圆锥曲线最值问题方法总结

课题3：圆锥曲线中最值问题的转化求解最值问题的大体思考方法一一是几何法，常用工具是圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论;二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用函数的单调性、均值不等式或三角函数的有界性等知识来求解一、焦点间的相互转化(核心用三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边). X2 V2- ... 、 .一.. .设椭圆云+b-=1(a>b>0)，F1,F2分别为椭圆的左右焦点，P(x0,y0)为平面内的一个定点，M为椭圆上的任意一点。若定点P(x0,y°)在椭圆内部，则2a-|P《|W|MF|+|MpW2a+\PF1若定点P(x0,y0)在椭圆外部，则|PF2|W|MF|+|MpW2a+|PF1X2V2 «设双曲线a-b；=1(a>0,b>0),F1,F2分别为双曲线的左右焦点，P(x0,y0)为平面内的一个定点，M为双曲线上的任意一点。若定点P(x0,y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|PF|-2aW|MF|+|Mp，最大值不存在若定点P(x0,y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则"FJW|MF|+MP，最大值不存在。X2V2【例1】P(-2,J3),F2为椭圆25+16=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|MPl+lMF2I的最大值和最小值。【答案】12,8.【分析】欲求IMP|+|MF2I的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义IMF2I=2a-IMF1I,孔为椭圆的左焦点。【解析】IMPI+IMF「=IMPI+2a-IMF1I连接PF1延长PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭

圆于点M2由三角形三边关系知-|PF1|<IMPI-IMF1I<|PF1|当且仅当M与M1重合时取右等号，M与M2重合时取左等号。因为2a=10,|PF1I=2所以'(|MP|+|MF2|)max=12,(|MP|+|MF2|)m.n=8x2y2【例2】P(-2,6),F2为椭圆^^+16=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求|MP|+|MF2|的最大值和最小值。【答案】最大值是10^37，最小值是(61【分析】点P在椭圆外PF2交椭圆于M，此点使|MP|+|MF2|值最小，求最大值方法同例1。【解析】|MP|+|MF2|=|MP|+2a-|MF1|连接PF1并延长交椭圆于点虬，则M在虬处时|MP|-|MF1|取最大值|PF1|oA|MP|+|MF2|最大值是10+J37，最小值是V61。【例3】已知是椭圆X2+三=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A（1,1）y为定点，则\PA\+”《|的最小值是（） ppA、9—^2B、6—y/2C、3+V2D、6+x/2 ~x^F^O^J^f^ x【答案】B【解析】连接FA并延长交椭圆P'是椭圆上一动点，连接PF[,PF2，PAPF^\+|PA|+\AF^\>\PF^\+|PF|，而PF+PF=\PT\+PF=PF+PA+\AFI，1 2 ' 1 2 1 1 21・.・"习+lPAl+1af2\>P'F\+PA+\af2\，PF^\+PA>|PFJ+|PA|=|PFJ+\PF|—|AFI=6—J2（当P与P'重合时取"=”号）【例4】【例4】已知A(4,0),B(2,2)是椭圆m是椭圆上的动点，求IMAI+IMBI的最大值与最小值。【解析】由题意，点A即椭圆右焦点F(如图三)，设椭圆左焦点F，则F(—4,0)，由椭2 1 1圆定义可知IMAI=2a—IMF^I=10—IMF^I，则IMAI+1MBI=1班IMBI—IM£I，显然，当M、F1、B三点共线时，IIMAI—IMB七尸BFI=2^10，所以(IMAI+IMBI)=10+2J10，(IMAI+IMBI)^，n=10—2面。2、双曲线22、双曲线2[2009-辽宁理16】已知F是双曲线》42-^=1的左焦点，A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为【答案】9[解析】..・A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F'(4,0),・.・由双曲线性质|PF|-|PF'|=2a=4而|PA|+|PF'|N|AF，|=5两式相加得|PF|+|PA|N9，当且仅当A、P、F'三点共线时等号成立.TOC\o"1-5"\h\z— — X2y2［2006江西理9】P是双曲线—7-=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+5）2+72=49 16和（x—5）2+y2=1上的点，则|PM|—|PN|的最大值为（）A.6B.7 C.8 D.9［答案】D［解析】如图，两定圆的圆心匕（一5,0）、£（5,0）即双曲线C的左右焦点，由双曲线定义可知IPFI-1PF1=6。又IPMI=1PFI+r=1PFI+2，1 2 max 1 1 1IPNI.=IPF2I-r2=IPFI-1，所以（IPMI-IPNI）=IPMI-IPNI.=IPF1I-IPF2I+2+1=6+3=9。V2- ,[2009重庆卷文20】已知以原点O为中心的双曲线尤2-亍=1.如图，点A的坐标为(f'5,0)，B是圆X2+(V-哗)2=1上的点，点M在双曲线右支上，求|MA|+|MB|的最小值，并求此时M点的坐标;•直线CD的方程为y=-工+V5，因点•直线CD的方程为y=-工+V5，因点M在双曲线右支上，故x>0由方程组34x2—y2=4 —七■5+4\'2 4寸5—4寸2解得x= ,yy=-x+a'5 34x2—y2=4 —七■5+4\'2 4寸5—4寸2解得x= ,y=由方程组<所以M点的坐标为(f'5+4技4、5—4耳， )【解析】设点D的坐标为(灰0)，则点A、D为双曲线的焦点，IMAI-1MD1=2a=2所以IMAI+1MBI=2+1MBI+1MDIN2+1BDI,■-B是圆必+(y-0=1上的点，其圆心为C(0,(5)，半径为1,故IBDINICDI-1=J10+1从而IMAI+IMBIN2+IBDINJ衍+1当M,B在线段CD上时取等号，此时IMAI+1MBI的最小值为<10+1{y{y2=4xF(1,0)x3、抛物线【例】已知抛物线y2=4x，定点A(3,1)，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点P,使|AP|+|PF|取最小值，并求的最小值。【解析】由点A引准线的垂线，垂足Q，贝||AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值。如图，y2=4x,「.p=2,焦点F(1,0)。由点A引准线x=-1的垂线，垂足Q，则|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|,即为最小值.(IAPI+IPFI)=4. yf{y 1由y=1,得P(4,1)为所求点.若另取一点Pf，显然IAPfI+1PFI=IAPfI+1PQI>IAPI+1PQI。 、【感悟】利用圆锥曲线性质求最值是一种特殊方法。在利用时技巧性较强，但可以避繁就简，化难为易。又如已知圆锥曲线内一点A与其上一动点P，求IAPI+如的最值时，常考虑圆锥曲线第二定义。

二、焦点与相应准线的转换椭圆的第二定义：平面上任意一点到定点F（焦点）的距离与到相应定直线（准线，且F不再该直线上）的距离之比为常数e（离心率且e<1）的点的轨迹为圆锥曲线；①当0<e<1时，轨迹为椭圆；②1<e时，轨迹为双曲线③当e=1时，轨迹为抛物线。常考类型1——\PA\+ed的最值［其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）夕卜一定点，P是曲线C上的一个动点，l是曲线C的一条准线，d是点P到l的距离，e是曲线C的离心率。］常考类型2——|PA|+1|尸尸|的最小值［其中，点A为曲线C（椭圆，双曲线或抛物线）内一e定点（异于焦点），P是曲线C上的一个动点，F是曲线C的一个焦点，e是曲线C的离心率。］1 ……当PF前的系数为1时，PF］与PF2转化，当PR前的系数为^时与准线转化。1、椭圆"2b2）【例1】定长为dd>一的线段AB的两个端点分别在椭圆1a—+y=1（a>b>0）上移动，求AB的中点M到椭圆右准线l的最短距离。a2b2【解析】设F为椭圆的右焦点，如图作AA」/于A'，BB,±l于B'，MM'±l于M'，则IMM/1IMM/1=1(AFBF=—\AF+BF2e「)>暨=d2e 2e当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为d。2eTOC\o"1-5"\h\z2b2 ,2b2【感悟】——是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，d>——是AB过焦点的充要条a a件。通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。【例2】已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P是椭圆上动点，点A（11）是一定点（D求|PA|+3|PF|的最小值 ⑵求\PA+\PF|最大和最小值1 2 1 1 1 112【解析】椭圆5x2+9y2=45中，长半轴a=3，短半轴br5，半焦距c=2，离心率e=3，

右焦点七（2,0>左准线x=-2。（1）设P点到左准线为|PD|,如图（1）所示。由椭圆的第二定义可知\PFJ=e|PD|,所以PA\+2|PFj=|PA|+2（e|PD|）=|PA|+PD，PA|+|PD|的最小值就是点A到左准线Z的11 — 一，j11~21')

min（2）由椭圆的第一定义得:PF=2a-PF1，所以，PA11~21')

min（2）由椭圆的第一定义得:PF=2a-PF1，所以，PA+PF=2a+PA-PF又2PA|-|PF||<|AF|=J2，因此，-J2<|PA|-|PF|<41，故2a-很<冏仕吃<2a+42，即6-很<PA+PF^\<6+很2a+42，即6-很<PA+6f2，当动点尸位于P1或勺位置时取得最值，如图②所示。图(1)图(2)图(1)图(2)x2y2【例3】已知椭圆玄+亏=1，A（4,0），B（2,2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求4|PAI+IPBI的最小值；（2）求|PA|+|PB|的最小值和最大值。【解析】（1）A为椭圆的右焦点。作PQ±右准线于点Q，则由椭圆的第二定义甘片=。=4，1PQ15・•・5IPAI+IPBI=IPQI+IPBI.问题转化为在椭圆上找一点P，使其到点B和右准线的距417离之和最小，很明显，点P应是过B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为彳。（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则则|PA|=2a-|PC|..・|PA|+|PB|=2a-|PC|+|PB|=10+（|PB|-|PC|）根据三角形中，两边之差小于第三边，当P运动到与B、C成一条直线时，便可取得最大和最小值。即-|BC|W|PB|-|PC|W|BC|.当P到P"位置时，|PB|-|PC|=|BC|，|PA|+|PB|有

最大值，最大值为10+|BC|=1。+2（10；当？到P"位置时，|PB|-|PC|=-|BC|,|PA|+|PB|有最小值，最小值为10-|BC|=10-2』0。X2 V2【例4】已知定点A（2,1），F（1，0）是椭圆一+\=1的一个焦点，P是椭圆上的点，m8求|PA|+3|PF|的最小值.PFPD【解析】椭圆右准线/2:X=9.设P在4上的射影为D，由椭圆第二定义有PFPD=e=-.:.31PF1=1PDI..・・IPAI+31PF1=1PAI+IPDI.过A作AE11于E,交3 2椭圆于P3,P3使得IPAI+IPDI达到最小值为7。2、双曲线|X2V2【例1】已知双曲线C： ^―=1内有一点A（7,3），F是双曲线C的左焦点，P为双曲TOC\o"1-5"\h\z9 16线C上的动点，求|PA|+3PF|的最小值。1 3,__【解析】注意到式中的数值飞”恰为-，则可由双曲线的第二定义知"尸|等于双曲线^5 e ^5 一， 3一一， 上的点P到左准线的距离|PM|，从而|PA|+-|PF|=|PA|+|PM|，由图知，当A、P、M三点共线时，PA+|PM|取得最小值，其大小为|AM|=7+—=—。题中1PF|=d（d为P到焦点F对应的准线的距离），从而将所求转化为定点到准线的距e离。X2V2【例2】已知双曲线云一三=1的右焦点为「，点（9,2），试在此双曲线上求一点M，9 163使IMAI+-IMFI的值最小，并求出这个最小值.

【解析】易知离心率e=3,3lMFI的最值问题转化为IM4I+d的最值问题.如图所示，】为双曲线的右准线，M为双曲线上任意一点，分别作MN^l于N,AB±l于B.5•.•离心率e=3,……、、」MFI 5 3••・由双曲线的第二定义有=e=云，即\MNI+三IMFI.IMNI 3 5•IMAI+3IMFI=IMAI+IMNI>IABI.当且仅当M为AB与双曲线右支的交点时，3IMAI+5IMFI取得最小值.点M的坐标为,2)，ca,2)，ca2最小值为9-—c363、抛物线【2009・四川理9】已知直线11：4x-3y+6=0和直线12：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线11和直线12的距离之和的最小值是( ) 2A・2 B・3C・—D・—5 16【答案】A【解析】直线12:x=-1是抛物线产=4x的准线，F(1,0)是其焦点，如图所示，由抛物线的定义知P到直线12的距离|PE|=|PF|，因此本题可转化为在抛物线产=4x上找点P使P点到点F(1,0)和到〈距离|PD|的和最小，最小值是F(1,0)到直线〈:4x-3y+6=0的距离。即PDJ=知近=2 1

lFO1PlFO1P[2009-天津理10】设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(•彖0)的直线与抛物线相交于A、4AB两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与^ACF的面积之比 =( )【答案】A【解析】如图过B作准线l：x=-*的垂线，垂足分别为A’B]，A.§CJD.号B.|，又•.•△BiBCs^AiAC、，【答案】A【解析】如图过B作准线l：x=-*的垂线，垂足分别为A’B]，A.§CJD.号B.|，又•.•△BiBCs^AiAC、，由抛物线定义w二|AF「,由|BF|=|BB」=2知\互*=y-0=_33(x-'3).把乂=3代入上式，求得yA=2,xA=2,；,|af|=|aai|^.^aecf_|BF|_2_4丁丁' .电MF冏宣5【2008课标11】已知点P在抛物线y2=4X上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时点P的坐标为( )ricrricr1”A.—，—1B..—，114J14JC.(L2)D.(1,—2)【答案】A■-【解析】点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ,故最小值在S,P,Q三点共线时取得，1八此时P,Q的纵坐标都是一1，所以选A。（点P坐标为（二,-1））[2008-辽宁】已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A.里另B.3C...•舌D.W【答案】A【解析】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则F 0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）,的距离与P到该抛物线准线的距离之和MW+lFA>|af|=„（京基2二号.【例】设P是y2=4X上的一个动点。求点P到点A（-1,1）的距离与点P到直线l:X=-1的距离d之和的最小值。F【解析】如图，|PA|+d=|PA|+|PF|习AF|=y/5（当A、P、F三点共线时取等号）F三、点线距离与线线距离的转换L一次函数法（椭圆 +」=1上的点M（x,y）到定点A（m,0）或B（0,n）距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示|MA|或|MB|，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。）

[2014*福建理（理）】设P,Q分别为圆X2+（y-6）2=2和椭圆町产2=1上的点，则P,Q两点间的最大距离是（ ）a.5f'2b.币+%2c.7+42d.6、；2【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x,y）,则•.,圆x2+（y-6）2=2的圆心为（0,6）,半径为*'2,.L椭圆上的点与圆心的距离为「/+（厂6），二:-9（叶*）'+5任512,•,»P,Q两点间的最大距离是5f'2+"2=642.X2y2【2005上海】点A、B分别是椭圆话+£=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，3620直线AP的方程是X-V3y+6=0，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于m+6|2IMBI,求椭圆上的点到点Mm+6|2【解析】设点M（m,0）,则M到直线AP的距离是于是竺;6=|m+6|,又一6WmW6，解得m=2。设椭圆上的点（X,y）到点M的距离d于是5 4 9、…d2=(X一2)2+y2=X一4X2+4+20一9X2=9(X一2)2+15,由于一6WxW6, .•.当X=；时,d取得最小值V’15X2 一【例1】求定点A（a,0）到椭圆或+y2=1上的点之间的最短距离。【分析】在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示IPAI,转化为x,y的函数，求最小值。【解析】设P（x,y）为椭圆上任意一点，IPAI2=（x-a）2+y2=（x-a）2+1-g尤2=号（尤-2a）2+1-a2由椭圆方程知x的取值范围是[-*2,十2]若|a|W，则x=2a时IPAImin^1'1—a2若a〉，则x=V2时IPAI.=Ia—F2I

巨 —若a〈一项，则IPAImin=la+展|【例2】在抛物线y=4x2上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短。【解析】设抛物线上的点P(t,4t2)，点P到直线4x-y-5=0的距离…1、』4t2-4t+5 4(t-2)2+4而-而, 1,[ 4 J八当t弓时，dmin=〒，故所求点为(2'D。【例3】直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线L过点P(-2,0)和线段AB的中点M，求L在y轴上的截距b的取值范围。【解析】设A(x,y)，B(x,y)，M(x,y)，将y=kx+1代入x2-y2=1得(1-k2)x2-2kx-2=0,1 1 2 2 0 0由题意，q。且x+x<0,xx>0，解之得1<k<侦'2，且M(—^-，二^―)，又由P(-2,0)，12 12 1一k21一k21,k1、 b rTk? 1M(L-，「一)，Q(0,b)共线，得责= = ——-一-，即1-k21-k2 2k+2-2k2+k+21-k2b=-2k2+k+2卜面可利用函数f(k)=-2k2+k+2在(1*2)上是减函数，可得bV-2-。2或">2。【例4】已知A，B，C三点在曲线y=\&上，其横坐标依次为1，m,4(1<m<4)，当△ABC的面积最大时，m等于()9 5 3A.3B-C-D-号 乙 乙【答案】B【解析】由题意知A(1,1)，B(m，.血)，C(4,2).直线AC所在的方程为x—3y+2=0，|m—3W+21S=1|AC|•d—L、后x|m—3'加+2|=1lni—点B到该直线的距离为d=.%abc=2|AC|d=2^；10x ...点B到该直线的距离为d=3，.《m+2|=3，.《m+2|=1|(^m—|)2—4|., 、 —3.Vme(1,4)，A当\m=5时，乙\o"CurrentDocument",一... 9S有最大值，此时m=.

△ABC 42.参数法——参数为三角函数X2y2(若椭圆2.参数法——参数为三角函数X2y2(若椭圆02+土=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值。)【例1】椭圆了+y2=1上的点M(x,y)到直线l：x+2y=4的距离记为d,求d的最值。42【分析】若按上例那样d=x+2y—4|——=一转化为x或y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可v5以用椭圆的参数方程，即三角换元。【解析】d=-•.S+，2=1・.・一；=2甘心R<2sin(0+^4)—2<2sin(0+^4)—2d= = =3小叭t 4(5—2,.而 小叭t 4v'5+2J0当sin(0+—)=1时，dmin= 5 , 当sin(0+—)=-1时,dg= 5 x2y2【例2】求椭圆n+三=1上的点到直线l:x—2y—12=0的最大距离和最小距离.1612X2y2 fX=4cos0c【解析】椭圆讦+日=1的参数方程为"=2后sin0(0V2丸)则椭圆上任意一点p坐标为P(4cos0,2%'3sin0).・到直线的距离为4cos04cos0—4®‘3sin0—123〔cos0一笠■sin0——: 2 20<0<2兀.•.—旦兀〈生一0V生二一1<sin(—)<1.•.当sin(——0)=—0<0<2兀TOC\o"1-5"\h\z6 6 6 6 6最大值，即d最大商牝5…..当sin(—6—0)二1时，d取最小值，即d最小商f\o"CurrentDocument"x2y2 _【例3】已知点P是椭圆正+《=1上任意一点，则点P到直线x+y—7=0的距离最大\o"CurrentDocument"16 9值为

x2v2 fx=4cos0【解析】由椭圆的方气闩=1’则可设"二3sin0（0为参数）|5sin(0+甲)一7|设点P(|5sin(0+甲)一7|4cos0+3cos0-7则点P到直线的距离为d= = 当sin（0+甲）=一1,距离d的最大值为d=旦=6V2max<2【例4】椭圆兰+季1（a〉b>0）的切线与两坐标轴分别交于A,B两点，求三角形OABa2b2的最小面积【解析】写出椭圆参数方程｛*=；源0，设切点坐标为（acon0,bsin0）,可得切线方程cos0 sin0 一 .（a一、 „ x+=—y=1,令y=0，得切线与x轴交点A一—,0:令x=。，得切线与y轴ab kcon0）]sin0)(]sin0)kab

2sin0ab

2sin0cos0ab

sin20>ab,即(s^ob)=ab【例5】已知P是椭圆—+y2=1在第一象限内的点，A（2,0）,B（0,1）,O为原点，求四边形OAPB的面积的最大值。【解析】设P（2cos9,sin0）,（0<0<m/2）,点P到直线AB：x+2y=2的距离,I2cos0+2sin0-21|2,2sin（0+彳）-212侦2-22气而一2侦5d= = = = < =——= <5 、污 v5 53.判别式法・.・所求面积的最大值为寸'3.判别式法（椭圆上的点到定直线l距离的最值问题，可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题，利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值。）X2 一【例1】求椭圆亍+y2=1上的点到直线l:x一y+3=0距离的最小值。

解法一：（切线平移法）设与直线i平行的直线l'的方程为：尤-y+b=0,尤一y+b=0x2 n5x2+8bx+4b2-4=0，则由△=0nb=±j5，J5+31 6+、.10[J5-316-J5+31 6+、.10[J5-316-■v10,d=———

minv;2则l':x-y士气3=0，则d—maxv2解法二：（三角代换法）设P（X0,设P（X0,打为椭圆上任一点，因为习+y2=1，所以可设＜0 . ，则点P到直y=sina0, — [I2cosa-sina+31K5sin(a+p)+31/线l距离为d= = = = ,(p=丸一arctan2)，则TOC\o"1-5"\h\zv2 、.'2dmax|\.'5+3| 6+而7 |y'5-3| 6dmax ,d2 min【2006全国高考题】求抛物线y=-x2上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值。【解析】解法一：（二次函数法）设抛物线y=-x2上任一点P坐标为（％,y0），则点P到直线4x+3y-8=0的距离为d=竺"1，因为P在抛物线上，所以y°=蜡，所以d=|4x0-3x0一8|得d=4。5 min3解法二：（判别式法一一切线平移法）设与直线l平行的直线l'的方程为：4x+3y+b=0，则直线〃平移到与抛物线相切时的切点Q即抛物线上到直线l最近的点，直线l与〃的距离即所求最小距离。TOC\o"1-5"\h\z\4x+3y+b=0 4由〈 n3x2—4x—b=0，则由△=16+12b=0nb=-—Iy=-x2 34|-+8| .4则抛物线y=-x2上的点到直线l:4x+3y-8=0距离的最小值为d= % —【例】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标。TOC\o"1-5"\h\z【解析】设点A、B的坐标分别为3,y),(X,y)，那么x=y2,x=y2①由题意，1 1 2 2 11 2 2得32=(x—x)2+(y—y)2②，又AB的中点M(x,y)到y轴的距离为x=气：％③，2 1 2 1 2将①③代入②整理得4(yy)2+2yy+32—4x2—2x=0④，yy为实数，\o"CurrentDocument"12 12 12故△=4—4x4(32—4x2—2x)>0又•x>0得x>5⑤，当x=5时，^=0由④解4得yy=—1⑥，(y+y)2=y2+y2+2yy=2x—1=2x5—1=2，可得12 4 1 2 1 2 12 2 4 2y+y=J2⑦，由⑥，⑦可得y,y,由①即得相应的x,x。1 2 1 2 1 2故AB的中点M距y轴最短距离为x=、，且相应的中点坐标为(¥,W_)或(、,—W)。04 42 4 2法二：y2=xy2=xy2—y2=x—x/.k=^——】\o"CurrentDocument"112 2 12 12.•・32=[1+(2y)2](y—y)2n9=(1+4y2)(y—y)212 122x=x+x=y2+y2①2y=y+y②12 1 2 1 2由①一②2得2x—4y2=—2yy③①+③得4x—4y2=(y—y)2④12 1 2④代入①得4x= —+4y2>2x/9—1=5nx>51+4y2 4当且仅当厂二=4y2+1 y2=1y=±了时等式成立。1+4y2 2 2.xm.n=4 M弓,±f4、三点共线法(对称点法)x2y2【例1】已知亏+专=1的焦点为F1、F2,在直线l:x+y+6=0上找一点虬求以F1、F2为焦点，通过点M且点M到两焦点的距离之和最小时的椭圆方程.【解析】F](-2,0)、F2(2,0),^关于1的对称点为F«(-6,-4),连接F«、马交1于点M即为所求，2a=|FjF2|=4V5,c=2,x2 y2<【例2】即为所求，2a=|FjF2|=4V5,c=2,x2 y2<【例2】已知椭圆宥+寻=1JL匕O和直线l:X-y+9=0，在l上取一点M，经过点M且以椭圆的焦点fq为焦点作椭圆，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。【解析】设F是F；关于l对称点联立得交点M为所求。如图所示。可求出F：坐标，过F：q的直线方程与x-y+9=0求出F：坐标为（-9,6），即过M的椭圆长轴最短，得F(-3,0)：,q(3,0)，设｛是Fi关于1对称点，可过”的直线方程：x+2y-3=0与x-yE联立，得交点M（-5,4），由IMF^I+IMqi=2a,・.・a2=45,c2=9,..・b2=36x2y2所求椭圆方程为45&=15.均值不等式法x2 y2【例】椭圆上天+土-=1上一点P到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（）A.（5,0）或（-5,0） B.（5，工）或（5，-工）22 2 2x2y2b2=16,所求椭圆为20+16=1-C.(0,3)或(0,-3) D.(电,3)或(-巨,3)22 22【答案】C【解析】因为椭圆第一定义为|PF1|+|PF2|=2a,2a为定值，这正符合均值不等式和一定时，积有最大值这个结论.因而由|PF1|+|PF2|=10,所以\PF|+\PF橙2』PF|•|PF|，所以当|PF|=|PF|时，|PF|・|PF|=m取最大值，故P是2V1 2 12 12短轴的端点时，m最大.【例】过椭圆2x2+y2=2的焦点的直线交椭圆A,B两点，求AAOB面积的最大值。【解析】由过椭圆焦点，写出直线AB方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，将AAOB表示成k的函数，巧妙运用均值不等式可求其解。椭圆焦点(。,±1)，设直线过焦点F(0,1)，直线方程y=kx+1与2x2+y2=2联立，消去y，得(2+k2)x2+2kx-1=0，其中两根气,x2为A,B两点的横坐标。将三角形AOB看作AAOF与KBOF组合而成，|OF|是公共边，，它们在公共边上的高长为Ix一xI.S=-IOFI•Ix一xI,其中|OF|=c=1.1 2 AAOB2 1 2.SAAOB.SAAOB=2’x1-气I=2((x+x)2-4xx1：4k2+4(2+k2)2\；(2+k2)28:8:—； T"k2+1+ k2+1+2一2.TOC\o"1-5"\h\z■ 1 1 5当k2+1=E即灯0时'取等号，…八 克即当直线为y=1时，得到AAOB的面积最大值为 。【例】设椭圆中心在坐标原点A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与椭圆交于E,F两点，求四边形AEBF面积的最大值.x2 一【解析】依题意设得椭圆标准方程为—+y2=1直线AB、EF的方程分别为x+2y=0,y=kx(k>0)设E(x,kx)F(x,kx)(x<x)11 22 1 2

x2 1——+y2=14yx2 1——+y2=14y=kx...x12 _ 2v'1+4k2，2 <1+4k2根据点到直线距离公式及上式，点E、F到AB的距离分别为气+2kX]-2|_2(1+2k+J1+4k2)

<5 <5(1+4k2)x2+2kx-2_2(1+2k-J1+4k2)<5 顼5(1+4k2)又|A8|=\污四边形AFBE的面积为s=水3|(h1+h- 4(1+2k) 2(1+2k)S=-J5 =l-<5(1+4k2)气：'(1+4k2)(1+2)2 • =21+4k21+4k+4k21+4k2当且仅当2k=1即k=1时"="成立,S=2/22 max【2005年全国II】P、Q、M、N四点都在椭圆x2+21=1上，f为椭圆在y轴正半轴上2的焦点.已知PF与FQ共线，MF与FN共线，且PF•MF=0.求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.y【解析】①如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQXMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为y=kx+1将此式代入椭圆方程得(2+k2)x2+2kx—1=0设P、Q两点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，贝ij1 1 2 2

—k一、「2k2+2 —k+\2k2+2气——2+k2 ，*2=—2+k28(1+k2)2从而|PQI2=(*—*)2+(y—y)2=—~:—2 1 2 (2+k2)2亦即IPQ1=2七2(1+k2)⑴当kN0时，MN的斜率为一1,TOC\o"1-5"\h\z+k2 k2克(1+(1—1)2)同上可得：|MN1= —^—2+(-1)2k4(1+k2)(1+土) 4(2+k2+上)故所求四边形的面积S=11PQIIMN1= 字= 岑(2+k2)(2+土) 5+2k2+—k2 k21 4(2+u) 1令u=k2+——碍S= =2(1— )k2 5+2u 5+2uu=k2+]N2 当k=±1时u=2,S=16且S是以u为自变量的增函数。.・.k2 916<S<29②当k=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2<2,|PQ|二\；2°「.S=-|PQ||MN|=22综合①②知四边形PMQN的最大值为2,最小值为号。【例】如图所示，设点F,F是^+、=1的两个焦点，过F的直线与椭圆相交于A、B1 2 3 2 2两点，求△FAB的面积的最大值，并求出此时直线的方程。1B(*2,y2)，则【解析】S