2024届新高考数学一轮复习配套练习专题6.4 正弦定理、余弦定理的应用 （新教材新高考）（练）含答案

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题6.4正弦定理、余弦定理的应用练基础练基础1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米 B．米 C．米 D．420米5．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（）A． B． C． D．8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，则的最大值是____________．9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米．A．B．C．D．2.（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为______．4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.5．（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在中，已知且.（1）试确定的形状；（2）求的取值范围.6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形中，，，，、，.（1）求；（2）求面积的最大值.从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设．（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长．8．（2021·江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)（1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)10．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．2.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．4733.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距4.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.5．（2021·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；6.（上海高考真题）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.专题6.4正弦定理、余弦定理的应用练基础练基础1．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.【详解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B2．（2021·江西省万载中学高一期末（理））在中，已知，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形【答案】B【解析】先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.【详解】解：由正弦定理得，整理得：即，又因为,所以,所以，移项得：,所以三角形一定为直角三角形.故选：B3．（2021·辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰・康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他引以为傲的研究成果之一．定理的内容是：三角形ABC的三条边长分别为a，b，c，分别延长三边两端，使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆．现有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆的半径，进一步可求其面积.【详解】康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，所以其康威圆半径为，故面积为．故选:C.4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在处（点在水平地面的下方，为与水平地面的交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点，两地相距100米，，其中到的距离比到的距离远40米．地测得该仪器在处的俯角为，地测得最高点的仰角为，则该仪器的垂直弹射高度为（）A．210米 B．米 C．米 D．420米【答案】C【解析】在中利用余弦定理求出，进而在中可求出，再在中求出，即可得解．【详解】设，所以，在中，，，所以，，即，．在中，，所以，又在中，，所以，因此．故答案为：C．5．（2021·山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【解析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案.【详解】因为在中，，，所以，在中，，由正弦定理得：，即，所以，在中，，所以（米）故选：A6．（2021·四川成都市·成都七中高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南方向上，俯角为，则该车的行驶速度为（）A．15米/秒 B．15米/秒C．20米/秒 D．20米/秒【答案】A【解析】根据题意可得，再除以时间即可得解.【详解】根据题意，由B处在山顶俯角为，所以，由A东偏南，B东偏南，所以，所以为等腰三角形，所以，由，所以速度为米/秒，故选：A7．（2021·山西临汾市·高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比为（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡处测得，从处沿山坡往上前进到达处，在山坡处测得，则宝塔的高为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，在中利用正弦定理可求得.【详解】由题可知，，则，，设坡角为，则由题可得，则可求得，在中，，由正弦定理可得，即，解得，故宝塔的高为44m.故选：A.8.（2021·浙江高一期末）在中，，若，则的最大值是____________．【答案】【解析】由，结合向量数量积的定义及余弦定理可得，进而可求得，而要求的最大值，只要求解的最小值即可【详解】解：因为，所以，由余弦定理得，得，由余弦定理可得，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，根据余弦函数在上单调递减可知，此时角取得最大值为，所以的最大值是，故答案为：9．（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30∘的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75∘的方向上，仰角为30∘【答案】100【解析】由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006.10．（宁夏高考真题）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.【答案】见解析【解析】要求长度，需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1B点到M，N的俯角α2,β2；A，②第一步：计算AM.由正弦定理AM=d第二步：计算AN.由正弦定理AN=d第三步：计算MN.由余弦定理MN=练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·四川自贡市·高三三模（文））如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为α，沿倾角为β的斜坡向上走b米到B处，在B处测得山顶P的仰角为γ（A、B、P、Q共面）则山高P等于（）米．A．B．C．D．【答案】A【解析】已知仰角为，的倾斜角，在处测得山顶的仰角为，用正弦定理可计算出高度.【详解】由题意可知，，，分别在，中，，，所以，又，在中，由正弦定理可得，即，，在中，.故选：A.2.（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形中，，，，，，则四边形的面积为________.【答案】【解析】由已知条件可得，，，应用三角形面积公式求，，即可求四边形的面积.【详解】由题意，知：，且，，∴，，∴四边形的面积.故答案为：3．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，被称为“中国剩余定理”．他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”．世界各国从小学、中学到大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则．科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a，b，c，S为三角形的三边和面积）表示．在中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，若，且则面积的最大值为______．【答案】【解析】利用余弦定理化简已知条件得到的关系式，将的关系式代入所给的面积公式中，将面积转化为关于的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以当时，有最大值为，故答案为：.4．（2021·河南高二月考（文））为测量山高.选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得N点的仰角，C点的仰角以及，从C点测得.已知山高米.则所求山高为___________米.【答案】【解析】在中可求得，再在利用正弦定理可求出，即可求得山高.【详解】由题，在中，，，在中，，，则，由正弦定理可得，即，解得，又在中，，，所以所求山高为米.故答案为：.5．（2021·齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在中，已知且.（1）试确定的形状；（2）求的取值范围.【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】（1）根据正弦定理化简整理得到即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将表示成，接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.【详解】解：（1）由正弦定理得：，所以①因为，所以所以，②把②代入①得所以是直角三角形（2）由（1）知，所以所以.根据正弦定理得因为，所以即的取值范围是.6．（2021·重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形中，，，，、，.（1）求；（2）求面积的最大值.从①且为锐角；②；③这三个条件中任选一个补充在上面的问题中并作答【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.【解析】（1）选①：利用三角形的面积公式求出，结合为锐角求出的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的长；选②：利用余弦定理计算得出的值，结合的取值范围可求得的值，利用余弦定理求出，再利用正弦定理可求得的长；选③：求出，利用余弦定理计算得出的值，结合的取值范围可求得的值，再利用正弦定理可求得的长；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，利用三角形的面积公式可得结果.【详解】（1）选①，，是锐角，，由余弦定理可得，则，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，；选②：，，，由余弦定理可得，则，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，；选③：，由余弦定理可得，，，，则是四边形的外接圆直径，是的外接圆直径，；（2）由（1），，在中，由余弦定理可得，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，.7．（2021·全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在其正东方向点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足，，设．（1）当，求四边形的面积；（2）当为何值时，线段最长．【答案】（1）；（2）时，最长为.【解析】（1）利用余弦定理求出，即得解；（2）先求出，设,，，利用余弦定理求出即得解.【详解】（1）在△中，由余弦定理得所以.所以四边形的面积.（2）由题得所以，设,，所以，所以所以，因为，所以时，最长为.8．（2021·江苏高一月考）缉私船在A处测出某走私船在方位角为(航向)，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.(方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)（1）若，求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.【答案】（1），；（2）能，．【解析】（1）在中，由正弦定理得缉私船航行的方位角正弦值；在中，由余弦定理建立方程，即可求出截获走私船所需的时间；（2）由（1）知，利用换元法得到关于的方程在必有两不同的实根，即可求解．【详解】（1）设缉私船在B处截获走私船，所需的时间为，依题意，得，在中，由正弦定理得，，方位角为，，在中，由余弦定理得，，当时，，解得（负值已舍），即截获走私船所需时间为．（2）由（1）知，，即，因为走私船距离陆地27海里以9海里/时的速度航行，所以要能截获需在3小时之内，令，若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，则关于的方程在必有两不同的实根，则解得，9．（2021·广东汕头市·高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到两份外卖单，他须分别到B地､D地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回A地.A，B，C，D各地的示意图如图所示，，，，，，假设小李到达B､D两地时都可以马上取餐(取餐时间忽略不计)，送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径(如：)，并计算各种送餐路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.(各数值保留3位小数)(参考数据：，)【答案】答案见解析【解析】根据正弦定理先求解出的值，再根据余弦定理求解出的值，然后分析每条送餐路径的路程并确定出最短送餐路径对应的送餐时间.【详解】解：在中，由正弦定理可知：，即：，解得：，由，即：，解得：，(由余弦定理可得，解得或者，)在中，由余弦定理可知：即，解得或(舍)；①若送餐路径为：，则总路程=②若送餐路径为：，则总路程=③若送餐路径为：，则总路程=④若送餐路径为：，则总路程=所以最短送餐路径为，此路径的送餐时间为：(分钟).10．（2021·江苏扬州市·扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域，，，百米，百米．该区域内原有道路，现新修一条直道（宽度忽略不计），点在道路上（异于，两点），，．（1）用表示直道的长度；（2）计划在区域内种植观赏植物，在区域内种植经济作物．已知种植观赏植物的成本为每平方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路的成本为每百米1万元，求以上三项费用总和的最小值．【答案】（1），；（2）万元．【解析】（1）根据解三角形和正弦定理可得，，（2）分别求出，，可得，设三项费用之和为，可得，，利用导数求出最值.【详解】解：（1）过点作，垂足为，在中，∵，，，∴，在中，∵，，，∴，∴，∵，∴，在中，由正弦定理可得，∴，，（2）在中，由正弦定理可得，∴，∴，又∴，设三项费用之和为，则，，∴，令，解得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，∴，即三项费用总和的最小值为万元．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A2.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（）A．346 B．373 C．446 D．473【答案】B【解析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．【详解】过作，过作，故，由题，易知为等腰直角三角形，所以．所以．因为，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以．故选：B．3.（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【解析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．【详解】如图所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故选：A.4.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.【答案】25【解析】分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.【详解】由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，小正方形的面积：，从而.故答案为：25.5．（2021·北京高考真题）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.【详解】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由（1）可得，设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，由余弦定理可得边上的中线的长度为：；若选择③：由（1）可得，即，则，解得，则由余弦定理可得边上的中线的长度为：.6.（上海高考真题）如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1），千米；（2）超过了3千米.【解析】（1），设此时甲运动到点，则千米，所以千米.（2）当时，乙在上的点，设甲在点，所以，，所以，当时，乙在点不动，设此时甲在点，所以.所以.所以当时,，故的最大值超过了3千米.专题7.1数列的概念与简单表示练基础练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A．递推公式也是数列的一种表示方法B．an=an-1，a1=1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是递推公式3．（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则A． B． C． D．4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（）A． B．C． D．若，则5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（）A． B． C． D．6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A．55 B．58 C．60 D．627．（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（）A．1010 B．2020 C．3030 D．40408.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．10.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（）A． B． C． D．2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．4．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A． B．C．当为偶数时， D．当为奇数时，5．（2020·四川高一期末（理））已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的､都有：，则数列的第47项的值为（）A．384 B．47 C．49 D．3767．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（）A． B．数列是递增数列C． D．8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（）A． B．C． D．9．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，若恒成立，求实数的取值范围.10．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.（1）求，的值；（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．练真题TIDHNEG练真题TIDHNEG1．（2021·浙江高考真题）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（）A． B． C． D．2.（2019·浙江高考真题）设，数列中，，,则（）A．当 B．当C．当 D．当3．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国I理科）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A． B． C． D．5．（2020·全国高考真题（文））数列满足，前16项和为540，则______________.6.（2021·全国高考真题）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和.专题7.1数列的概念与简单表示练基础练基础1．（2021·全国高二课时练习）已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出，则该数列的第5项等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【解析】利用an=an-1+an-2(n>2)逐项求解即可求得答案.【详解】解析：∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n>2)，∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.答案：C.2．（2021·全国高二课时练习）下列说法错误的是（）A．递推公式也是数列的一种表示方法B．an=an-1，a1=1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图象法、列表法、通项公式法D．an=2an-1，a1=2(n≥2)是递推公式【答案】C【解析】根据数列的概念及递推公式的概念逐项排除答案，得出结论.【详解】根据递推公式和数列的第一项，我们也可以确定数列，故A正确；an=an-1(n≥2)与an=2an-1(n≥2)，这两个关系式虽然比较特殊，但都表示的是数列中的任意项与它的前后项间的关系，且都已知a1，所以都是递推公式.故B,D正确；通过图象、列表、通项公式我们可以确定一个数列，但是还可以有其他形式，比如列举法，故C错误；故选：C.3．（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则A． B． C． D．【答案】C【解析】根据三角函数的周期性可，同理得，可知周期为4，．4．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）在数列中，，，设其前n项和为，则下列命题正确的是（）A． B．C． D．若，则【答案】D【解析】依题意可得，设，即可判断A，利用特殊值法判断B、C，由，可得递增，根据即可证明D；【详解】解：由得，设，则，故A错．取，知B错，时，数列不满足，知C错．对于D，由，知递增，所以，知D正确；故选：D5．（2021·四川省绵阳南山中学高一期中）数列的首项，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根据递推公式列出数列的前几项，再找出数列的周期性，即可得解；【详解】解：因为，且，所以，，，，，，所以数列是以为周期的周期数列，所以故选：A6．（2021·河南高二三模（理））分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（）A．55 B．58 C．60 D．62【答案】A【解析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求.【详解】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈，∴，又∵;;;;;,故选：A.7．（2021·河南高三其他模拟（文））数列满足递推公式，且，，则（）A．1010 B．2020 C．3030 D．4040【答案】B【解析】已知条件可化为左右两端同乘以有，即，，…，，通过累加求和，计算即可求得结果.【详解】左右两端同乘以有，从而，，…，，将以上式子累加得．由得．令，有．故选：B.8.（2019·浙江高考模拟）已知数列满足，，，数列满足，，，若存在正整数，使得，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，则有，，且函数在上单调递增，故有，得，同理有，又因为，故，所以.故选D.9.（2021·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知数列的前项和为，，，，则______．【答案】4【解析】归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.【详解】由题得，，，,,,所以数列的周期为6，，，所以.故答案为：410.（山东省单县第五中学月考）数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.【答案】最大项为【解析】设是该数列的最大项，则∴解得∵，∴，∴最大项为练提升TIDHNEG练提升TIDHNEG1．（2021·四川成都市·成都七中高三月考（理））数列满足，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.【详解】，取，相减，，则推出当时，原式故选：A2．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，，所以，，，，，故选：B3.（2021·辽宁高二月考）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据数列是递增数列得出不等式组，最后通过计算即可得出结果.【详解】因为，，所以，因为数列是递增数列，所以，解得，即.故选：C.4．（2021·全国高三其他模拟（理））大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，由此规律得到以下结论正确的是（）A． B．C．当为偶数时， D．当为奇数时，【答案】B【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，代入数列的具体值即可判断出各个选项．【详解】解：其部分项如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，，则数列的通项公式为：，所以，，当为偶数时，，当为奇数时，．故选：B．5．（2020·四川高一期末（理））已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由和与通项的关系先求出，进而求出，，再用裂项相消求出即可获解.【详解】设数列的前项和为，由题意得，当时，，即当时，所以，当时，，也满足，所以故故，所以实数的取值范围为

故选：A.6．（2021·四川成都市·树德中学高三其他模拟（理））已知数列，，其中数列满足，前项和为满足；数列满足：，且对任意的､都有：，则数列的第47项的值为（）A．384 B．47 C．49 D．376【答案】A【解析】根据，分别取不同的n值，求得，并根据，求得；取得，，从而利用累加法求得，从而求得结果.【详解】时，，解得，时，，得，时，，得，从而有，，时，，得，时，，得，则，，又，故，取得，，则故，则，故数列的第47项为故选：A7．【多选题】（2021·辽宁高三月考）已知数列满足：，是数列的前项和，，下列命题正确的是（）A． B．数列是递增数列C． D．【答案】ABD【解析】选项A.设,求出其导函数得出其单调性，可得，，设，求出其导函数，得出其单调性，可得，从而可判断A；选项B.设,求出其导数，借助于选项A中构造的函数结论，可得其单调性，从而可判断;选项C.由可判断；选项：由选项B数列是递增数列，所以，由选项A中得到的结论可得，从而可判断.【详解】由题意，则设，则所以在上的单调递减，所以，即当时，可得，即设，所以在上的单调递增，所以取，可得，即所以，所以选项A正确.设，则由上在上恒成立，则所以在上恒成立，所以在上单调递增.所以数列是递增数列，故选项B正确.由，所以，所以选项C不正确.由数列是递增数列，所以由上，则，所以所以，故选项D正确.故选：ABD8．【多选题】（2021·福建省福州第一中学高三其他模拟）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为，，，边长为斐波那契数的正方形所对应扇形面积记为，则（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】根据数列的递推公式可判断选项A，再根据累加法计算判断选项B，根据扇形的面积公式判断选项C，再次应用累加法及递推公式判断选项D.【详解】由递推公式，可得，，所以，A选项正确；又由递推公式可得，，，类似的有，累加得