2021年高考数学一模试卷 (三)(含答案解析)

2021年高考数学一模试卷(3)

一、单项选择题(本大题共10小题，共30.()分)

1.已知集合A={x|log4x<1}，B={x\x>2},则4nCRB=()

A.(-oo,2)B.(0,2)C.(一8,2]D.[2,4)

2.双曲线式一艺=1的实轴长为()

36

A.V3B.2V3C.3D.6

r2x—y<10

3.已知实数x,y满足不等式组卜+3yW5,若2=QX-y(a>0)的最小值为9,则实数。的值等

13%+2y>8

于()

A.3B.5C.8D.9

4.已知a,b&R,条件p：a>b,条件q：Iga>Igb+1,则p是4的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知将函数y=cos(2x+9的图象向右平移机个单位长度(m>0)可得y=s讥2x的图象，则正

实数小的最小值为()

6.已知一个几何体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),

则该几何体的体积为()

A.8V2

B.32

C.16V2

D.16

7.己知随机变量f满足P&=0)=/P记=l)=x,P(f=2)=|-x.若0<》<玄则()

A.E(f)随着x的增大而增大，D(f)随着x的增大而增大

B.E(f)随着x的增大而减小，D(。随着x的增大而增大

C.E(f)随着x的增大而减小，D(f)随着x的增大而减小

D.E延)随着x的增大而增大，。筐)随着x的增大而减小

8.某县政府分派4名干部到甲、乙、丙三个贫困村开展“精准扶贫”工作，要求每名干部只去一

个贫困村，且每个贫困村至少安排一名干部，则不同的分配方案种数有()

A.24种B.36种C.48种D.72种

9.在正方体ZBCD-48停1。1中，直线与面BDQBi所成角的正弦为()

10.已知函数/(久)满足/'(%)+f'(x)=2xe-x,且/'((J)=0,若函数g(x)=--a有两个不同的零

点，则实数“的取值范围为()

A.(-0°,;)B.(-oo,^)C.(0,京)D.(0,1)

二、填空题(本大题共4小题，共12.()分)

22

11.F1，尸2为椭圆r：底=l(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆r上.若AMF/z为直角三

角形，且|Ma|=2|“61，则椭圆厂的离心率为.

12.若函数f(x)=，/+以+1的值域为域+”;),则实数。取值范围是.

13.己知a€R,函数/(x)=|x+：—a|+a在区间［1,4］上的最大值是5,则a的取值范围是.

14.已知平面向量日、方满足|22+33|=1，则本方的最大值为.

三、多空题(本大题共3小题，共9.0分)

15.某班级的学生中，是否有外省市旅游经历的人数情况如右表所示.从这个班级中随机抽取1人，

则抽到的人是男生的概率为；若已知抽到的人有外省市旅游经历，则该学生是男生的概率

17.右(2X—1)5(X+2)—£ZQ+CJ|(%—1)+…+Ug(X—I)，+<Zg(X—1)6,则a】+0.2+CI3+。4+

a5+a6=_(1)_,a5=_(2)_.

四、解答题(本大题共5小题，共63.0分)

18.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为“，b,c,且2acosB—ccosB=bcosC.

(1)求角B的大小：

(2)若点。为的BC中点，且AD=b,求的值当的值

19.如图：四棱锥P-4BCD中，底面ABCO是平行四边形，且AC=BD,木

P4L底面ABC£>,PA=AB=1,BC=百，点F是PB的中点，/：V

点E在边BC上移动./：\

(1)证明：当点E在边BC上移动时，总有EF14F；

(2)当CE等于何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。.D

20.(1)已知等差数列｛即｝的前〃项和又满足S3=0,Ss=-5»求｛即｝的通项公式;

(2)在等比数列｛a九｝中，已知的=-1,。4=64,求q与S4

21.如图，椭圆及W+3=l(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,MF2IX轴，直线交y

轴于"点，0H=红，Q为椭圆E上的动点，AFiF?、的面积的最大值为L

4

(1)求椭圆£的方程；

(II)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A,B,C,D,且使轴，如图，问四边形

ABCZ)的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

22.已知函数f(x)=e*T—%,求/'(x)的最小值.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解:由A中的不等式变形得：logd<1=log44,

得到0cx<4,即A=(0,4)；

•••B=[2,+8),全集为R,

•••CRB=(-00,2),

则ACCRB=(0,2).

故选B

求出A中其他不等式的解集确定出A,根据全集R及B求出B的补集，找出A与B补集的交集即可.

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.答案：B

解析：解：根据题意，双曲线的标准方程为至-旺=1,

36

其中a=A/3>

则双曲线的实轴长2a=2痘;

故选：B.

根据题意，由双曲线的标准方程分析可得a的值，由双曲线的实轴长为2“分析可得答案.

本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式.

3.答案：B

解析：

本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.

由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标

代入目标函数得答案.

(2x—y<10

解：由实数x,y满足不等式组x+3yW5,作出可行域如图,

(3x+2y>8

由图可知，当直线y=ax-z过A(2,l)时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小，

z—ax-y(a>0)的最小值为9,

可得：2a-1=9.可得a=5,

故选：B.

4.答案：B

解析：解：由题意可得，若lga>lgb+l,则a>10b>0,故a>b,

若a>b,a、b中有负数时，条件q：Iga>Igb+1不成立，

根据充分条件和必要条件的定义可得「是q的必要不充分条件.

故选：B.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键.

5.答案：D

解析：解：将函数y=cos(2x+；)的图象至少向右平移他个单位长度(6>0)可得y=sin2x=

cos(2x—》的图象，

而y=cos(2x—1)=cos[2(x—m)+^],

故正实数m的最小值为患，

故选：D.

利用函数y=As讥+s)的图象变换规律，诱导公式，得出结论.

本题主要考查函数丫=4$勿(3%+0)的图象变换规律，诱导公式，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，/*/\

底面面积S=|x4x2=4,

4

高九=4,

故该几何体的体积U=4x4=16,

故选：D.

由已知中的三视图，可得该几何体是一个三棱柱，分别求出它的底面面积和高，代入体积公式，可

得答案.

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

7.答案：C

解析：

本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求

解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

求出=D(O=-(x+1)2+|f,从而得出E(f)随着x的增大而减小，。⑷随着x的增大

而减小.

解:•••随机变量f满足P(f=0)=gP(f=1)=x,P(f=2)=|-匕0<尤<|.

E(f)=x+^-2x=^-x,

D(f)=(0—g+%)2X：+(1—g+尤)2xX+(2—g+x)2X(|—X)=一/一1%+g=-(X++

33

36，

2

V0<x<-

・•・E(f)随着x的增大而减小，D(f)随着x的增大而减小.

故选C.

8.答案：B

解析：

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

根据题意，分2步进行分析：①将4名干部分为3组，②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村,

由分步计数原理计算可得答案.

解：根据题意，分2步进行分析：

①将4名干部分为3组，有底=6种分组方法，

②将分好的三组安排甲、乙、丙三个贫困村，有用=6种情况，

则有6x6=36种不同的分配方法，

故选：B.

9.答案：B

解析:

本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运

算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.

解：以。为原点，D4为x轴，0c为了轴，为z轴,

建立空间直角坐标系，

设正方体力BCD—A1&GD1中棱长为1,

则4(1,0,0),0式0,0,1),8(1,1,0),£>(0,0,0),

D^A=(1,0,-1)，丽=(1,1,0)，西=(0,0,1)，

设平面面BDZ\Bi的法向量元=(x,y,z),

则吐x+y=0,取得记=(i,_i,o),

(n-DD1=z=0

设直线ADi与面BDD]Bi所成角为。，

则sin。

|取|•同一V2-V2-2

直线ZDi与面BDD1当所成角的正弦值为土

故选民

10.答案：D

解析：解：函数/'(x)满足/'(x)+/'(x)=2xe-x,2/S

可得ex/(x)+/(x)ex=2x,

即有［//(为］'=2x,_|_p-

可设h(x)=exf(x)=/+c,I

由/(O)=O»可得c=0,

2

则f(x)=3v,

由g(x)=0，可得竽=a，

即卷=a，

由丫=卷的导数为丫'=衰，

当x>l时y'<0,函数y递减，

当x<l时y'>0,函数y递增，

可得y=/在x=1处取得极大值工，

由图象可得0<a<｝时，y=W和直线y=a有两个交点，

函数g(x)有两个零点，

故选：D.

由题意可得［eXf(x)］'=2，可设h(x)=e"(x)=/+c,由/'(())=0,可得c=0,则/(x)=,

即有己=%求得y=R的导数和单调区间、极值，画出图象，即可得到所求范围•

本题考查韩寒说的零点个数问题，考查转化思想和数形结合思想方法，以及构造函数法，考查运算

能力，属于中档题.

11.答案：理或在

33

解析：

本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属

于基础题.

设|MF2|=x,则|MF/=2x,由椭圆的定义可得3x=2a,根据△M&F?为直角三角形，分类讨论,

即可求出椭圆厂的离心率.

解：设IMF2I=X,则=2x,

***3x=2Q,ci—,

2

•••△“招尸2为直角三角形，

若MF210尸2，则％2+4c2=(2x)2,

V3c6

/.c=-x,e=-=一;

2a3

若M&IMF2，则/+(2x)2=4C2,

VscV5

:'c=-%,e=-=一・

2a3

故答案为：3或立.

33

12.答案：(―oc,—2](J[2,+x)

解析：

本题主要考查函数的定义域和值域，属于基础题.

由题意得；(•,+oc)应是函数y=x2+ax+1值域的子集，转化成函数y=x2+ax+1与x轴有交点,

进而即可得结果.

解：由题意可知，令)/=尢2+。刀+1,

・•・函数/(x)的值域为“).+x).

二函数y=x2+ax+1与x轴有交点，

即4=a2—4>0,

解得a>2<-2,

故答案为(一x,-2]U[2,+x).

13.答案：(—8勺

解析：

通过转化可知设+：一叫+。45且。勺5,进而解绝对值不等式可知2a—5Wx+：W5,进而计算

可得结论.

本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题.

解：由题可知+(-a|+aS5,BP|x+^—<i|<5—a,所以aW5,

又因为|x+：-a|<5-a,

所以Q5<x-a<5—a,

—X

所以2a—5<%-1--<5,

X

又因为4<x+^<5,

所以2Q-5W4,解得aW，

故答案为：(一8,5.

14.答案：(

解析：解：由|2丘+31|=1，

则方,另=(2瓦+3匕尸—(25-3》

2424

2

=-1--(-2-a-3-S-)-<,—1,

2424—24

当且仅当24=3石，

即|初=［时，上式等号成立.

a•方最大值为刍

24

故答案为：士.

24

15.答案：g

2

5

解析：

本题考查古典概型概率计算公式的运用，属于基础题.

利用古典概型概率计算公式直接求解即可.

解：因为6+9+9+8=32(人)

这个班级的32人中随机抽取1人，则抽到的人是男生的情况有6+9=15种，

故抽到男生的概率为最

从外省市旅游经历的6+9=15人中抽取一人，其中是男生的共有6种情况，故是男生的概率为2=|.

故答案为H;l.

16.答案：2

43.

i

55

解析：

由实部为0且虚部不为0求得〃值，代入产;，再由复数代数形式的乘除运算化简化简得答案.

1+ai

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.

解：z=(a-2)+(a+l)i,(aWR)是纯虚数，

.a+i_2+i_(2+i)(l-2i)_4_3.

“1+ai-l+2i-(l+2i)(l-2i)-55'

故答案为：2;1—|i.

17.答案:969

176

解析：

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，

求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题.

在已知等式中分别取％=1,2,联立可得由++。3+。4+Q5+由(2%-l)5(x+2)=[2(%-

1)+l]5[(x-1)+3],结合二项展开式的通项可得的.

解：在(2%—1)5(X+2)=—1)+…+CL^(X—I.)，+怒(％—1)6中，

取工=1,得3=a0,

取％=2,得35X4=00+%+02+

Qi+@24-Q3+。4++@6=972—3=969；

由(2%—l)5(x+2)=[2(%—1)+I]5[(%—1)+3]=劭+—1)+…+Ug(x—I)。,

得的(%-1)=c*25(X-1)5•3+Cj•24(x-l)4-(x-1)=176(%-l)5.

:.as=176.

故答案为：969,176.

18.答案：解：(1)在△中，•・,2QCOSB—ccosB=bcosC,

•••由正弦定理得2sizMcos8=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinAf

vAG•••sinAH0,则cosB=

•・,Be・•.5=p

(2)在4480中，由余弦定理得AD2=(|a)24-c2-2x^-cosB=^a2+c2—|ac,

在^ABC中，由余弦定理得炉=a2+c2—2accosB=a24-c2—ac,

vAD=b,•-a2+c2-ac=-a2+c2--ac,整理得.Q2=NQC,

4242

・a•・-=2

c3

由正弦定理得当=2=3

sinCc3

解析：（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角B的大小；

（2）由余弦定理求出4。2,b2t结合已知条件即可求出:的值，再由正弦定理即可得答案.

本题考查解三角形的应用，考查正弦定理和余弦定理的应用，是中档题.

19.答案：证明：（1）因为底面A8CO是平行四边形，且4C=B。，

所以四边形ABC。是矩形.

因为PA_L底面ABCD,ADu平面ABCD,ABu平面ABCD,

所以PA1AD,PA1AB,

所以AZ）,AB,AP两两互相垂直，

分别以A。、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

ZA

则可得P(0,0,1),8(0/，0),F(0,pi),D(V3,0,0),4(0,0,0),

设BE=a,0<a<V3,

则E(a,l,0),•••丽=色彳,-3,AF=(0,i,1),

所以FE•AF=ci'0+^x^+(—[)x：=0,

而1祸

.•・当点E在边BC上移动时，总有EFJL4F.

解：(2)而=(75,0，-1),PE=(a,l,-l)，

设平面PQE的法向量为记=(x,y,z),

M(m-PD=V3x-z=0,令“I,得沅=(i,8百)，

(m-PE=ax+y-z=0'''

・••P4与平面POE所成角的大小为45。，AP=(0,0,1),

..co_|fn-i4P|V2把，"-=—

***sin45='J»=—，得I~~2.

2ll+(V3-a)2+3

解得a=V3—口或a=>J3+鱼(舍去)>

B£=V3-V2,即当CE等于鱼时，PA与平面POE所成角的大小为45。.

解析：本题考查线线垂直的证明，考查使线面角为45。的点的确定与求法，是中档题，解题时要认真

审题，注意向量法的合理运用.

(1)分别以A。、AB.AP所在直线为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系，利用向量法能证明当点

E在边BC上移动时，总有,EF14F.

(2)求出平面PDE的一个法向量，由此利用向量法能求出CE=e时，PA与平面PCE所成角的大小

为45。.

20.答案：解：(1)设｛斯｝的公差为"，则Sn=nai+也沿d.

由已知S3=0,S5=-5嘿煞常工,

解得的=1,d=-1,

故｛an｝的通项公式为册=1-(n-1)=2-n；

(2)在等比数列｛4｝中，由的=-la4=64,

得或=殳=-64,

即q=-4,

故S451.

1—(—4)

解析：(1)本题考查了等差数列的通项公式和求和，属于基础题.

由已知S3=0,S5=-5列式求得等差数列的公差和首项，即得出答案.

(2)本题考查了等比数列的通项公式和求和，属于基础题.

由已知列式求得等比数列的公比，代入前〃项和公式求得

21.答案:解：(1)