第三章三维几何造型

三维几何造型计算机图形学的许多应用涉及到三维几何信息在计算机内的生成和表示，如飞机、汽车的外形设计，机械零部件的设计，机器人运动的模拟等。这类问题统称为几何造型。几何造型是通过对点、线、面、体等几何元素，经过平移、旋转等几何变换和并、交、差等集合运算，产生满足设计目的的物体模型。机械产品三维几何模型的基本构成要素是空间的点、线、面和体。根据技术发展过程，三维几何模型的建立相应经历了线框(wireframe)、表面(surface)和实体(solid)三种模型。线框模型只是由一组顶点和边构成的。用一切面截取只能生成一组离散交点，不能形成切面的形状。如果我们只关心物体的形状、位置、方位，这种模型是可用的，也是最简单的，占用内存少，处理速度快。表面模型是由一组顶点、边和面构成的。用一切面截取则生成一组点和线，可形成切面的形状。可以表示物体的外表面或数控加工这些表面。实体模型由一组顶点、边、表面和体积构成。用一切面裁取可生成一组点、线和切平面上物体内部面积。可以计算物体的质量特性、动态特性或力学特性，还可进行多个物体间的干涉检查。这种模型最复杂，占用内存多，处理速度慢。实体模型有边界表示、体素构造表示、半空间表示、八叉树表示等方法。线框模型

线框模型是由有限个空间点以及成对点之间相连的边构成的三维几何模型。优点：定义过程最简单；数据存贮量最小，操作灵活，响应速度快；灵活方便的线框功能是进一步构造表面模型和实体模型的工具。缺点：不能唯一定义物体的形状或定义出实际不可能存在的形体；不能自动消除隐藏线；无法计算物体的体积。线框模型的计算机表示线框模型的计算机表示主要包括两类信息，一类是几何信息，定义线框模型中空间点的坐标数据和曲边的定义数据；一类是拓扑信息，定义每条边的两个端点的标号。线框模型的建立方法为了便于建立线框模型，一般设有两种坐标系。一种是总体坐标系，或称模型空间(modelspace)，对当前的线框模型只能统一规定一个；另一种是局部坐标系，或称绘图空间(drawingspace)或工作平面，用户可以随时根据需要定义。一个好的线框造型系统应有丰富多样的点和线的几何定义方法，有方便灵活的局部坐标系操作和快速的视图旋转变换，有必要的投影、作等距线等操作命令。线框模型存在的问题线框模型的表示过于简单，用来表示一个真实物体的约束条件不够充分，可能构造出客观不可能存在的物体，或不能唯一确定的物体。无法消隐造成线框模型的多义性，即一个线框模型有可能理解成多个实际的物体。表面模型表面模型是在线框模型的基础上增加面的信息，表面不一定需要封闭。表面模型为形体提供了更多的几何信息，可以在程序中实现自动消除隐藏线，生成明暗图，计算表面积，产生表面数控加工走刀轨迹等，也可以在有限元分析中生成表面有限元网格。表面模型的构造方法大体可以分为两类：一类是整体构造法，一类是离散构造法。整体构造法使用贝齐埃曲面、B样条曲面等进行构造，步骤点－线－面。离散构造法从线框模型着手，交互绘制各个面的轮廓线，然后在封闭的内外轮廓线间填补平面或规则曲面。实体模型

实体造型是构造物体的完整的三维几何模型。实体模型是描述几何形体的最高层次模型。实体模型与表面模型的区别在于前者的表面必须封闭、有向，各张表面间有严格的拓扑关系，形成一个整体；而表面模型的面可以不封闭，面的上下表面都可以有效。

实体造型的核心问题是在计算机内如何来表示三维的物体。经过二十多年的研究和发展形成了几种不同的基本表示方法，主要有边界表示法、体素构造法、半空间表示法和八叉树表示法等。边界表示法－层次结构在边界定示中，物体通过其封闭的边界表面来描述，而物体封闭的边界表面由一组面所构成，各个面均有方向，明确地划分出物体的里面和外面，每个面均有单独的数学定义；每个面由封闭的环来确定其边界；每个环由一组边所构成，每条边也有其单独的数学定义；每条边由两个顶点(端点)所界定，一个为边的起始点，另一个为边的终点；每个顶点由空间三个坐标值来确定。在边界模型中，存贮的信息分成相对独立的两部分：拓扑和几何。边界表示法－层次结构物体(body)：是由封闭表面围成的有限空间。边界表面上任一点的邻域都明确分成两部分，一部分在物体之内，另一部分在物体之外。壳(shell)：是方向一致的一组面的集合，形成封闭的单一连通空间。一个物体可有多个壳，其中一个为外壳，共余为内壳。面(face)：是物体表面的一部分，是有界、不自交的连通表面，带有方向性。面的有效范围由一个外环和若干内环界定。环(Loop)：是由有序、有向边组成的封闭周界。确定面的最大外边界的环是外环，外环按逆时针走向，根据外坏的走向，按右手定则确定面的外指法矢方向；确定面中内孔或凸台周界的环是内环，内环按顺时针走向。边(edge)：是物体两个邻面的交界。边有方向，不能自交。项点(vertex)：是边的端点，不允许出现在边的内部，也不能孤立存在于物体的内外或面的内部。欧拉公式式中各符号分别为顶点、边、面、壳、孔、内环的数量。边界表示中的翼边结构描述面、边、顶点三种拓扑元素的邻接关系有3组共9种表示方式，其中以边为核心的一组邻接信息最实用，称为翼边结构，它是描述与一条边相邻的两个顶点、四条邻边和两个邻面这些拓扑信息的数据结构。通过这种翼边结构可以方便地查找各元素之间的邻接关系。边界表示的数据结构集合运算

集合运算又称布尔运算。在边界表示的实体造型系统中，复杂的形体一般是用若干简单的形体(体素)经并、交、差、求补等集合运算自动生成。基于边界表面分类的算法：设两个物体A和B的边界表面表示为b(A)和b(B)，将其各面经过剪裁可归纳成四类：AinB、AoutB、BinA和BoutA。基于上述边界表面的分类，可得出以下集合运算的表达式：体素构造法体素构造法(CSG)是用基本