪(1，＋∞)．2、A【解析】原不等式等价于.∴原不等式的解集为(－eq\f(1,2)，1]．3、(0，8)【解析】∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立，∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0<a<8.4、－14【解析】由已知得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－eq\f(1,2)，eq\f(1,3).则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3),\f(2,a)＝（－\f(1,2)）×\f(1,3)))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－12，,b＝－2，))∴a＋b＝－14.典例分析：例1：（1）原不等式可化为故原不等式的解集为（2）原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，故原不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．（3）原不等式可化为故原不等式的解集为（4）原不等式可化为原不等式的解集为（5）原不等式可化为故原不等式的解集为(6)∵eq\f(2x,x－1)≤1⇔eq\f(2x,x－1)－1≤0⇔eq\f(x＋1,x－1)≤0⇔∴原不等式的解集为[－1，1)．变式训练1（1）∴原不等式的解集为（2）原不等式可化为∴原不等式的解集为（3）∵－2x2－5x＋3＞0，∴2x2＋5x－3＜0，∴(2x－1)(x＋3)＜0，∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜eq\f(1,2)}．（4）原不等式可化为∴原不等式的解集为（5）原不等式可化为∴原不等式的解集为（6）这是一种双向不等式，可转化为不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1≥－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x≥0，①,x2＋2x－3≤0.②))由①得x≥0或x≤－2；由②得－3≤x≤1.故得所求不等式的解集为{x|－3≤x≤－2或0≤x≤1}.例2由于x2＋ax＋b＜0的解集是(－1，2)，因此eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2.))故不等式即为－x2＋x－2＜0，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＜0，,Δ＝1－8＝－7＜0))∴不等式ax2＋x＋b＜0的解集为R.,变式训练2解：eq\f(ax,x－1)＜1⇔eq\f(（a－1）x＋1,x－1)＜0⇔[(a－1)x＋1](x－1)＜0，由原不等式的解集是{x|x＜1或x＞2}，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＜0，,－\f(1,a－1)＝2))⇒a＝eq\f(1,2).∴实数a的取值范畴是{eq\f(1,2)}．例3∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①a＞0时，－eq\f(a,4)＜eq\f(a,3)，解集为{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－eq\f(a,4)＞eq\f(a,3)，解集为{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－eq\f(a,4)}．总而言之：当a＞0时，不等式的解集为{x|x＜－eq\f(a,4)或x＞eq\f(a,3)}；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜eq\f(a,3)或x＞－变式训练3【解】原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0.当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；当a＝1时，原不等式的解集为空集；当a＜1时，原不等式的解集为(a，例4要使mx2－mx－1＜0对一切实数x恒成立，若m＝0，显然－1＜0；若m≠0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＜0，,Δ＝m2＋4m＜0，))解得－4＜m＜0，故实数m的取值范畴是(－4，0]．,变式训练4【解析】设f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则原问题可转化为一次函数(或常数函数)f(a)在区间[－1，1]上恒正时x应满足的条件，故应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＞0，,f（1）＞0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－5x＋6＞0，,x2－3x＋2＞0，))化为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－2）（x－3）＞0，,（x－1）（x－2）＞0.))解之，得x＜1或x＞3.学时训练1、B解：由，得由，得因此2、C解：对任意实数成立，即对任意实数成立恒成立3.B【解析】∵|x－1|＜2⇔－1＜x＜3，又x(x－3)＜0⇔0＜x＜3.则(0，3)(－1，3)．4、C解：由题意可知原不等式即为，5.B【解析】由|x－2|≤5，得－3≤x≤7，又x∈Z，∴A中的最小元素为－36、C解：由题意知2,3是方程的解7、A【解析】2x2＋x－1>0的解集为{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}，故由x>eq\f(1,2)⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D⇒/x>eq\f(1,2).则“x＞eq\f(1,2)”是“2x2＋x－1＞0”的充足不必要条件．8、B解：由，得则解得9、A【解析】有关x的不等式x2－2ax＋a＞0的解集为R，则Δ＝4a2－4a＜0，解得0＜a＜1，