江西省名校联考2023届高三7月第一次摸底测试数学（文）试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………试卷第=page11页，共=sectionpages33页江西省名校联考2023届高三7月第一次摸底测试数学（文）试题第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知a，，i为虚数单位，则“复数是虚数但不是纯虚数”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．函数在上的值域为（

）A． B． C． D．4．设F为椭圆的右焦点，点，点B在C上，若，则（

）A． B． C． D．5．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算的近似值为（

）A．0.01 B． C． D．6．若x，y满足，则的最小值为（

）A．-6 B．-5 C．-4 D．17．已知四条直线，，，从这三条直线中任取两条，这两条直线都与函数的图象相切的概率为（

）A． B． C． D．8．1750年，欧拉在给哥德巴赫的一封信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E和F分别表示简单凸多面体的顶点数、棱数和面数，则有如下关系：．已知一个正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱，则（

）A．2：3：2 B．4：6：3 C．3：6：4 D．6：15：109．已知双曲线的一个焦点坐标为，当取最小值时，C的离心率为（

）A． B． C．2 D．10．已知数列的前n项和为，且满足，，则（

）A．0 B． C．l D．11．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线与构成，则（

）A．10 B．-10 C．2 D．-2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、解答题12．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若函数在上存在零点，则（

）A．或 B．或 C． D．13．已知数列和的项均为正整数，前n项和分别为，且．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前n项和．14．如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，，，为上靠近的三等分点．(1)若，求证：平面平面；(2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．15．北京时间2022年4月5日，CBA官方公布了2021—2022赛季CBA季后赛1/4决赛赛程表．赛程表显示，1/4决赛将在4月7日（周四）15：00打响，首场比赛是上半区的辽宁本钢迎战山西汾酒股份．其中辽宁队当家球星郭艾伦信心满满，球迷们终于可以一饱眼福．为了更好地预测球员郭艾伦在首战中的发挥情况，球迷们收集了郭艾伦赛前的一场比赛的数据如表所示．上场时间x（分钟）61118243235累计得分y（分）51216223140由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系．(1)请用相关系数说明y与x具有很强的线性相关关系；（精确到0.01）(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测球员郭艾伦在首战中出场时间40分钟的累计得分．（回归方程的斜率与纵截距精确到0.1，累计得分保留整数）附：相关系数线性回归方程的斜率与截距的最小二乘法公式分别为，．参考数据：，．16．已知函数（其中为自然对数的底数）．(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)若在内取得极小值-1，求a的值．17．已知抛物线，，是C上两个不同的点．(1)求证：直线与C相切；(2)若O为坐标原点，，点满足均与C相切，求的值．18．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的圆心为，半径为2．(1)求l和C的极坐标方程；(2)若l与C相交于，两点，求的值．19．已知函数，不等式的解集为．(1)求实数m的值；(2)若正实数a，b满足，，证明：．评卷人得分三、填空题20．若是最小正周期为2的奇函数，则________．21．在中，，，，若，则与夹角的大小为________．22．已知圆台的上、下底面半径分别为，若该圆台的表面积为，母线长为2，且，则________．23．在中，，则________．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】【分析】先求出集合，再由集合的交集即可得出答案.【详解】解：因为，，，，所以,所以．故选:C．2．A【解析】【分析】由纯虚数的定义结合充分、必要条件的定义即可求出答案.【详解】解：由复数是虚数但不是纯虚数知且，而等价于或，所以“复数是虚数但不是纯虚数”是“”的充分不必要条件．故选：A.3．B【解析】【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数在上单调递增，从而可求的值域.【详解】解：易知函数在上单调递增，且，，所以在上的值域为．故选:B．4．C【解析】【分析】先求出，知B为短轴端点，由两点间的距离公式即可求出答案.【详解】解：由题意得，，则，从而．设左焦点为，则，所以B为短轴端点，所以．故选:C．5．D【解析】【分析】求出原函数的导数，得到上过点的切线，即可求出的近视值.【详解】函数，则故上过点的切线为．故选：D6．B【解析】【分析】根据约束条件画出类型域，根据目标函数的几何意义即可求解.【详解】作出满足题设约束条件的可行域，即如图内部（含边界），易得，作直线，将l向上平移，z减小，当l过点时，取得最小值为-5．故选:B．7．B【解析】【分析】根据切线的斜率可求切线的切点，进而根据点斜式求出切线方程，即可判断三条直线中哪些是切线，进而根据古典概型的概率公式即可求解.【详解】由题设，，当，得，若，则，即切点为的切线为；若，则，即切点为的切线为，当，得，若，则切点为，切线方程为：，若，则切点为，切线方程为：，故直线与的图象不相切，所以从已知三条直线中任取两条共有三种情况，与的图象相切只有，故概率为．故选：B8．D【解析】【分析】根据面数乘以每个面的变数除以每个顶点处的棱数可得顶点数，用顶点数乘以每个顶点处的棱数除以2可得棱数，即可求解.【详解】由正多面体每个面都是全等的等边三角形，每个顶点均连接5条棱,可得，解得，所以．故选:D．9．D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程可得，根据基本不等式求最值即可得到，因此可得，即可求离心率.【详解】而且,所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，，又，所以，故选:D．10．C【解析】【分析】由求解即可.【详解】解：．故选:C．11．A【解析】【分析】由图可知点在曲线上，点，点在曲线上，将点代入计算可求，，的值，从而得到结果.【详解】解：由得，其图象为x轴上方（包含x轴上的点）的两个半圆，由“爱心”图知经过点，即，．由“爱心”图知必过点与，所以，得，，从而．故选：A．12．D【解析】【分析】根据正弦定理可求或，分类讨论后可求得符合条件的角.【详解】在中，由正弦定理可得，即，因为，从而或．若，则，而时，，故，故在上没有零点，不符合题意，若，则，而时，，故，故在上存在零点，符合题意．故选：D．13．(1)，(2)【解析】【分析】（1）根据整数的性质可得或，从而可求，，从而可求.（2）利用错位相减法可求.(1)因为和的项均为正整数，所以前n项和也为正整数．又，从而得，所以得或，若，则，与的项均为正整数相矛盾，故不符合题意，所以，．当时，，当时，，所以同理，．(2)记的前n项和为，当时，，，所以；当时，则，①①，得，②由①-②得，化简得，而也符合该式，综上，的前n项和．14．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理及余弦定理，再利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）根据已知条件知当平面平面时，三棱锥的体积最大，再利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理，结合三角形的余弦定理、面积公式及等体积法即可求解.(1)因为是边长为2的正三角形，所以，，又，所以，从而．因为，，在中，由余弦定理得，即．所以，又因为,所以.又因为D为上靠近A的三等分点，所以，在中，由余弦定理得，即．所以，所以．又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．(2)易知三棱锥的体积最大时，平面平面．取的中点，连接，如图所示因为是正三角形，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面所以平面，，在中，，从而，由余弦定理得，在中，，所以在中，,所以，，设点D到平面的距离为d，由，即，解得．所以点到平面的距离为.15．(1)说明见解析(2)，累计得分约为42分【解析】【分析】（1）根据公式计算可得判断即可；（2）根据公式计算可得回归直线方程为，再代入求解即可(1)由题知，，，，所以，即y与x具有很强的线性相关关系．(2)由，，得到回归直线方程为，则当时，，所以球员郭艾伦在首战中出场时间为40分钟时，他的累计得分约为42分．16．(1)(2)【解析】【分析】（1）求导根据导数的几何意义求解即可；（2）讨论，两种情况，分别分析导函数的零点，结合极小值的性质求解即可(1)由可得，当时，，，所以曲线在处的切线方程为，即(2)由（1），当时，，当时，，在上单调递减，故在内不存在极值；当时，由得，，，要使在内存在极小值，，解得，此时在上单调递减，在上单调递增，所以取得极小值，即，解得，．17．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由题意联立直线方程和抛物线方程，然后利用方程有相等的实根证明，即可求证.（2）根据切线的方程和切线PB的方程相交与一点求出，在利用韦达定理即可求解.(1)证明：联立得，因为在C上，则，所以因此直线与C相切．(2)解：由（1）知，切线的方程为，切线的方程为联立，得：，因为，所以．又因为，所以，解得：，所以．18．(1)，(2)20【解析】【分析】（1）先分别求出直线与圆的普通方程，再根据即可求出l和C的极坐标方程；（2）联立直线和圆的极坐标方程，整理可得关于的一元二次方程的形式，利用韦达定理即可得出答案.(1)解：由l的参数方程可得其普通方程为，的极坐标方程为，即；的圆心为，即直角坐标系中的，半径，的直角坐标方程为，即，的极坐标方程为，即；(2)解：由得，，整理可得，两边平方可得，即，，由（1）得，，，．19．(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）分情况讨论解绝对值不等式；（2）根据重要不等式及不等式的性质证明.【详解】（1）解：不等式，即．而又由，得．因为不等式的解集为．所以解得．（2）证明：因为，又由（1）可知，，即，由于，，所以．20．0【解析】【分析】根据函数的周期性和奇偶性可得答案.【