2022年天津宝坻区育英中学 高三数学文下学期期末试题含解析

2022年天津宝坻区育英中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设i是虚数单位，复数(

)A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2.设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”［即对任意的a，bS，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素a﹡b与之对应］。若对任意的a，bS，有a﹡（b﹡a）＝b，则对任意的a，bS，下列等式中不恒成立的是

（

）Ａ．（a﹡b）﹡a＝aＢ．［a﹡（b﹡a）］﹡（a﹡b）＝aＣ．b﹡（b﹡b）＝bＤ．（a﹡b）﹡［b﹡（a﹡b）］＝b参考答案：A略3.若x，y满足不等式组，则z=|x﹣3|+2y的最小值为（）A．4 B． C．6 D．7参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，化简z=|x﹣3|+2y=，从而分别求最小值，从而解得．【解答】解：由题意作出其平面区域如右图，易知A（0，2），B（5，3），C（3，5），D（3，）；z=|x﹣3|+2y=，当x≥3时，z=x+2y﹣3在点D处取得最小值为，当x＜3时，z=﹣x+2y+3＞，故z=|x﹣3|+2y的最小值为，故选B．4.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．2 B． C．1 D．参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥（也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面S=（1+2）×1=，高h=1，故体积V==，故选：D也可以看成是一个四棱锥与三棱锥的组合体，同样得分．【点评】本题考查的知识点是棱锥的表面积和体积，简单几何体的三视图，难度中档．5.已知两个非零向量=（a1，b1），=（a2，b2），若条件p：“”，条件q：“关于x的不等式a1x+b1＞0与a2x+b2＞0的解集相同”．则条件p是q的（）A．充分必要条件B．非充分非必要条件C．充分非必要条件D．必要非充分条件参考答案：D略6.如图所示的程序框图，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．1 B．5 C．16 D．48参考答案：D【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的v，i的值，可得当i=﹣1时不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=3，x=3，v=1，i=2满足条件i≥0，执行循环体，v=5，i=1满足条件i≥0，执行循环体，v=16，i=0满足条件i≥0，执行循环体，v=48，i=﹣1不满足条件i≥0，退出循环，输出v的值为48．故选：D．7.复数为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是

（

）

参考答案：A略8.对于非零向量，，定义运算“”：其中为，的夹角，有两两不共线的三个向量，下列结论正确的是A．若则

B．C．

D．参考答案：C略9.抛物线的准线方程是（A）

（B）（C）

（D）参考答案：答案：B解析：P=，准线方程为y=，即，选B10.已知，如图所示，全集U，集合M=Z（整数集）和N={x∈N|lg（1﹣x）＜1}，则图中阴影部分所示的集合的元素共有(

) A．9个 B．8个 C．1个 D．无穷个参考答案：C考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：集合．分析：由韦恩图中阴影部分表示的集合为M∩N，然后利用集合的基本运算进行求解即可．解答： 解：N={x∈N|lg（1﹣x）＜1}={x∈N|0＜1﹣x）＜10}={x∈N|﹣9＜x＜1}={0}，由韦恩图中阴影部分表示的集合为M∩N，∴M∩N={0}，有一个元素，故选：C点评：本题主要考查集合的基本运算，利用韦恩图确定集合关系，然后利用集合的运算确定交集元素即可．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________参考答案：答案：解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，．12.对于函数与函数有下列命题：①函数的图像关于对称；②函数有且只有一个零点；③函数和函数图像上存在平行的切线；④若函数在点P处的切线平行于函数在点Q处的切线，则直线PQ的斜率为

其中正确的命题是

。（将所有正确命题的序号都填上）参考答案：②③④画出函数的图像可知①错；函数的导函数，所以函数在定义域内为增函数，画图知②正确；因为，又因为，所以函数和函数图像上存在平行的切线，③正确；同时要使函数在点处的切线平行于函数在点处的切线只有，这时，所以，④也正确．13.对于函数，其中，若的定义域与值域相同，则非零实数的值为_____________．参考答案：14.如图，三棱锥S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，AB=6，BC=12，AC=6．SB=6，则三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为．参考答案：216π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由SA⊥平面ABC，可得SA⊥AB，SA的长度．由于AB2+BC2=AC2，可得∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．【解答】解：∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥AB．∴SA==6．∵AB2+BC2=62+122=180==AC2，∴∠ABC=90°．可把此三棱锥补成长方体，其外接球的直径为SC的长．SC2=SA2+AC2==216，解得SC=，∴2R=6，解得R=3．故所求的外接球的表面积S=4πR2=4π×=216π．故答案为：216π．15.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为

.参考答案：016.函数的定义域为

．

参考答案：略17.若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行则实数a=．参考答案：﹣1考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由直线的平行关系可得a的方程，解方程验证可得．解答：解：∵直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y+（a2﹣1）=0平行，∴a（a﹣1）﹣2×1=0，解得a=﹣1或a=2，经验证当a=2时，直线重合，a=﹣1符合题意，故答案为：﹣1点评：本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的图象与的图像有公共点，求的取值范围.参考答案：即是，由绝对值的几何意义可得解集为.........5分（2）............................8分所以的取值范围是............................12分19.（本题满分12分）设，函数．（Ⅰ）若是函数的极值点，求的值；（Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围．参考答案：（Ⅰ）．因为是函数的极值点，所以，即，因此．经验证，当时，是函数的极值点．（Ⅱ）由题设，．当在区间上的最大值为时，对一切都成立，解法一：即对一切都成立．令，，则由，可知在上单调递减，所以，故a的取值范围是

解法二：也即对一切都成立，

（1）当a=0时，-3x-6<0在上成立；

（2）当时，抛物线的对称轴为，当a<0时，，有h(0)=-6<0,所以h(x)在上单调递减，h(x)<0恒成立；当a>0时,因为h(0)=-6<0,,所以要使h(x)≤0在上恒成立,只需h(2)≤0成立即可,解得a≤;综上，的取值范围为．20.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（Ⅰ）证明；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

（Ⅲ）（方法一）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），可得，，，.由为棱的中点，得.（Ⅰ）证明：向量，，故.所以，.（Ⅱ）解：向量，.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.于是有.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：向量，，，.由点在棱上，设，.故.由，得，因此，，解得.即.设为平面的法向量，则即不妨令，可得为平面的一个法向量.取平面的法向量，则.易知，二面角是锐角，所以其余弦值为.

（方法二）（Ⅰ）证明：如图，取中点，连接，.由于分别为的中点，故，且，又由已知，可得且，故四边形为平行四边形，所以.因为底面，故，而，从而平面，因为平面，于是，又，所以.（Ⅱ）解：连接，由（Ⅰ）有平面，得，而，故.又因为，为的中点，故，可得，所以平面，故平面平面.所以直线在平面内的射影为直线，而，可得为锐角，故为直线与平面所成的角.依题意，有，而为中点，可得，进而.故在直角三角形中，，因此.所以，直线与平面所成角的正弦值为.（Ⅲ）解：如图，在中，过点作交于点.因为底面，故底面，从而.又，得平面，因此.在底面内，可得，从而.在平面内，作交于点，于是.由于，故，所以四点共面.由，，得平面，故.所以为二面角的平面角.在中，，，，由余弦定理可得，.所以，二面角的斜率值为.21.如图1，一条宽为的两平行河岸有村庄和发电站，村庄与的直线距离都是与河岸垂直，垂足为.现要铺设电缆，从发电站向村庄供电.已知铺设地下电缆，水下电缆的费用分别为万元万元.（1）如果村庄与之间原来铺设有电缆（如图1中线段所示）,只需对其改造即可使用，已知旧电缆的改造费用是万元，现决定在线段上找得一点建一配电站，分别向村庄供电，使得在完整利用之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点的位置.（2）如图2,点在线段上，且铺设电缆线路为，若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值.参考答案：（1），到点的距离为；（2）.试题分析：（1）借助题设条件运用解三角形的知识求解；（2）借助题设建立函数关系,运用导数知识探求.试题解析：（1）根据题意得为等边三角形，因为则水下电缆的最短长度为，过作于点，则地下电缆的最短为，因为为等边三角形，则，又因为，则该方案的总费用为:（万元），此时点到点的距离为.（2），则，令，则，因为，所以在此区间内存在唯一的，使得，即，当时，单减；当时，单增，故，则（万元）施工总费用的最小值为（万元）.考点：正弦定理余弦定理及导数知识的综合运用.【易错点晴