2021年黑龙江龙东中考数学试卷

2021黑龙江龙东中考数学试卷

一、选择题（每题3分，满分30分）

1.（2021•龙东）下列运算中，计算正确的是（）

A.W+/=2m5B.（一2a2尸=-6/

C.（a-6）2=。2-〃D."+正=6

｛答案｝D

2.（2021・龙东）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

｛答案）C

4.（2021・龙东）一组数据:3,4,4,4,5,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

｛答案｝D

5.（2021・龙东）有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个

人传染的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

｛答案｝B【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x,根据题意，得（1+x）2=144,解得为=11,》2=一

13（舍去负值），因此本题选B.

m+3

6.（2021・龙东）已知关于x的分式方程丁一=1的解为非负数，则〃?的取值范围是（）

2x-\

A.ni>—4B.m>—4且〃洋一3C.nt>—4D.nt>—4且"用一3

｛答案｝B

+3772+4777+4

【解析】解X的分式方程—■=1，得由题意得上JK），解得mN-4.当旭=一3时，原分式方

2x-122

程不成立，因此本题选B.

7.（2021•龙东）为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于

购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，

则购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

｛答案｝A

3

【解析】设购买甲种奖品x件，购买乙种奖品y件，根据题意，得15x+10y=180.化简，得），=一耳*+18.

y均为正整数，且两种奖品都购头，，购买方案有：x=2fy=15；x=4,y=12；%=6,y=9；x=8,y=6；

x=10,y=3.故选A.

8.（2021・龙东）如图，在平面直角坐标系中，菱形A8CQ的边A。，），轴，垂足为E,顶点A在第二象限，顶点8

在y轴正半轴上，反比例函数y=K（原0,x>0）的图象同时经过顶点C、D.若点C的横坐标为5,BE=2DE,

X

则k的值为（）

405520

A.—B.一C.一D.—

3243

｛答案｝A【解析】将选项逐一代入检查，只有选项A符合题意，因此本题选A.

9.（2021・龙东）如图，平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E,点。为AC的中点，连接B。并延长，交

FC的延长线于点D,交AF于点G,连接AD,OE,若平行四边形ABFC的面积为48,则S^EOG的面积为（）

A.4B.5C.2D.3

｛答案）C【解析】若平行四边形ABFC的面积为48,则S“C8的面积为24.由三角形中位线定理，得的面

积为6....SAOEB的面积为6.-：OE//AB,OE=；AB,：.OG=；BG,SMOG的面积为2.

10.（2021・龙东）如图，在正方形A8CC中，对角线AC与BO相交于点。，点E在BC的延长线上，连接。£,点

尸是OE的中点，连接OF交CD于点、G,连接CF,若CE=4,OF=6.则下列结论:①GF=2;②。。=夜OG;

|o/c

@tanZCDE=-；④/0。尸=/。。/二州。;⑤点。到CP的距离为,其中正确的结论是（）

A.①@③④B.①@④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

｛答案｝C【解析】由题意得。/〃CE,OG=CE=4,...四边形OGEC是平行四边形，...OCaGE,.•.£）£不平行

OC,...结论④NO£>F=/OCF=90。错误，，排除选项A,B,D,因此本题选C.

二、填空题（每题3分，满分30分）

11.（2021•龙东）截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数据14.14万用

科学记数法表示为.

｛答案｝1.414x1（）5

12.（2021.龙东）在函数y=—^中，自变量x的取值范围是.

x-5

｛答案）x#5

13.（2021.龙东）如图，在矩形ABCQ中，对角线AC、8。相交于点O,在不添加任何辅助线的情况下，请你添加

一个条件，使矩形ABC。是正方形.

｛答案｝答案不唯一，可以是一组邻边相等或对角线互相垂直，如A8=BC,AC1BD.

【解析】•••四边形A8CO是矩形中，要使矩形48CC,添加的一个条件可以是一组邻边相等或对角线互相垂直,

如AB=8C,AC1.BD,答案不唯一.

14.（2021•龙东）一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，随机摸出1

个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次摸出小球上的数字之和是奇数的概率

是

44

｛答案｝g【解析】如下表，因此本题的答案是g.

\!23

1(1,1)(1,2)(1,3)

2(2,1)(2,2)(2,3)

3(3,1)(3,2)(3,3)

5（2⑼.龙东）关于x的一元一次不等式组《2…x-a<>05,有解,则.的取值范围是一

｛答案)x<6

2x—a>0,/7

【解析】解不等式组3x-4<5得因此本题的答案是X<6.

16.（2021.龙东）如图，在。。中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点。在圆上，且N4DC=30。，则。。的半径

｛答案｝5【解析】如图，连接OC,；NA£）C=30°,.,.NAOC=60°.

'."AO—CO,，aAOC是等边三角形.，AO=4C=5cm.

17.（2021・龙东）若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90。,则这个圆锥的母线长为cm.

｛答案｝4

【解析】•••圆锥的底面半径为1cm,.♦.圆锥的底面周长为2mm.

•.•圆锥的侧面展开图的圆心角为90。，

90,7T,X

设母线长为xcm..9.2n=-------，，这个圆锥的母线长为4cm.

180

18.（2021.龙东）如图，在RSA05中，NAO8=90。，04=4,03=6,以点O为圆心，3为半径的。0,与0B

交于点C,过点C作CD_LOB交A8于点。，点尸是边04上的动点，则PC+PD的最小值为.

｛答案｝2加【解析】如图，作点C关于。4的对称点C,连接。C,交A于点P,则尸C=PC,CD=2,CC=

6,由勾股定理得QC=2jid.由两点之间线段最短，得PC+P。的最小值为。C'=2ji6.因此本题答案为2

Vio.

19.（2021・龙东）在矩形A8CQ中，AB=2cm,将矩形ABCQ沿某直线折叠，使点B与点。重合，折痕与直线AD

交于点E,且OE=3cm,则矩形ABC£>的面积为.

｛答案｝2行+6【解析】勾股定理，如图，连接BE,由折叠的性质得BE=D£=3cm,由勾股定理得

因此本题的答案为2石+6.

20.（2021・龙东）如图，菱形ABCD中，ZABC=120%AB=1,延长CD至4,使£Mi=CE>,以4C为一边，

在BC的延长线上作菱形ACG。，连接AAi,得到AAOAI，再延长GG至4，使AA2=G9,以A2G为

一边，在CC|的延长线上作菱形42cle2。2，连接

4也,得到A\D\A2-...按此规律,得到A2020。202M2021，记△ADA］的面积为Sl，△A1Q1A2的面积为S2,........

△42020。202必2021的面积为52021，则§2021—

｛答案｝20208【解析】由题意得51=且，S2=@X4=6,—X4X2=2\/3,5202i=—x4x2020=2020

4444

6因此本题答案为2020G.

三、解答题(满分60分)

22

21.(2021・龙东)先化简，再求值：(〃一其中a=2tan450+1.

a+1a2-I

a(a+l)a2(a+D(a-1)a(a+1)(a-1)a-]

解:原式=()x=---x------------=----

〃+1。+1-—a+1aa

3-12

：a=2tan45°+1=2义1+1=3,二原式=——=-.

33

22.(2021・龙东)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△A80

的三个顶点坐标分别为A(—1,3),B(-4,3),0(0,0).

(1)画出AABO关于x轴对称的△A181O,并写出点Bi的坐标；

(2)画出AAB。绕点0顺时针旋转90°后得到的△A2B2O,并写出点B2的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点B旋转到点民所经过的路径长(结果保留兀).

⑵如图，点82的坐标(一3,-4);

90^-55

(3)如图，在(2)的条件下，点B旋转到点星所经过的路径长二

1802

23.(2021・龙东)如图，抛物线丫=加+灰+3(辱0)与x轴交于点4(1，0)和点B(—3,0),与y轴交于点C,连接

BC,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点ZX

(1)求抛物线的解析式；

(2)求ABOC的面积.

0=«+/?+3,

解：⑴把点41,0)和点3(—3,0)代入产小+法+3,得，0=9。一3b+3.解得

所以抛物线的解析式y=-x2—2x+3.

(2)由题意得8(—3,0),C(0,3),，OB=OC=3,

119

(3).•.△8。(？的面积=一。8-OC=-X3X3=-.

222

24.(2021・龙东)为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、学史力行”知

识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、8、C、。、E五个等级进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计

图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

抽样成绩扇形统计图

抽样成绩条形统计图抽样成绩扇形统计图

(1)本次调查中共抽取名学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求8等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有多少名？

解:(1)100;(2)补全条形统计图,如图，

(3)B等级所对应的扇形圆心角的度数360X—=144。；

26+40

(4)1200X-----=792.

100

答：若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和8等级的学生共有792名.

25.(2021・龙东)一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条公路分别从甲、乙两地同时出

发，匀速行驶.已知轿车比货车每小时多行驶20km.两车相遇后休息一段时间，再同时继续行驶.两车之间的

距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示的折线AB—BC—CD—OE,结合图象回答下列问题：

(1)甲、乙两地之间的距离是km;

(2)求两车的速度分别是多少km/h?

(3)求线段CO的函数关系式，直接写出货车出发多长时间，与轿车相距20km?

解：(1)180

⑵设货车每小时行驶xkm,则轿车每小时行驶G+20)km.

根据题意，得x+(x+20)=180,解得x=80(km/h),x+20=100(km/h).

答：货车每小时行驶80km,则轿车每小时行驶100km.

(3)直线CD的解析式为y=180x—270.货车出发《或或2.5时,与轿车相距20km.

7710

26.(2021•龙东)在等腰AAOE中，AE=DE,AABC是直角三角形，ZCAB=90°,ZABC=-ZAED,连接CD、

8。，点尸是80的中点，连接EG

(1)当/E4O=45。，点3在边AE上时，如图①所示，求证:

(2)当NEA£>=45。，把AABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AZ)上时，如图②所示，

当/EAD=60。，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和C£>又有怎

样的数量关系?请直接写出你的猜想，不需证明.

解：（1）：A£=C£,ZEAD=45°,：.ZEDA=45°,ZAED=90°.

♦.•点尸是8。的中点，.尸=,8D（直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半）.

2

1

VZABC=-ZAED,：.ZABC=45°.：/E£>A=45°,/.ZAGB=90°,：.AD1BC.

2

VZCAB=90°,：.ZBCA=45°,；.AC=A8,

：.CG=BG,即AO是BC的垂直平分线，；.8£>=0

2

（2）当/EAO=45。，EF=—CD；当NEAD=60。，EF=—CD.

22

A

27.(2021•龙东)“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投

入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农

机具和3件乙种农机具共需3万元.

(1)求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进

甲种农机具，"件，则有哪几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

解：(1)设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元,

2x+y=3.5,x■—1.5,

根据题意,得解得<

x+3y=3.y=05

答：购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元，

(2)设购进甲种农机具，"件，则购进乙种农机具(10-77?)件，

根据题意，W9.8<1.5in+0.5(10-m)<12,解得4.8MY7.

'.'/n为正整数，.取5,6,7.

,有哪三种购买方案.方案一：购进甲种农机具5件，则购进乙种农机具5件；方案二：购进甲种农机具6件,

则购进乙种农机具4件；方案三：购进甲种农机具7件，则购进乙种农机具3件.

⑴方案一需要的资金：1.5x5+0.5x5=10(万元)；

方案二需要的资金：1.5x6+0.5x4=11(万元)；方案三需要的资金：1.5x7+0.5x3=12(万元).

所以在(2)的条件下，方案一需要的资金最少，最少资金是10万元.

28.(2021・龙东)如图，在平面直角坐标系中，"OB的边04在x轴上，04=48,且线段的长是方

4

程『一以一5=0的根，过点B作轴，垂足为E,tan/BAE=§,动点M以每秒1个单位长度的速度，从

点A出发，沿线段A8向点B运动，到达点B停止.过点〃作x轴的垂线，垂足为Q,以为边作正方形

MDCF,点C在线段OA上，设正方形MDCF与aAOB重叠部分的面积为S,点M的运动时间为f(f>0)秒.

(1)求点B的坐标；

(2)求S关于f的函数关系式，并写出自变量r的取值范围；

(3)当点尸落在线段。8上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、A、0、尸为顶点的四边形是平行四边形?若

存在，直接写出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解：（1）..♦方程x2—4x—5=0,解得芍=5,*2=—1（舍去），工线段。A=AB=5.

4

；BE_Lx轴于E,lan/B4E=-,.*.设8E=4hAE=3k,：.AB=5k=5,

3

.•.左=1,:.BE=4,AE=3,...点B的坐标为（8,4）.

341

（2）.四边形MCCF是正方形，设MD=-t^FM=CF,AC=-Z.

,点B的坐标为（8,4）,：.OB的解析式为,y=gx.

88]25

①当点F在