新教材2023-2024学年高中数学第4章概率与统计4.1条件概率与事件的独立性4.1.2乘法公式与全概率公式课件新人教B版选择性必修第二册

第四章4.1条件概率与事件的独立性4.1.2乘法公式与全概率公式基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引

课程标准1.结合古典概型,会用乘法公式计算概率.2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率.*3.了解贝叶斯公式.基础落实·必备知识全过关知识点

乘法公式与全概率公式1.乘法公式:由条件概率的计算公式P(B|A)=可知,P(BA)=

,这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式.

P(A)P(B|A)2.全概率公式:全概率可理解为事件的和与乘法公式的综合应用P(A)P(B|A)定理1

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n.则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn,且上述公式也称为全概率公式.*3.贝叶斯公式:一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有

这称为贝叶斯公式.定理2

若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足:(1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)1>P(Ai)>0,i=1,2,…,n.则对Ω中的任意概率非零的事件B,有上述公式也称为贝叶斯公式.过关自诊1.已知P(A)=0.3,P(B|A)=0.2,则P(BA)=

.

2.已知P(A)=0.5,P(B|A)=0.3,P(B|)=0.4,则P(B)=

.

3.袋子中有三个红球、一个黑球,不放回地摸球,则第二次摸到红球的概率是

.

0.06解析

P(BA)=P(A)·P(B|A)=0.3×0.2=0.06.0.35解析

用A1表示“第一次摸到红球”,A2表示“第二次摸到红球”,B1表示“第一次摸到黑球”,由全概率公式,P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)重难探究·能力素养全提升探究点一乘法公式【例1】

[北师大版教材例题]已知口袋中有3个黑球和7个白球,这10个球除颜色外完全相同.(1)先后两次从中不放回地各摸出一球,求两次摸到的均为黑球的概率;(2)从中不放回地摸球,每次各摸一球,求第三次才摸到黑球的概率.解

设事件Ai表示“第i次摸到的是黑球”(i=1,2,3),则事件A1A2表示“两次摸到的均为黑球”.变式探究

本例中条件不变,求先后两次从中不放回地各摸出一球,第一次取得黑球,第二次取得白球的概率.规律方法

乘法公式求概率的关注点(1)来源:乘法公式是条件概率公式的变形式.(2)适用情境:求P(AB)时可用乘法公式.变式训练1[北师大版教材习题]甲、乙两人参加面试,每人的试题通过不放回抽签的方式确定.假设被抽的10个试题签中有4个是难题签,按甲先乙后的次序抽签.(1)求甲抽到难题签的概率;(2)若甲抽到难题签,求乙也抽到难题签的概率;(3)求甲和乙都抽到难题签的概率.解

设事件A表示“甲抽到难题签”,事件B表示“乙抽到难题签”.(1)甲抽到难题签的概率(2)若甲抽到难题签,则乙也抽到难题签的概率为(3)甲和乙都抽到难题签的概率为探究点二全概率公式【例2】

[人教A版教材习题]现有12道四选一的单选题,学生张君对其中9道题有思路,3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题,求他做对该题的概率.变式训练2从5件正品、2件次品中不放回地取出2件,则第二次取出正品的概率是

.

探究点三贝叶斯公式【例3】

[人教A版教材例题]有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.解

设B表示“任取一个零件为次品”,Ai表示“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥.根据题意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.052

5.(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.规律方法

贝叶斯公式的理解(1)贝叶斯公式可以看作是全概率公式和条件概率公式的综合应用.(2)贝叶斯公式可用于责任承担的评估,像例题中计算得到3号车床的责任份额最大.变式训练3[人教A版教材习题]在A,B,C三个地区暴发了流感,这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感.假设这三个地区的人口数的比为5∶7∶8,现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率;(2)如果此人患流感,求此人选自A地区的概率.

解

设A表示“选取的人患流感”,用B1,B2,B3分别表示“选取的人来自A,B,C地区”,成果验收·课堂达标检测12341.[2023黑龙江尚志高二阶段练习]两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为(

)A.0.21 B.0.06

C.0.94

D.0.95D解析

令B表示“取到的零件为合格品”,Ai表示“零件为第i台机床的产品”,i=1,2.由全概率公式得P(B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=

×0.96+×0.93=0.95.故选D.12342.[北师大版教材习题]袋中有3个黑球和2个白球,这5个球除颜色外完全相同.每次从中取出一球,取后放回.设事件A表示“第一次取出白球”,B表示“第二次取出白球,”则P(B|A)=

,P(AB)=

.

12343.在一只布袋中有形状大小一样的32颗棋子,其中有16颗红棋子,16颗绿棋子.某人无放回地依次从中