画法几何讲义2-2

常见的基本立体平面立体曲面立体立体的投影第一页1第二页，共63页。平面立体侧表面的交线称为棱线若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥。棱柱棱锥平面立体：由若干平面所围成的几何体，如棱柱、棱锥等。第二页2第三页，共63页。4.6.1平面立体的投影平面立体的投影是平面立体各表面投影的集合---由直线段组成的封闭图形第三页3第四页，共63页。点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。1棱柱的投影⑵棱柱的三视图⑶棱柱面上取点

a

a

a

(b

)

b⑴棱柱的组成

b

由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。第四页4第五页，共63页。在图示位置时，六棱柱的两底面为水平面，在俯视图中反映实形。前后两侧棱面是正平面，其余四个侧棱面是铅垂面，它们的水平投影都积聚成直线，与六边形的边重合。由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。

a

a

a

(b

)

b

b

第五页5第六页，共63页。［例１］已知斜三棱柱，试完成其Ｖ、Ｈ投影。第六页6第七页，共63页。［例２］已知四棱柱，试完成其Ｖ、Ｈ投影第七页7第八页，共63页。平面立体投影的可见性判别规律：

1)在平面立体的每一投影中，其外形轮廓线都是可见的。2)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线的可见性，相交时可利用交叉两直线的重影点来判别。3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多条棱线交于一点，且交点可见，则这些棱线均可见，否则均不可见。4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，两可见表面相交，其交线为可见。两不可见表面的交线为不可见。第八页8第九页，共63页。()

s

s

⑵棱锥的三视图⑶在棱锥面上取点

k

k

k

b

a

c

abc

a

(c

)b

s

n

n

⑴棱锥的组成

n

由一个底面和几个侧棱面组成。侧棱线交于有限远的一点——锥顶。同样采用平面上取点法。棱锥处于图示位置时，其底面ABC是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。2棱锥的投影第九页9第十页，共63页。［例３］已知斜三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ投影第十页10第十一页，共63页。［例４］已知正三棱锥，试完成其Ｖ、Ｈ、Ｗ投影第十一页11第十二页，共63页。［例５］试求三棱锥ＳＡＢＣ所属点Ｋ（ｋ′已知）的水平投影3立体表面上的点、线

第十二页12第十三页，共63页。4平面与立体相交第十三页13第十四页，共63页。1）截交线是截平面与立体表面的共有线。2）截交线的形状取决于立体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置。3）截交线都是封闭的平面图形。截交线的基本性质：第十四页14第十五页，共63页。平面截切体的画图⒈求截交线的两种方法：求各棱线与截平面的交点→线面交点法。求各棱面与截平面的交线→面面交线法。⒉求截交线的步骤：截平面与体的相对位置截平面与投影面的相对位置空间及投影分析画出截交线的投影分别求出截平面与棱面的交线，并连接成多边形。第十五页15第十六页，共63页。［例１］斜三棱柱与ＬＭＮ平面相交，求出截交线的投影应用辅助平面的方法来解决，通过棱线aa1,bb1,cc1各作一个正垂面，分别得到与mnl的交线。第十六页16第十七页，共63页。［例２］试完成五棱柱被两平面Ｐ、Ｑ截切后的投影第十七页17第十八页，共63页。第十八页18第十九页，共63页。［例３］求正垂面λ与三棱锥的截交线，并求出截交线的实形第十九页19第二十页，共63页。［例４］试完成正四棱锥被两平面截切后的投影第二十页20第二十一页，共63页。4.6.2回转体的投影一、常见的回转体回转体——一动线绕一定直线旋转而成的曲面，称为回转面。由回转面或回转面与平面所围成的立体称为回转体。第二十一页21第二十二页，共63页。二、圆柱体的投影母线回转轴水平投影为一圆，反映顶、底圆的实形，圆柱面上所有素线都积聚在该圆周上。ABDC第二十二页22第二十三页，共63页。n"m'(n')圆柱体表面上的点：mn已知：正面投影上的n'、m'的投影，求其它两面的投影。分析：m'为可见，在前半圆柱面上，n'为不可见，在后半圆柱面上。其水平投影积聚在圆周上，先求出m、n，再求m"、n"。(m")第二十三页23第二十四页，共63页。例：已知圆柱体表面上M、N两点的正面投影m'、(n')，求其它两面投影。因为m'为可见，在前半圆柱面上；n'为不可见，在后半圆柱面上。两点的侧面投影积聚在圆周上。作图：过m'作水平线交右半圆周于m"，过（n'）作水平线交左半圆周于n"，再由m'和m"，（n'）和n"求出（m）、nm'(n')m"（m）n"n第二十四页24第二十五页，共63页。三、圆锥体的投影

圆锥体是由圆锥面和底面所围成的立体。圆锥面是一直母线绕与它相交的回转轴旋转而成的。回转轴母线第二十五页25第二十六页，共63页。圆锥体表面上的点例：已知圆锥体表面上一点K的正面投影k'，求另两个投影。解1、辅助素线法：过锥顶S和已知点K作直线S1，连s'k'与底边交于1'，然后求出该素线的H面和W面投影s1和s"1"，最后由k'求出k和k"。s"s'sk'1'11"kk"第二十六页26第二十七页，共63页。s"s'sk'k"k1'2'解2、辅助圆法：过已知点K作纬圆，该圆垂直于轴线，过k'作纬圆的正面投1'2'，然后作出水平投影k在此圆周上，由k'求出k，最后求出k"。第二十七页27第二十八页，共63页。四、球体的投影球是圆母线绕其直径回转轴旋转而成的。球的三面投影均为圆，且与球的直径相等。第二十八页28第二十九页，共63页。例：已知A、B两点在球面上，并知a和b的投影，求A、B其余两点的其它投影。解：利用辅助纬圆作图。作图：过a作直线∥OX得水平投影12，正面投影为直径为12的圆，a'必在此圆周上。因a可见，位于上半球，求得a'，由a、a'求出a"，因a在右半球，所以a"不可见。a'(a")因为b处于正面投影外形线上，可由b'直接求得b、b"。(b)b"ab'12第二十九页29第三十页，共63页。小结基本体的三视图画法及面上找点的方法1、平面体表面找点，利用平面上找点的方法。3、圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。2、圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。4、圆球体表面找点，用辅助纬圆法。第三十页30第三十一页，共63页。4.7平面与回转体相交回转体截切的基本形式4.7.1截交线的性质：截交线是截平面与回转体表面的共有线。截交线的形状取决于回转体表面的形状及

截平面与回转体轴线的相对位置。截交线都是封闭的平面图形。第三十一页31第三十二页，共63页。1利用积聚性求截交线

第三十二页32第三十三页，共63页。［例１］试求平面λ与圆柱的截交线第三十三页33第三十四页，共63页。截平面与圆柱轴线的倾角为θ，其交线的W投影为椭圆，椭圆的长、短轴随θ的变化而变化

第三十四页34第三十五页，共63页。［例２］圆柱上部有一切口，若已知其Ｖ投影，试求Ｈ、Ｗ投影第三十五页35第三十六页，共63页。2用辅助平面法求截交线

辅助平面法求截交线的实质是求三面共点

选择辅助平面的原则

根据回转体的形状和相对于投影面的位置，选取合适的辅助面，使其与回转体表面交线的投影为简单易画的直线或圆，使作图简便、准确

第三十六页36第三十七页，共63页。平面与圆锥体表面相交，可以得到五种截交线

第三十七页37第三十八页，共63页。平面与圆球相交，其截交线总是一个圆。由于截平面相对于投影面的位置不同，截交线的投影可能是圆、椭圆或直线。

第三十八页38第三十九页，共63页。［例３］求平面λ与圆锥的截交线第三十九页39第四十页，共63页。［例４］求截平面λ和圆锥的截交线第四十页40第四十一页，共63页。［例５］求平面λ与圆球的截交线第四十一页41第四十二页，共63页。［例６］求半圆球切槽后的Ｈ、Ｗ投影第四十二页42第四十三页，共63页。4.7.2立体表面相贯线的投影

第四十三页43第四十四页，共63页。一、本节的基本内容⒈立体表面相贯线的概念⒉求相贯线的基本方法相贯线的性质：表面性共有性封闭性二、解题过程⒈交线分析⑴空间分析：⑵投影分析：是否有积聚性投影？找出相贯线的已知投影，预见未知投影，从而选择解题方法。面上找点法辅助平面法分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状。第四十四页44第四十五页，共63页。特殊点包括：最上点、最下点、最左点、最右点、最前点、最后点、轮廓线上的点等。⒉作图：⑴找点⑵连线⑶检查、加深尤其注意检查回转体轮廓素线的投影。当相贯线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：☆先找特殊点☆补充若干中间点第四十五页45第四十六页，共63页。三、平面体与圆柱体相贯1、求相贯线的方法：2、

相贯线的形状及投影：求平面体的棱面与圆柱面的截交线，依次连接起来。相贯线为封闭的空间折线。相贯线在非积聚性投影上总是向被穿的圆柱体里面弯折，而且在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。第四十六页46第四十七页，共63页。四、两圆柱体相贯⒈

相贯线的产生：2）外表面与内表面相交1）两外表面相交3）两内表面相交第四十七页47第四十八页，共63页。⒉求相贯线的方法：⒊相贯线的形状及投影：常用的方法是利用积聚性表面取点，也可用辅助平面法。相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。第四十八页48第四十九页，共63页。五、多体相贯每个局部都是两体相贯，首先分析它是由哪些基本体组成的，然后两两进行相贯线的分析与作图。第四十九页49第五十页，共63页。4.7.2利用积聚性求相贯线

［例１］试求两圆柱的相贯线

相贯线为光滑封闭的空间曲线。当两圆柱正交，小圆柱穿大圆柱时，相贯线在非积聚性投影上总是向大圆柱里弯曲，当两圆柱直径相等时，相贯线在空间为两个椭圆，其投影变为直线。在两体相交区域内不应有圆柱体轮廓线的投影。第五十页50第五十一页，共63页。第五十一页51第五十二页，共63页。［例2］试求两圆柱的相贯线

第五十二页52第五十三页，共63页。［例１］求圆柱与圆锥的相贯线

2用辅助平面法求相贯线第五十三页53第五十四页，共63页。［例2］求斜圆柱与水平圆柱的相贯线

第五十四页54第五十五页，共63页。［例3］试求圆柱与球的相贯线

第五十五页55第五十六页，共63页。３相贯线的特殊情况

1．蒙日定理

第五十六页56第