空间向量的运算(第二课时)导学案 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

高二数学导学案本学案共10页，第页高二年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：空间向量的运算(第二课时)【学习目标】1．通过空间向量的数乘运算及其运算律的应用，培养数学运算与直观想象素养．2．通过共线向量基本定理及推论的应用，培养逻辑推理素养．3．通过空间向量夹角与数量积等概念的学习，培养数学抽象素养．4．借助空间向量数量积的计算，提升数学运算与直观想象素养．【重点难点】1．掌握空间向量的数乘运算及其数乘向量的几何意义．(重点)；2．理解共线向量基本定理及推论．(重、难点)3．了解空间向量夹角的概念并会求两空间向量夹角．(重点)4．掌握空间向量数量积的计算方法及运算律．(重点、难点)5．理解投影向量与投影数量的概念以及它们之间的关系．(难点)【学习流程】◎基础感知◎探究未知一、知识点梳理1．向量的数乘运算定义与平面向量类似，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘几何定义λ＞0λa与向量a方向相同λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＜0λa与向量a方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律结合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb2．共线向量基本定理空间两个向量a，b(b≠0)，共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．问题1：若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？问题2：在空间向量中，与非零向量a共线的单位向量有几个，分别是什么？3．空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，则∠AOB叫作向量a与b的夹角记法〈a，b〉范围0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b；a·b＝0规定：零向量与任意向量垂直问题3：〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉有什么关系？4．空间向量的数量积(1)定义：已知两个空间向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作a与b的数量积，记作a·b．(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)数量积的性质两个向量数量积的性质若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|．特别地：a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)(a≠0，b≠0)|a·b|≤|a|·|b|5．投影向量与投影数量①如图，已知两个非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，过A向直线OB作垂线，垂足为点A′，称向量eq\o(OA′,\s\up8(→))为向量a在向量b方向上的投影向量，其长度等于||a|cos〈a，b〉|．②如图，|a|cos〈a，b〉称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a·eq\f(b,|b|)．③数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影数量|b|cos〈a，b〉的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影数量|a|cos〈a，b〉的乘积．例1．已知λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0例2．若e1，e2不共线，则下列各组中的两个向量a，b共线的是()A．a＝e1－e2，b＝eq\f(1,2)e1＋eq\f(1,2)e2B．a＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,3)e2，b＝2e1－3e2C．a＝eq\f(1,3)e1－eq\f(1,2)e2，b＝2e1－3e2D．a＝e1＋e2，b＝eq\f(1,2)e1－eq\f(1,2)e2例3．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝()A．－2B．－1C．±1D．2二、空间向量的数乘运算例4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：eq\o(A1O,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))；(2)设E是棱DD1上的点，且eq\o(DE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up8(→))，试用eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))表示eq\o(EO,\s\up8(→))．跟踪训练：本例中试用eq\o(OB,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))，eq\o(OE,\s\up8(→))表示eq\o(AC1,\s\up8(→))．三、向量共线问题方法技巧：向量共线的判定方法判定向量a，b共线就是充分利用已知条件、结合图形特点找到实数λ，使b＝aλ(a≠0)成立．例5.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝eq\f(1,2)FC1，判断eq\o(ME,\s\up8(→))与eq\o(NF,\s\up8(→))是否共线．跟踪训练：在本例中，若M、N分别为AD1，BD的中点，证明：eq\o(MN,\s\up8(→))与eq\o(D1C,\s\up8(→))共线．四、点共线问题方法技巧：证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使eq\o(PA,\s\up8(→))＝λeq\o(PB,\s\up8(→))成立；(2)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))(t∈R)；(3)对空间任一点O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝xeq\o(OA,\s\up8(→))＋yeq\o(OB,\s\up8(→))，其中x＋y＝1．例6.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq\o(A1E,\s\up8(→))＝2eq\o(ED1,\s\up8(→))，F在对角线A1C上，且eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(FC,\s\up8(→))．求证：E，F，B三点共线．跟踪训练：如图，已知OE是平行六面体OADB­CFEG的体对角线，点M是△ABC的重心，求证：点M在直线OE上．五、空间向量的数量积运算方法技巧：求空间向量的数量积可仿照平面向量的数量积的求法进行，注意观察空间向量的方向，正确求出其夹角是求解的关键.例7.已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求(1)eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(ED1,\s\up8(→))；(2)eq\o(BF,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))．跟踪训练：若本例的条件不变，计算eq\o(EF,\s\up8(→))·eq\o(FC1,\s\up8(→))．六、利用数量积求夹角方法技巧：求两个向量的夹角的两种方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围．(2)先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．例8.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，(1)求向量eq\o(OE,\s\up8(→))与eq\o(BF,\s\up8(→))所成角的余弦值；(2)求直线OE与BF所成角的余弦值．跟踪训练：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求向量eq\o(BC1,\s\up8(→))与eq\o(AC,\s\up8(→))的夹角的大小，并求异面直线BC1与AC所成的角．七、利用数量积求两点间的距离方法技巧：求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示．(2)利用|a|＝eq\r(a2)，计算出|a|，即得所求距离．例9.如图，在三棱锥A­BCD中，底面边长与侧棱长均为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且MB＝2AM，CN＝eq\f(1,2)ND，求MN的长．跟踪训练：．已知在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为()A．6B．eq\r(6)C．3D．eq\r(3)◎达标检测1．已知空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))等于()A．eq\o(AG,\s\up8(→))B．eq\o(CG,\s\up8(→))C．eq\o(BC,\s\up8(→))D．eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))2．设a，b是不共线的两个向量，λ，μ∈R，且λa＋μb＝0，则()A．λ＝μ＝0 B．a＝b＝0C．λ＝0，b＝0 D．μ＝0，a＝03．已知a＝e1＋2e2＋eq\f(1,2)e3，b＝3e1－2e2－eq\f(1,2)e3，则3a－b＝()A．4e2＋2e3 B．4e1＋e3C．3e1＋6e2＋e3 D．8e2＋2e34．已知|a|＝3，|b|＝5，若两向量方向相同，则向量a与向量b的关系为b＝________a．5．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)．6．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，则a·b＝()A．1B．2C．3D．47．已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))〉的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2)D．08．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值为()A．a2B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2D．eq\f(\r(3),4)a29．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________．【总结反思】1．空间向量的数乘运算和平面向量完全相同．2．证明(或判断)三点A，B，C共线时，只需证明存在实数λ，使eq\