24.3 正多边形和圆

24.3正多边形和圆R·九年级上册新课导入情景：欣赏下面图片.问题：什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？正多边形与圆有哪些关系？(1)理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心角等概念.(2)会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某些正多边形.推进新课正多边形的定义及它与圆的关系知识点1三条边相等，三个角相等（60°）四条边相等，四个角相等（90°）正三角形正方形

各边相等，各角也相等的多边形是正多边形.正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.正多边形定义观察下列图形，从这些图形中找出相应的正多边形.

菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？正多边形都是

图形,一个正n边形共有

条对称轴，每条对称轴都通过n边形的

.正多边形的对称性边数是偶数的正多边形还是

，它的中心就是对称中心.轴对称n中心中心对称图形有没有对称轴？你知道正多边形与圆的关系吗？

正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.·ABCDEOABCDE∴AB=BC=CD=DE=EA,∴∠A=∠B.·ABCDEO同理∠B=∠C=∠D=∠E.又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,⊙O是五边形ABCDE的外接圆.我们以圆的接正五边形为例证明.如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边形ABCDE.∵AB=BC=CD=DE=EA⌒⌒⌒⌒⌒∴BCE=CDA=3AB⌒⌒⌒把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.定义：EFCD.O中心角半径R边心距r正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.正多边形的半径:外接圆的半径.正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆心角.正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.AB正多边形的有关概念及相关计算知识点2中心EDCBAO半径中心角边心距正多边形中的有关概念：F既是外接圆的圆心，也是内切圆的圆心.正n边形的一个内角的度数是____________;中心角是___________;正多边形的中心角与外角的大小关系是________.中心角与内角互补.相等想一想：EDCBAOF

有一个亭子,它的地基半径为4m的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m2).因此，亭子地基的周长l=4×6=24(m).解:如图由于ABCDEF是正六边形,所以它的中心角等于，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.例利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积在Rt△OPC中，OC=4，PC=怎样画一个正多边形呢？问题1：已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.120°①用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°．②用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．AOCB有关正多边形的作图知识点3你能用以上方法画出正四边形、正五边形、正六边形吗？·ABCDO·ABCDEOOABCDEF·90°72°60°

你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？OABCEF·D

以半径长在圆周上截取六段相等的弧，依次连接各等分点，则作出正六边形.

先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……随堂演练基础巩固1.下列说法中正确的是()A.各边都相等的多边形是正多边形B.正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C.各边都相等的圆内接多边形是正多边形D.各角都相等的圆内接多边形是正多边形C2.如果一个正多边形的每个外角都等于36°，则这个多边形的中心角等于()A.36°B.18°C.72°D.54°3.如图，点O是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O(使直角的顶点落在点O处)，把这个正六边形的面积n等分，那么n的所有可能取值的个数是()A.4B.5C.6D.7AB4.如图，要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？解：如图，∠ABC=120°.AB＝BC＝a,AC＝b.过B作BD⊥AC于点D,则AD=DC=b.在Rt△ABD中，∠BAC=30°,∴BD=AB=3mm.∴b=2AD=6mm.即扳手张开的开口b至少要6mm.ACBD5.如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.解：设正八边形的边长为xcm,解得x1=4-4，x2=-4-4(舍去).∴正八边形的边长为(4-4)cm,∴剪去的四个小三角形的面积为

面积为4×4-(48-32)=(32-32)cm2.即x2+8x-16=0.6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF=DM.(1)求证：△BCF≌△CDM；(2)求∠BPM的度数.

综合应用7.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是()A.a4＞a2＞a1

B.a4＞a3＞a2C.a1＞a2＞a3D.a2＞a3＞a4拓展延伸B1.矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？2.各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内

接多边形呢？如果是，说明为什么；如果不是，举出反例。练习【教材P106练习第1、2题】解:矩形不是正多边形，菱形不是正多边形，正方形是正多边形.解:各边相等的圆内接多边形是正多边形.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，例如圆内接矩形，它不是正多边形.3.分别求半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边

心距和面积.【教材P106练习第3题】解:半径为R的圆内接正三角形的边长为

R，边心距为R，面积为R2.半径为R的圆内接正方形的边长为

R，边心距为R，面积为2R2.(1)画一个以任意点O为圆心,以2cm长为半径的圆;(2)用量角器画一个等于=72°的圆心角,得到此角所对的弧;(3)在圆上依次截取这条弧的等弧,得圆的五等分点;(4)顺次连接各等分点,得到此圆的内接正五边形;(5)连接正五边形的各条对角线得到五角星.如图所示:4.画一个半径为2cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画出一