南开考研光学专业习题与解答第四章

PAGE16光的衍射例题一对双星的角距离为，要用多大口径的望远镜才能将它们分辨开？这样的望远镜的正常放大率是多少？解 已知双星的角距离弧度．这个值就是所要求望远镜最小可分辨的角距离．设望远镜的口径为Ｄ，取可见光平均波长纳米，由 ，可计算出望远镜的口径为 （米）．宇航员声称他恰能分辨在他下面100公里地面上两个黄绿点光源．若瞳孔直径为4毫米，试估算这两个点光源的间距．解 设恰可分辨的两个点光源的间距为，点光源到宇航员距离为Ｌ．两个点光源对人眼的张角即为人眼最小分辨角，黄绿点光源所发波长为550纳米，因此有 （米）．宇航员恰可分辨的两光源点至少相距16.8米．一架生物显微镜，使用的物镜数值孔径Ｎ.A=0.25，物镜和目镜放大率均为10倍，光波波长以550纳米计算，试问这台显微镜可分辨的的最小间距是多大？恰可分辨的两物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距有多大？解 显微镜最小可分辨的两物点的间距为 (毫米).物镜放大率，故物镜恰可分辨的两个物点在目镜焦平面上形成的爱里斑中心间距为毫米．如计算题4.4图所示，宽度为a的单缝平面上覆盖着一块棱角为的棱镜．波长为的平行光垂直入射于棱镜的棱面AB上，棱镜材料对该光的折射率为n，试求单缝夫琅和费衍射图样中央衍射极大和各级衍射极小的衍射方向．aaBA计算题4.4图解 计算题4.4解图表示出一个被修饰了的夫琅和费单缝衍射装置．若单缝未被修饰时，中央衍射极大出现在沿缝宽划分的各子波带等光程的方向上．各衍射极小出现在边缘子带具有波长整数倍光程差的衍射方向上．这个结论仍可以用来确定本题中经过修饰后的单缝． 在计算题4.4解图中，单缝上边缘Ｄ点处子波源较下边缘Ｄ点处子波源初始相位落后（2/）nasin，这是由于Ｄ和Ｄ处的棱镜厚度不同，在单缝前造成了光程差nasin．在单缝后的衍射方向上，边缘光波的光程差为nasin－asin．当 nasin－asin＝０时，解出sin＝nsin，这是棱镜右侧面处的折射定律，中央极大出现在满足折射定律的方向上．当 nasin－asin＝k，k＝±１、±２、…BA计算题4.4解图DDa时，得到各衍射极小，若由上式解出的BA计算题4.4解图DDa光学切趾法是改变系统的孔径函数、使衍射光强重新分布的方法．今有缝宽为a的夫琅和费单缝衍射装置，在缝宽方向上，由x=-a/2到x=+a/2的缝平面上覆盖着振幅透射率为cos(x/a)的膜片（计算题4.5图）．试求平行光垂直于狭缝入射时，远方屏幕上衍射光强分布，并和无膜片修饰时衍射光强分布作比较．aa计算题4.5图x0 解 由惠更斯—菲涅耳原理屏幕上的复振幅为即。式中为缝宽，。 光强为未加膜片修饰时振幅为，计算题4.5解图（a）和(b)中分别按比例地画出了修饰前后的振幅分布曲线，(b)中是经膜片修饰后的振幅分布曲线，是两支分别向左、向右平移的曲线之和，将振幅平方就得到光强分布，比较修饰前后的光强分布可得以下结论：经修饰后，中央衍射极大变宽成原来的1.5倍，各个次极大还维持原来的宽度．但次极大的相对光强将大大下降，各次极大好象是“趾”，被有效的切掉了，衍射光强能量将更有效的集中在中央衍射极大内．这种方法叫做光学切趾法，也叫做变迹．---22uAsincu(a)-22-uASinc(u+/2))Sinc(u-/2)Sinc(u+/2)+sinc(u-/2)(b)计算题4.5解图试设计一块光栅，当入射平面波垂直入射时，可以在衍射角300方向上观察到600纳米的第二级主极大，却观察不到400纳米的第三级主极大，并且该方向可以分辨波长为600纳米和600.01纳米的两条谱线．解 我们应该根据题目的条件，确定出光栅常数d，缝宽a和光栅总刻痕数，从而达到选定光栅的目的．已知在的方向上观察到波长为600纳米的第二级干涉主极大，用光栅方程求出光栅常数 （毫米）．在300衍射方向上看不到应该出现的400纳米的第三级干涉主极大，故光栅第三级缺级，即d/a可以等于1.5或３．取d/a＝1.5，则a＝毫米，这种情况，光栅的第一衍射极小衍射角 ，小于，这样600纳米的第二级干涉主极大落在中央衍射极大外侧第一衍射次极大内，使得它能量太小．因此此种选择不可取． 取d/a＝３，a=0.8×10-3毫米，使得所测量的600纳米的第二级干涉主极大落在中央衍射极大内，具有较大的光强，故取a=0.8×10-3毫米． 在600纳米第二级干涉主极大衍射方向上，可以分辨纳米的两条谱线，因此要求光栅在第二级干涉主极大的分辨本领为 ．又因，故光栅的总刻痕数为 ，光栅的宽度为 （毫米）．有两块光栅，光栅A的光栅常数d=2微米，总宽W＝4厘米；光栅b的光栅常数d=4微米，总宽W＝10厘米．现有含500纳米和500.01纳米两种波长的平面波垂直照射这两块光栅，选定在第二级进行工作，试问两块光栅分别将这两条谱线分开多大角度？能不能分辨这两条谱线?解 对于光栅Ａ，d＝２×103毫米，Ｎ＝w/d＝２×104．由光栅方程求出第二级干涉主极大的衍射角 ；角色散为 对双线分开的角度为 ． 要分辨500纳米和500.01纳米的两谱线，要求分辨本领为 ，而光栅在第二级干涉主极大的分辨本领为Ｎk＝４×104，故不可分辨． 对于d＝４×103，Ｎ＝2.5×104的光栅Ｂ，同理可以求得500纳米第二级干涉主极大的衍射角为．在此方向上的角色散为, 两谱线散开的角度为 . 光栅在第二级的分辨本领为NK=5×104，故恰好能分辨这两条谱线．从上面的讨论可以看出，角色散和分辨本领是两个完全不同的概念，前者是将谱线散开能力的描述，后者是分辨谱线能力的描述．分得开的两谱线不一定散得开，散开的两谱线不一定分得开．Ａ的d小，故角色散大，将谱线散开的角度大；但由于刻痕数不如Ｂ多，故仍然分辨不清，Ｂ虽然将谱线仅散开1.06，但因有较多的刻痕数，故仍可分辨两谱线．波长为600纳米的平行光正入射于一透射平面光栅上，有两个相邻的干涉主极大出现在sin１＝0.2和sin2=0.3的衍射方向上，第四级缺级．试求：光栅常数；光栅每缝缝宽可能是多少？列出屏上可能出现的干涉主极大级次．解 根据题意可有 ，，，．由上面诸方程可解得d=6微米，k１＝２，k２＝３．第四级缺级，故d＝４a，得缝宽a＝１.５微米．光栅光谱的最大级次为d/=10，由于缺级级次为±４和±８，第十级的衍射角为900，事实上也不能出现，故屏幕上出现的干涉主极大级次为０、±１、±２、±３、±５、±６、±７、±９，共15个干涉主极大．单色平行光以与光栅平面法线夹角为的方向入射到光栅平面上，试证明此种情况下光强分布公式为 .其中 , . 解 如计算题4.9解图(a)所示，每一单缝边沿光束在衍射方向上的光程差为 ．相位差为 ． 在计算题4.9解图(b)中，用矢量图解法求单狭缝在场点合振动的振幅为 ． 式中 ．Ｎ个狭缝夫琅和费衍射总振幅，为Ｎ个相干叠加． 设相邻两狭缝在方向上相位差为，则 ．在计算题4.9解图（c）中相邻两矢量的夹角就是．Ｎ个长度为的矢量首尾相接，第一个矢量和最后一个矢量夹角为（N-1），Ｎ足够大时，(N-1)≈N．合成矢量Ａ为场点的振幅矢量．由计算题4.9解图（c）中的几何关系，可以求出 式中 ．因此，光斜入射于光栅平面时，屏幕上光强分布公式为 由以上讨论可知，当衍射屏不是入射光波的等相面时，作相干叠加运算要考虑衍射屏前面的相位差．以上结果还表明，单缝衍射的中央衍射极大，正是几何光学的像点，这里也正好是零级干涉主极大的位置，致使光谱中无色散的零级干涉主极大集中了较多的衍射光强．就是说，改变入射方式，并不能使两个零级分开．（a）asinasinＲＣＡＢ（b）aa０a(N-1)2ＯＲ(N-1)(c)A计算题4.9解图如计算题4.10图所示，三条平行狭缝宽度都为a，缝间距分别为d和2d，试导推出夫琅和费光强分布公式．aad2d计算题4.10图解法一 用振幅矢量法解.三狭缝一样宽，因此，在屏幕上衍射光强分布完全一样．在任一场点，每一条缝的振幅矢量大小相同，但由于相邻狭缝间距不同，所以相邻矢量的夹角不同（如计算题4.10解图）．三缝夫琅和费衍射的振幅为 光强分布为 式中xy0a2Aaa计算题4.10解图 , .解法二 因三缝缝宽相同，所以具有相同的单缝衍射因子．设在衍射方向上第一狭缝产生的光振动相位为零，则三条狭缝单独存在时在衍射方向上复振幅可分别表示为 ， ， ．上面三式中，为复常数因子，为缝宽，，．三狭缝同时存在时的复振幅为 三缝在衍射衍射方向上产生的光强为 式中 ， ．如计算题4.11图所示，双缝缝宽分别为a和2a，缝距为d＝3a，试推导出夫琅和费光强分布公式．dda计算题4.11图2a解法一 把缝宽为2a的单缝看作缝宽为a、缝中心间距也为a的双缝．这样原来不等宽的双缝化成等宽不等间距的三缝．缝宽均为a，缝间距分别为2.5a和a．根据计算题4.11解图(b)中的几何关系，可以用矢量合成方法求得合振动振幅Ａ． 式中 ，，．为单个狭缝的振幅贡献．因此衍射光强分布为 ．aa2a3a1.5a(a)计算题4.11解图2.5xy0(b)A解法二 把缝宽为2a的单缝看作缝宽为a、缝中心间距也为a的双缝．这样原来不等宽的双缝化成等宽不等间距的三缝．缝宽均为a，缝间距分别为2.5a和a．设第一狭缝在屏幕上衍射方向的场点产生的光振动相位为零，由惠更斯-菲涅耳原理，三个狭缝单独存在时，在衍射方向的复振幅分别为 ， ， ．上面振幅矢量的表达式中，是复常数因子，是缝宽，是单缝边缘光束在衍射方向上的相位差之半，． 三个狭缝同时存在时产生的复振幅为 产生的光强为 计算题4.12图中的夫琅和费单缝衍射装置，缝宽为2a，缝中心为X轴的原点，在缝平面x<0处覆盖相移为的相位片，试导出远方屏幕上光强分布公式，并以u=asin/为横坐标作出光强分布曲线．计算题题4.计算题题4.12图XZ0`解 根据惠更斯－菲涅耳原理，修饰后的单狭缝夫琅和费衍射的复振幅为 ．令，则复振幅可表示为 ．光强为 ．－２０２３－－３－２０２３－－３（a）（b）（c）计算题4.12解图①②②(=0)①②②ABC(=/2)(d)(=)AB①②②本题还可以用振幅矢量法讨论．计算题4.12解图（d）中，画出了时的振幅矢量图解．时，①和②表示单缝未被修饰时上下两部分的振幅贡献，叠加后得到较大的振幅值，②表示修饰后单缝下半部分的振幅贡献，它与①反方向，叠加后对振幅的贡献为零；时，①是上半部分（x＞０）化分的子波带产生的小矢量首尾相接合成的，②是未被修饰的单缝下半部分的振幅贡献．①和②叠加后对振幅贡献为零．②是修饰后下半部分的振幅贡献，它与①同方向，叠加后形成干涉主极大振幅；时，x＝０和x＝a两处相位差为２，①旋转一圈后回到起点,振幅贡献为零．x＝０和x＝－a两处相位差也为２，②同样旋转一圈，对振幅的贡献为零．下半部分经过修饰后，形成②，②大小也为零．因此在满足的衍射方向上，修饰前后光强都为零．其他的干涉极小光强也可以用同样方法讨论．作图题以sin为横坐标，作出N=2，d＝３a的夫琅和费衍射光强分布规律曲线．并计算第一、第二级干涉主极大各占零级主极大光强的百分之几．解 ，两干涉主极大之间无干涉次极大，只有一个极小．，缺级级次．多缝衍射光强公式为 ．零级干涉主极大为 ．对于其他各级干涉主极大，， ．第一和第二级干涉主极大与零级干涉主极大之比分别为 ， ．光强分布曲线画在作图题4.1解图中．sinsin1.0作图题4.1解图绘制N=6，d＝1.5a的夫琅和费衍射光强分布曲线．横坐标取干涉级次k，至少画到第４级干涉主极大，并计算第４级干涉主极大与单缝中央衍射极大之比．解 衍射光强分布曲线画在作图题4.2中．本题Ｎ＝６，故相邻两个干涉主极大之间有５个极小（零光强），４个干涉次极大．因为d=1.5a，故k=±３，±６，…缺级．k-4-2-10124k-4-2-10124作图题4.2解图多缝衍射干涉主极大与单缝中央衍射极大之比为 ，式中 ．Ｎ=６，d/a=1.5，k=4，，．所以 ．问答题试用杨氏双缝实验说明干涉与衍射区别与联系．答 干涉和衍射都是波的叠加，都有空间明暗不均匀现象，都不符合几何光学的规律．前者是有限光束的叠加，后者是无数小元振幅的叠加；前者的叠加用求和计算，后者的叠加用积分计算．前者不讨论单个不完整波面的问题，后者专门讨论单个不完整波面的传播问题．杨氏双缝中只讨论任一个缝的光传播是衍射，将每一个缝看作为一个整体讨论两缝之间的叠加则是干涉．夫琅和费单缝衍射装置(问答题4.２图)做如下单项变动，衍射图样将怎样变化?将点光源S沿X方向移动一小位移；将单缝沿Z方向平移一小位移；将单缝以Z轴为转轴转过一小角度；增大缝宽；增大透镜Ｌ２的的口径或焦距；将透镜L2沿X方向平移一小距离；将单缝屏沿X方向平移一小位移；将点光源换为平行于狭缝的理想线光源；在（８）的情况下将单缝旋转900．SSL1L2衍射屏屏幕单色点光源YX问答题４.２图答 （１）屏幕上衍射图样沿与Ｓ移动的反方向移动． （２）衍射图样无变化． （３）衍射图样同样以Ｚ轴为转轴向同一方向转过同样的角度． （４）各衍射极小向中央靠拢，衍射图样变窄． （５）增大Ｌ2的口径，衍射图样的极小和极大位置不变，但屏幕上的总光能量变大，明纹更加亮，若透镜口径小时有接收不到的靠边缘的衍射极大，增大透镜口径可以接收到；增大Ｌ2的焦距，各衍射极大向屏幕中心靠近，衍射图样变窄． （６）衍射图样不变． （７）衍射图样不变． （８）屏幕上，线光源上不同光源点形成的衍射图样的极大极小位置完全相同，它们彼此虽不相干，但叠加后会使明条纹更加明亮，条纹更加清晰． （９）由于线光源上不同的光源点的衍射图样彼此有位移，且它们不相干，叠加后会使衍射条纹可见度下降，甚至消失．为何实际上不可能获得理想平行光束？要使光束发散得少些，应采取什么办法？答 衍射是光的波动性质所决定的，光在传播时一定会发生衍射，所以严格的平行光是不存在的．要使光束发散的小一些，应加大光束的孔径．什么是光学仪器的像分辨本领？对理想光学系统成像来说，还存在分辨本领这个问题吗？人眼、望远镜、显微镜的分辨本领各用什么量表示？决定于什么？答 光学仪器的分辨本领，就是对所形成的不同物点的衍射斑的分辨能力．对于理想光学系统，分辨本领的问题仍然存在．人眼、望远镜的分辨本领用恰可分辨的两物点相对系统张夹角来量度，夹角越小，分辨本领越大．人眼分辨本领由人眼的瞳孔直径决定．望远镜的分辨本领由物镜的孔径决定．显微镜的分辨本领用恰可分辨的两物点的距离来量度，距离越小，分辨本领越大．此分辨本领与所用光波的波长、物空间的折射率和成象光束的孔径角有关．使用望远镜观察远处的物体时，看到的像比物体小，为什么却可以提高人眼的分辨能力呢？答 视网膜上像的大小和像的细节是否可分是两个完全不同的概念，它们由不同的参量来决定．例如用望远镜恰可分辨的两个星体，人眼通过望远镜观看时，这两个星体在视网膜上的衍射光斑符合瑞利判据，但其间距比实际星体的间距要小得多．从光栅分辨本领R=kN这个关系式来看，似乎只要任意提高衍射级次k，则分辨本领可任意提高，试加讨论．答