劈尖干涉条纹定域中心的解析解

劈尖干涉条纹定域中心的解析解

1干涉条纹定域中心的确定众所周知，厚度线性改变的薄膜可以形成断裂，而分裂开采是一种类似于厚度等厚干涉的等厚干涉，广泛应用于精确测量、光学元件加工等领域。由于断裂延迟干预受入射角、两个界面的折射角和反射角、两个界面的相对折射角、断裂角和光源位置等因素的影响，定域中心的确定和定域深度的讨论非常复杂。在不同的角度和一侧，本研究讨论了膜干涉和断裂交叉扰动的定域中心和定域深度的概念或相关计算，这是关于弯曲角度小的类似讨论。对劈裂影响的定域中心和定域深度与上述物理关系的分析讨论相对应。在讨论中，我们讨论了如何尽可能尽可能地将干扰条纹的表面区域？现在没有人研究。在这项工作中，我们获得了定域中心横截面中几个参数的多参量方程，然后使用nb软件消除中间参数，并获得了定域中心的精确分析解。分析了定域中心与定域深度、入射角、截面角度、相对折射角和入射点位置等物理因素的依赖关系，并确定了断裂横截面的检测方法。2中心d点的合成点光源照射劈尖时,干涉属非定域问题,而扩展光源照射下的劈尖定域中心指的是光源的相干孔径角为零的情形.如图1所示,扩展光源长为b(图中放大了光源),与水平方向的夹角为θ0.设光源中心S0的坐标为(x0,y0);入射角为α;A点处的折射角为β;C点处的折射角为γ;劈尖角为θ,上下表面反射的两束波光在D点相遇,两分界面的折射率分别为n1和n2.为求定域中心轨迹方程,先设有一束相干孔径角为零的光入射.由图1可得角度关系为∠ABΗ=π2-β+θ,∠ABC=2β-2θ∠BAC=π2-β,∠ACB=π2+2θ-β∠BCF=β-2θ,∠ACD=π2+γ∠ADC=α-γ,∠DAC=π2-α由折射定律可得如下关系式n1sinα=n2sinβ(1)n2sin(β-2θ)=n1sinγ(2)设AH=h.由正弦定理,得AB=hcos(β-θ)(3)BC=cosβcos(β-2θ)AB=cosβcos(β-2θ)hcos(β-θ)(4)AC=sin(2β-2θ)cos(β-2θ)AB=sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(5)DC=cosαsin(α-γ)AC=cosαsin(α-γ)sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(6)AD=cosγsin(α-γ)AC=cosγsin(α-γ)sin(2β-2θ)cos(β-2θ)hcos(β-θ)(7)联合式(3)～(7)并利用三角函数的积化和差及二倍角公式,容易得出定域中心D点的两个坐标分别为x=hsinθ-2hsin(β-θ)sinαcosγsin(α-γ)cos(β-2θ)(8)y=2hsin(β-θ)cosγcosαsin(α-γ)cos(β-2θ)(9)3定域中心坐标的建立由(1),(2)两式可知,参量方程中的折射角β和γ由入射角和两个界面的相对折射率确定,是两个中间变量,因这两个中间变量以三角函数的形式出现,给相关量的讨论带来诸多不便,因而许多文献在讨论定域中心轨迹方程的形状时,只能近似处理劈尖角很小的情形,很难进行解析讨论.因光源中心S0坐标为(x0,y0),则h=(x0-y0tanα)sinθ.应用Matlab的科学计算功能,把(1),(2)两式和h的表达代入(8),(9)两式,就可得到定域中心点的两个坐标分别为x=[1sinθ-2sin(U+θ)sinα√n21-n22sin2Un1sinWcosU]⋅(x0-y0tanα)sinθ(10)y=2sin(U+θ)√n21-n22sin2Ucosαn1sinWcosU⋅(x0-y0tanα)sinθ(11)其中U=arcsin(n1n2sinα)-2θ,W=α-arcsinn2sinUn1,两个坐标可写成函数形式x=x(n1,n2,x0,y0,α,θ);y=y(n1,n2,x0,y0,α,θ),都不显含中间参量h,β和γ,是定域中心点参量方程的解析形式,可以比较方便地讨论定域中心点和定域深度了.4分析结果表明的讨论与分析4.1定域中心轨迹方程(1)当n1→n2,此时相对折射率接近1,则U→α-2θ,W→2θ,则(10),(11)两式可进一步近似为x=[1-sin(α-θ)cosθsinα]⋅(x0-y0tanα)(12)y=[sin(α-θ)cosθcosα](x0-y0tanα)(13)联立(12),(13)两式,消去参量α,得定域中心点的轨迹方程为[x-x0-y0tanθ2]2+[y+y0-x0tanθ2]2=(y0-x0tanθ)2+(x0-y0tanθ)24(14)不考虑入射角的取值范围,这是一个半径为√(y0-x0tanθ)2+(x0-y0tanθ)2/2,圆心为[(x0-y0tanθ)/2,(-y0+x0tanθ)/2]的标准圆方程,其半径和圆心都和劈尖角、光源位置有关.由方程(14)可知,劈尖角的大小和光源位置并不能影响到定域中心的形状.显然,当θ很小且x0和y0的大小很接近时,圆半径过渡到√y20+x20/2,圆心坐标为(x0/2,-y0/2),这就是文献所提到的圆心坐标和半径.不过,这里要求的条件是θ很小且x0和y0的大小很接近.图2显示了入射角在合理的取值范围内,不同光源位置对圆心和半径的影响.由图可知,在相同劈尖角、相对折射率近似为1的情形下,定域中心点是一段圆弧,所对应圆心角的大小跟角度的取值范围(-cos(2θ)～arctan(x0/y0))有关.(2)一般情况下实光源不会出现在介质中,不会出现n2<n1的情形,故这里只讨论n2>n1的情形.消去式(10)和式(11)中的参量α所得到的轨迹方程表达式过于烦琐,反而不利于解析讨论,因此,这里给出定域中心点轨迹方程的图形解.由式(11)可得入射角须满足的一个条件为sinα≥sin2θn22n12-1-cos2θ(15)由图1也可直接看出,劈尖处所对应的入射角是最大入射角,其值为arctan(x0/y0).因此入射角的取值范围为(arcsin(sin2θn22/n12-1-cos2θ),arctan(x0/y0)).分别做出在此区间的轨迹方程,如图3～图5所示.图3～图5均说明当相对折射率不为1时,定域中心点的轨迹方程已经不是圆了.这三幅图表明劈尖干涉可定域在劈尖的上界面处;可定域在劈尖的下界面附近;也可定域在劈尖内部.实际上,曲线平行于劈尖的上界面,且纵坐标为零的部分就是定域在劈尖上界面处.图3说明了相对折射率小的部分有较长的一段曲线定域在劈尖上界面处.图4则表明在光源水平方向越远离劈尖点的部分有较长的一段定域在劈尖上界面处.由图5可看出,劈尖角越小时定域在劈尖上界面的长度也越长.4.2干涉条纹的特征设光源和水平方向的夹角θ0=α.图1所示的入射光线是对应于相干孔径角为零时的光源中心处的入射光线.若光源中心处有两处入射角为α+χ/2和α-χ/2(χ=λ/b)的两列波入射,则根据定域深度的概念,Δy=y(α+χ/2)-y(α-χ/2)就是所谓的定域深度.(1)当相对折射率近似为1时,把两个入射角α+χ/2和α-χ/2分别代入式(13),相减后化简得y(α+χ/2)-y(α-χ/2)=sinχ[(x0+y0tanθ)cos2α-(y0-x0tanθ)sin2α](16)由于χ的数量级为10-6→10-5,已经是很小的了,则sinχ≈χ=λ/b,式(16)可近似为Δy=(λ/b)[(x0+y0tanθ)cos2α-(y0-x0tanθ)sin2α](17)由式(17)可知,光源宽度b越大,定域深度越小.对点光源,b→0,Δy→∞,定域深度为无穷大,整个空间可找到干涉条纹.(2)当相对折射率大于1时,把两个入射角α+χ/2和α-χ/2分别代入式(11),相减后式子很长,不便讨论.由于χ很小,根据函数微分的含义,可作近似处理y(α+χ/2)-y(α-χ/2)≈χ(dy/dα)(18)再用Matlab把(dy/dα)和入射角α的函数关系用图示方法表示.由图6和图7可知,定域点纵坐标对入射角的导数都不大.由式(18)可知,当χ为10-5的数量级时,定域深度y(α+χ/2)-y(α-χ/2)≈0,能观察到的清晰的干涉条纹的范围并不大,定域中心处的干涉条纹的可见度才比较大,其他地方很难观察到干涉条纹.5定域中心轨迹利用Matlab软件,可方便地得到定域中心点轨迹方程的简化解析形式.当相对折射率近似为1时,定域中心轨迹实际上是一段圆弧;相对折射率不为1时,定域中心点轨迹就不是