新教材适用2024版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第5讲离散型随机变量的分布列数字特征及超几何分布课件

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第五讲离散型随机变量的分布列、数字特征及超几何分布知识梳理·双基自测名师讲坛·素养提升考点突破·互动探究知识梳理·双基自测知识点一离散型随机变量对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为___________，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为_________随机变量．随机变量离散型知识点二离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的分布列，可用表格表示为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnp1＋p2＋…＋pn标准差aE(X)＋ba2D(X)X01P1－pp知识点四常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布或0－1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为其中p＝P(X＝1)称为成功概率．若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量．2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的．3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(

)(2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(

)(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)√×√(4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(

)(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(

)(6)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．(

)X25P0.30.7×√×AA[解析]

由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，D(X)>D(Y)投资A股票风险高．题组三走向高考4．(2022·浙江)现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝______，E(ξ)＝______.B考点突破·互动探究例1考点一离散型随机变量分布列的性质——自主练透ABC(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，要注意检查每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的概率值相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．C例2考点二离散型随机变量的期望与方差——多维探究B例25C角度3实际问题中的均值、方差问题(2023·吉林长春质监)四名党员教师暑假去某社区做志愿者工作，现将他们随机分配到A，B，C三个岗位中，每人被分配到哪个岗位相互独立．(1)设这四名教师被分配到A岗位的人数为X，求X的分布列及数学期望；(2)求上述三个岗位中恰有一个岗位未分配到任何志愿者的概率．例4求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤：注：求离散型随机变量X的分布列，首先要理解X的意义，准确写出X的所有可能值，其次要准确求出X取各个值时的概率．〔变式训练2〕(1)(角度1)(2022·江苏镇江调研)随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)＝_______.X024P0.40.30.313DB

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．例3考点三超几何分布——师生共研[引申1]用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，则X的分布列为多少？[引申2]用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，则X的分布列为多少？1．超几何分布的特点：(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)超几何分布是不放回抽样问题；(4)随机变量为抽取的某类个体的个数．(5)考查某类个体抽取个数X的概率分布．2．超几何分布的应用超几何分布是一个重要分布，其理论基础是古典概型，主要应用于正品与次品，白球与黑球，男生与女生等实践中的由差别明显的两部分组成的问题．C名师讲坛·素养提升

(2022·四川遂宁诊断)在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取100名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分(满分100分)．体验结束后，该公司将评分制作成如图所示的直方图．例6离散型随机变量的分布列与统计综合(1)将评分低于80分的为“良”，80分及以上的为“优”．根据已知条件完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？

良优合计男

40女

40

合计

(2)为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为[50,60)和[90,100]的顾客中用分层抽样的方法选取了6名顾客发放优惠卡．若在这6名顾客中，随机选取4名再发放纪念品，记体验评分为[50,60)的顾客获得纪念品数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．[解析]

(1)列联表如下：

良优合计男202040女204060合计4060100〔变式训练4〕(2023·贵州联考)某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩(满分：100分)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．(1)估计该校学生成绩的中位数；(2)已知样本中竞赛成绩在[90,100]的女生有3人，从样本中竞赛成绩在[90,100]的学生中随机抽取4人进行