《工程测试与信息处理》课件第2章

第2章信号描述及其分析主讲：王妍玮§2.1信号的分类与描述§2.2周期信号与离散频谱§2.3瞬变非周期信号与连续频谱§2.4随机信号§2.5信号波形的MATLAB实现(课后练习)第二章信号及其描述引言“信号”一词最初起源于“符号”、“记号”，它表示用来作为信息向量的一个物体、一个记号、一种语言的元素、或一个特定的符号等等。信号是其本身在传输的起点到终点的过程中所携带的信息的物理表现。

例如：质量——弹簧系统在受到一个激励后的运动状况，可以通过系统质量块的位移——时间关系来描述。反映质量块位移的时间变化过程的信号则包含了该系统的固有频率和阻尼比的信息。噪声的概念：噪声也是一种信号；任何干扰对信号的感知和解释的现象称为噪声。

信号与噪声的区别纯粹是人为的，且取决于使用者对两者的评价标准。

信号理论必须包括噪声理论。

§2.1信号的分类与描述一、信号的分类

1、按信号的规律分类

2、按函数性质分类

3、按信号能量分类二、信号的时域描述和频域描述若该周期方波用傅里叶级数展开，即得：上式说明该周期方波是由一系列幅值和频率不等，相位角为0的正弦信号叠加而成。例：根据图示周期方波的时域描述，求其函数表达式。n=1、3、5…,信号合成示例信号的频谱在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得出信号的频谱。若以频率为横坐标，分别以幅值或相位为纵坐标，即得到信号幅频谱和相频谱。信号的幅频谱和相频谱：频谱分析应用

在生活中也有许多应用频谱分析的场合，例如可以用频谱分析仪来对电子琴校音，看各琴键产生的音的频率是不是准确等等。

频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。案例：在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障齿轮。案例：螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。

图中结论：任何信号都有相应于时域波形的确定性频率结构即频谱，信号在时域上有所变化，必然引起其频谱发生相应的变化。例：§2.2周期信号与离散频谱周期信号是经过一定时间后可以重复出现的信号，满足条件x(t)=x(t+nT)

周期信号的重要特征：它们可以表示成无穷多个正弦和余弦函数之和。这个正弦和余弦函数的系列称为傅里叶级数。一、傅里叶级数定义二、傅里叶级数展开式三、周期信号的时域波形分析§2.2周期信号与离散频谱§2.2.1周期信号的三角级数展开式一、傅里叶级数定义傅里叶级数：描述周期信号的基本数学工具，通过它可以把周期信号展开成无穷多个正弦或余弦函数之和。它有两种表达形式：三角函数展开式、复指函数展开式。二、傅里叶级数的展开式1、三角函数展开式（条件）①在一个周期内，具有有限个极大值和极小值②在一个周期内有连续或有限个间断点③函数的绝对可积其中：，(n＝1、2、3……)机械工程测试技术基础T――周期，T=2π/ω0；ω0――基波圆频率；f0=ω0/2π

注意：（1）若周期信号为奇函数，则

（2）若x(t)为偶函数时，则（3）x(t)非奇非偶时，或令则，从式可见，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。以角频率ω为横坐标，幅值An或相角Φn为纵坐标作图，则分别得其幅频谱和相频谱图。由于n是整数序列，各频率成分都是ω0的整倍数，通常把ω0称为基频．把成分称为n次谐波。相邻频率间存在间隔，因而谱线是离散的，信号的谱线只会出现在等离散频率点上，周期信号的频谱为离散频谱。

傅里叶级数展开式（三角展开式）其中：任何周期函数，都可以展开成正交函数线性组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数:周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：复习周期信号与离散频谱

从数学意义上，凡是满足“狄里赫莱”条件的周期函数，都可以展开成傅里叶级数。以方波为例分解图x1(t)=sin(t)x2(t)=sin(t)+3sin(t)/3x3(t)=sin(t)+3sin(t)/3+5sin(t/5)x3(t)=sin(t)+3sin(t)/3…+13sin(t)/13利用三角级数展开式回顾：傅里叶级数的三角函数展开式T例：方波信号的频谱频域图时域图→基频↓)sin/1..3sin3/1(sin4)(nwtnwtwtAtx++=p幅频谱图nw相频谱图nw方波信号的时域和频域的描述)sin/1..3sin3/1(sin4)(nwtnwtwtAtx++=p时域频域波形合成

方波信号的合成与分解

2.2.2傅里叶级数的复指数函数形式欧拉公式令：傅里叶级数的三角函数展开式：改为复指数函数展开式：其中：实频谱虚频谱幅频谱相频谱可得：傅里叶级数的复指数展开式：幅频图相频图例：方波信号的频谱展开，在主周期有：三角函数展开式：傅里叶级数展开式-例题：其中：n为奇数复指数函数展开式：方波信号复指数展开式的实、虚频谱和幅、相频谱实频谱虚频谱相频谱频谱图幅频谱例：周期方波频谱图例：求周期方波信号x(t)的频谱

解：根据公式先求出

所以：例：求周期方波信号x(t)的频谱则其频谱为（用正弦函数表达式绘图）：其傅里叶展开式为：三角函数展开形式的频谱是单边谱双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数。两种形式频谱图具有确定的关系：复指数展开形式的频谱是双边谱2.2.3两种展开式的关系1)周期信号频谱是离散的；2)每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，不存在非整倍数的频率分量；

3)各频率分量的谱线高度与对应谐波的振幅成正比。工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。结论：周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性2.2.3周期函数两种展开式的关系2.2.4周期信号的时域波形分析信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。1、信号波形图

2、周期T，频率f=1/T3、峰值P（指波形上与零线的最大偏离值）

：4、双峰值Pp-p（指信号在一个周期内最大幅值与最小幅值之差）tAT

PPp-p峰值在实际应用中有它的价值。对信号的峰值应该有足够的估计，以便确定测试系统的动态范围，不至于产生削波的现象，从而能真实地反映被测信号的最大值。5、均值均值表示集合平均值或数学期望值。0At均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。6.均方值工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。信号的均方值，表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。

7.方差方差：反映了信号绕均值的波动程度。信号x(t)的方差定义为：

大方差

小方差

信号的峰值、绝对值和有效值的检测，可以用三值电压表和普通的电工仪表来测量；各单项值也可以根据需要用不同的仪表来测量，如示波器、直流电压表等。实测时：信号的时域波形分析

7、波形分析的应用(1)信号类型识别(2)信号基本参数识别Pp-p§2.3瞬变非周期信号与连续频谱一、准周期信号及其频谱

离散图例：二、瞬变非周期信号与连续频谱周期信号频谱（离散频谱）瞬变非周期信号（，连续频谱）

机械工程测试技术基础在数学上，上式称为傅里叶积分。

代入两式后，使公式简化为：

当以在上式括号内对时间t积分之后，仅是角频率ω的函数，记做X(ω)，则注意：X(f)称为频谱密度函数。一般是频率f的复变函数，可用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式表示：一般瞬变非周期信号的频谱具有连续性、密度性和收敛性等特性。例如：求矩形窗函数的频谱解：其频谱为，由于代入上式得§2.4随机信号一、概述样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录，记作。随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数的集合(总体)就是随机过程，记作即样本记录：在有限时间区域上的样本函数。随机信号是非确定性信号，具有随机性，每次观测的结果都不尽相同，任一观测值只是在其变动范围中可能产生的结果之一，因此不能用明确的数学关系式来描述。但其变动服从统计规律。可以用概率和统计的方法来描述信号。平稳随机信号和非平稳随机信号噪声信号(平稳)统计特性变异噪声信号(非平稳)二、随机信号的主要特征参数㈠均值、方差和均方值

1、对时间平均均值：动态信号在整个时间坐标上的积分平均。随机信号的静态分量（常值分量）描述信号的波动分量。表示随机信号的强度或平均功率。三者关系

2、对于集合平均式中M——样本记录总数，

——样本记录序号，

——观察时刻

㈡概率密度函数以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐标进行统计分析的方法。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。概率密度函数定义式为：p(x)的计算方法

概率密度函数提供了随机信号沿幅值域分布的信息，是随机信号的主要特性参数之一。不同的信号具有不同的概率密度函数图形，可以借此来识别信号的性质。四种随机信号的概率密度函数

a、正弦信号（初始相角为随机量）b、正弦信号加随机噪声

c、窄带随机信号d、带宽随机信号三、样本参数、参数估计和采样统计误差在实际测试中，以有限长的样本函数来估计总体的特性参数，其估计值通过在符号上方加注“^”来区分，即截取有限时间的样本记录来计算出相应的均值、方差等特征参数。这些参数叫做样本参数。又叫做随机信号特征参数的估计值。随机信号的均值、均方值的估计值在时刻样本均值，均方值的估计值采样统计误差可用均方误差来表示

小结根据信号的不同特征，信号有不同的分类方法。采用信号“域”的描述方法可以突出信号不同的特征。信号的时域描述以时间为独立变量，强调信号幅值随时间变化的特征；信号的频域描述以角频率或频率为独立变量，强调信号的幅值和相位随频率变化的特征。一般周期信号可以利用傅里叶级数进行展开。利用周期信号的傅里叶级数展开可以获得其离散频谱。常见周期信号的频谱具有离散性、谐波性和收敛性。把非周期信号看出周期趋于无穷大的周期信号，有助于理解非周期信号的频谱。利用傅里叶变换可以获得非周期信号的连续频谱，理解并掌握频谱密度函数的含义、傅里叶变换的主要性质和典型信号的频谱并能灵活运用具有重要意义。对于周期信号，同样可以利用傅里叶变换获得其离散频谱，该频谱和利用傅里叶级数的复指数展开的方法获得的频谱是一样的。随机信号只能用概率和统计的方法来描述，以信号的时间平均代替集合平均对于理解随机过程非常重要。习题1：从下面的频谱中读出信号的主要频率成分。500Hz010V习题2：从下面的信号波形图中读出其主要参数。5V-5V0.1秒02.4Flourier变换及应用哈尔滨石油学院机械工程学院1234傅里叶正变换与逆变换傅里叶变换实例傅里叶变换性质傅里叶性质实例目录傅里叶正变换与逆变换正变换

逆变换

二者关系

方便记忆，可以写成：正变换逆变换二者关系正弦波的傅里叶变换t=-pi:0.01:pi;a=sin(t);b=fft(a);subplot(211);plot(t,a);subplot(212);plot(b);准周期信号的傅里叶频谱t=0:0.1:50;yp=sin(2*pi*2*t);yq=sin(2*pi*2.0125*t);y=yp+yq;Y1=fft(y,512);Y2=fft(y,4096);Y1=fftshift(Y1);Y2=fftshift(Y2);c1=[0:255]/51.2;c2=[0:2047]/409;二维图像的傅里叶变换方波的傅里叶变换参考程序：f=1000*(-256:256)/512;y=rectpuls(f,100*pi);subplot(2,1,1)plot(f,y);Y=fft(y);subplot(2,1,2)plot(f,Y);

性质一、线性叠加性x(t)y(t)z(t)=x(t)+y(t)信号的时域表达式性质一、线性叠加性X(f)Y(f)Z(f)=X(f)+Y(f)信号的频域表达式性质二、奇偶虚实性如果x(t)是实偶函数,X(f)也是实偶函数。如果x(t)是实奇函数,X(f)也是虚奇函数。如果x(t)是虚偶函数,X(f)也是虚偶函数。如果x(t)是虚奇函数,X(f)也是实奇函数。性质三、翻转定理x(t)-x(t)x(-

t)性质三、翻转定理X(f)F(-x(t))F(x(-t))性质三、翻转定理信号在时域上绕纵轴翻转180度，在频域上也纵轴翻转180度。信号在时域上绕横轴翻转180度，在频域上也横轴翻转180度。性质四、对称性x(t)FT(x(t))FT(FT(x(t)))=x(-t)性质五、时间尺度不变性时域上压缩a倍，幅值缩小a倍性质六、时移、频移特性时域上向右移动，相当于频率上相位改变性质六、时移、频移特性举例性质八、积分微分特性

性质七、卷积特性A=magic(3);B=ones(3);A(8,8)=0;%