2022-2023学年山西省教育发展联盟高一年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年山西省教育发展联盟高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据终边相同的角的定义计算.【详解】与角终边相同的角为：,结合选项可得，，才符合题意.故选：D2．已知集合，则集合的真子集的个数为（

）A．7 B．8 C．15 D．16【答案】C【分析】根据对数函数的定义域求出集合A，再根据真子集的概念即可求解．【详解】由题知，故，∴集合A的真子集个数为个．故选：C．3．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出一元二次不等式的解，以及根据指数函数的单调性求出的范围，进而验证充分性和必要性.【详解】由得,由得，,又，故充分性成立，必要性不成立；故选：A4．若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用诱导公式化简条件及目标式即可得结果.【详解】由，即，而.故选：D5．函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】设，则，且，则函数可化为，所以函数的值域为.故选：A.6．已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B．8 C． D．14【答案】B【分析】对根据换底公式化简，结合基本不等式中的妙用求解.【详解】由换底公式，，故，当，结合，可得时取等号，故的最小值为.故选：B7．已知三个函数，，的零点依次为，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用零点的存在性定理，分别求得，和，即可求解.【详解】由题意得，函数都是单调递增函数，因为，所以，可得，因为，所以，可得因为，所以，所以，所以.故选：D.8．已知函数是定义域为的偶函数，且为奇函数，当时，.若，则（

）A．2 B．0 C． D．【答案】A【分析】由函数性质判断函数的周期性，根据特殊值求的值，再根据函数的解析式，代入求值.【详解】为奇函数，，又为偶函数，，，即，所以函数的周期为4，由，令，易得，，解得，当时，.故选：A二、多选题9．下列命题中是真命题的是（

）A．， B．，C．，使 D．，【答案】ABC【分析】对于A，配方法即可判断；对于B，取即可判断；对于C，取即可判断；对于D，取即可判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，B正确；对于C，当，满足，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：ABC10．已知是第三象限角，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断AB；根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断CD.【详解】已知是第三象限角，∴.对于AB，由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；对于CD，由，角的终边在第二象限或第四象限，不一定成立，C错误；成立，D正确.故选：AD．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，，则下列叙述中正确的是（

）A．在上是增函数 B．是奇函数C．的值域是 D．的值域是【答案】AD【分析】先对分离常数得到，即可研究函数的单调性和值域，又因为，可得到的值域，可取特值说明,判定不是奇函数.【详解】由题，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，所以在上是增函数，故A选项正确；且，，故C选项错误；所以，D选项正确；又，，，故不是奇函数，故B选项错误；故选：AD.12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（

）A．函数与有3个交点 B．当时，C．在上单调递增 D．函数与有6个交点【答案】BCD【分析】对于A、C选项，作出的图象观察可得；对于B选项：由奇函数直接可求得当时的解析式；对于D选项：对复合方程求根，先由求得，则根的个数即根的个数总和.【详解】当时，令，解得，令，解得，将图象位于轴下方的部分翻折到上方，作出的图象如下图：

对于A，从图上观察与有2个交点，A错误；对于B，函数是定义在上的奇函数，当时，，故B正确；对于C，因为，所以的对称轴为，所以由图象可知，在上单调递增，故C正确；对于D，由A知有两根，当时，得，当时，得，且，令得或，观察图象知有三解，有三解，故共有6解，所以D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛:判断函数零点(方程根)个数的常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根的个数；（2）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为．【答案】【分析】令，求得，，即可得到答案.【详解】由题意，函数（且）令，即，可得，所以函数的图象恒过定点.故答案为：.14．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为，内弧线的长为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则该扇形的中心角的弧度数为．

【答案】/【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为的关系，可求得，进而可得该扇形的中心角的弧度数.【详解】如图，

依题意可得弧的长为，弧的长为，设扇形的中心角的弧度数为，则，则，即，因为，所以，所以该扇形的中心角的弧度数．故答案为：15．已知函数，对，有，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据题意得到函数是上的单调递减函数，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】因为对，，有，可得函数是上的单调递减函数，由，则满足，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.16．已知函数，若，，，则．【答案】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，又由，变形可得，由此可得答案．【详解】因为，所以，所以，所以函数的定义域为，又，因为，，，所以，所以.故答案为：．四、解答题17．如图，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于，两点，且．

(1)求的值；(2)若点的纵坐标为，求的值．【答案】(1)1(2)【分析】（1）由题设，结合诱导公式化简目标式并求值即可；（2）令且易得，根据三角函数定义及诱导公式即可求结果.【详解】（1）由题意知：，.（2）由题意，令且，则，故，所以，而，则.18．已知集合，．(1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）解一元二次不等式求集合，由充分不必要关系知是的真子集，列不等式组求范围；（2）根据交集的结果有或，即可确定范围.【详解】（1），，由“”是“”的充分不必要条件，即是的真子集，所以（等号不能同时成立），则.（2）由知：或，则或.19．已知幂函数在上是减函数，．(1)求的解析式；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性进行计算；（2）结合（1）中的参数，根据幂函数的单调性和定义域计算.【详解】（1）根据幂函数的定义和单调性可知：，解得，于是（2）根据幂函数的单调性，在定义域上单调递减，由，即，于是，解得20．为提高学生身体素质，鼓励学生积极参加体育运动，某校在一处面积为500平方米的室内矩形区域中划分出两个完全相同的长方形活动区域（图中两个小矩形），分别为羽毛球区和乒乓球区，图中阴影部分为观看区域，观看区域的宽度都为3米．

(1)设室内矩形区域长米，请将活动区域的总面积表示为的函数，并求出定义域；(2)应该如何设计室内矩形区域的长，才能使活动区域的总面积最大？【答案】(1)；(2)【分析】（1）由题意可得室内矩形区域宽为米，从而可得，化简即可；由求解可得函数的定义域；（2）利用基本不等式即可求解最大值.【详解】（1）由图中大矩形的面积为平方米，室内矩形区域长米,则宽为米，则，因为,解得，所以函数的定义域为；（2）因为函数的定义域为，所以，当且仅当，即时等号成立，故当该室内矩形区域的长为米时，才能使活动区域的总面积最大.21．已知函数．(1)若的定义域为，求的取值范围；(2)是否存在实数，使得在区间上单调递减？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数的定义域为，可知，即可求解；（2）首先拆分成内外层函数，再根据复合函数的单调性，列式求解.【详解】（1）因为的定义域为,则，即，解得，故的取值范围为；（2）把函数拆分成内外层函数，，，若函数在区间内单调递减，则内层函数在上单调递减，并且，当时，在上单调递减，并且，满足条件，当时，需满足下列条件则，解得：,综上可知存在实数，的取值范围是.22．已知函数．(1)若，求的值；(2)若对任意，总存在使得成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分段函数解析式，结合指数运算，将自变量代入求值即可；