第四讲最不利原则

四年级数学思维训练之最不利原则20161106在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理——确定最值；3.枚举比较——确定最值；4.估计并构造。常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？分析与解答：如果碰巧，可能你一次取出的4个小球的颜色都相同。但显然，仅仅摸出4个小球，并不能保证它们的颜色相同，因为它们的颜色也可能不相同。因此，为了“保证至少有4个小球颜色相同”，我们就要从最“不利”的情况出发来考虑。如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。“最不利”的情况是什么呢？它就是我们俗话说的运气最差的情况，实际总是与所希望的相反。那么，在这里，什么样的情况最“惨”呢？那就是我们摸出了3个红球、3个黄球和3个蓝球，此时三种颜色的球都是3个，却无4个球同色。为什么说这就是最不利的了呢？因为这时我们接着再摸出一个球的话，无论是红色还是黄色或者蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。所以，一次最少摸出10个球，才能保证至少有4个小球颜色相同。由此我们看到了，最不利原则就是从“极端糟糕”、从“运气最差”的角度来考虑问题。什么样的情况我们要用最不利原则来考虑呢？那就是题目中出现要“保证……”时，这“保证”二字就要求我们必须从最不利的情况去分析问题。

通过上面分析，列式为：

例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？

分析与解：从最不利的情形考虑。用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？）。通过上面分析，列式为：

例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？

分析与解：一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。最不利的情形是：取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。这41张牌中没有四种花色。剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。

例4口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共18个。其中红球3个、黄球5个、蓝球10个。现在一次从中任意取出几个，为保证这几个小球至少有5个同色，那么最少要取多少个？分析与解：与上例类似，这也要从“最不利”的情况考虑。最不利的情况是什么呢？是取了3个红球、4个黄球和4个蓝球，共11个。此时袋中只剩下黄球和蓝球，所以再取一个球，无论是黄球还是蓝球，都可以保证有5个球颜色相同。因此，所求的最小值是12。热身操

1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。问：一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。问：一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。问：（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。问：最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？最不利原则练习题集1、肉包子7个，素包子6个，至少吃几个，才能吃到两种馅？2、白球7个，黑球8个，至少摸几个，才能保证：1）有2个相同颜色的球？2）有2个不同颜色的球？3）、有2个黑球？4）、有2个白球？5）、有1个黑，1个白？6）、每种颜色都有5个球？7）、保证有5球同色？3、黄球10个，白球7个，黑球8个，至少摸多少个，才能保证：1）有3种颜色的球？2）、一定会有黑球？3）、一定会有黄球？4）、有3球同色？4、黄球3个，白球7个，黑球8个，至少摸几个，才能保证5个球同色？5、在一副扑克牌种，最少取出多少张，才能保证：1）、四种花色都有？2）取出2张红桃？3）有1张10？4）有1张红桃10？5）有2张花色相同？6、口袋里有足够多的红，白，蓝，黑四种颜色的单色球，从口袋中任意取出若干个球，至少要取出多少个球才能保证有9个球是同一颜色的？7、一排椅子只有27个座位，部分座位已有人就座，东东来后一看，他无论坐哪个座位，都将与已就座得人相邻。在东东来之前就已就座的最少有几人？8、一排椅子只有35个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？9、一排椅子只有22个座位，部分座位已有人就座，乐乐来后一看，她无论坐在那个座位，都将与已就座的人相邻，在乐乐来之前就已就座的最少有几人？10、一个布袋里有大小相同，颜色不同的一些小球，其中红的10个，白的9个，黄的8个，蓝的2个，一次至少取多少个球，才能保证有4个相同颜色的？11、将3支红筷子，9支黄筷子，18支绿筷子，2支白筷子和1支黑筷子放在一个布袋里，至少摸多少支才能保证有两双颜色相同的筷子？12、口袋中放有红，黄，白，黑四种颜色的袜子各10只，只许用手摸，不许用眼看，至少要从口袋中取出多少只袜子才能保证配成5双，（一双指同颜色的袜子两只）13、参加学校歌咏比赛的学生中，最小的9岁，最大的13岁，那么从这些学生中任选(

)位就一定能保证其中有两位队员的年龄相同。14、桃、梨、苹果、草莓四种水果各若干个混放在一起，每个人取出两个，那么至少需要(

)个人才能保证有两人取出的水果是完全相同的。15有布娃娃、书包、文具盒三种礼品各若干个。每个小朋友任意拿两个，需要(

)个小朋友才能保证至少有两人选的礼品相同。16、文具盒中有5枝黑笔和3支蓝笔混合放在一起，那么一次至少摸出(

)枝笔才能保证至少有一枝蓝笔“一同一和十”速算法请你运用前面介绍的“首同末和十”和“末同首和十”的速算方法来推理“一同一和十”的速算方法。1）尝试笔算下面的题目，仔细观察有什么样的规律。33×19＝66×82＝37×44＝77×46＝91×88＝2）说说你发现的速算规律。3）和老师一起总结速算方法：积的末两位数是“尾×尾”，前面是“同×（头+1）”仍注意：如果“尾×尾”只有一位则在前面补“0”。4）速算高手擂台22×37＝99×64＝28×55＝91×44＝73×44＝91×33＝77×82＝37×55＝82×44＝28×66＝22×64＝73×44＝28×11＝91×88＝73×99＝55×64＝19×44＝37×11＝46×88＝28×99＝56×56=86×84=73×33=63×67=27×87=29×21=36×76=87×83=95×15=76×74=38×78=56×54=62×42=