2021届高考数学二轮复习热点精练15 空间几何体（客观题）（文）（解析版）

专题15空间几何体（客观题）

一、单选题

i.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是

4

A.

iB.4

8

C.D.8

3

【试题来源】北京房山区2021届高三上学期数学期末试题

【答案】A

【解析】根据三视图可知，该四棱锥的直观图如图P-ABCQ所示，底面为对角线长为2

1（2）4

的正方形，与底面垂直的侧棱的长度为2,.,.其体积为丫=512、耳卜2=§,故选A.

B

2.《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统

的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积.即已知圆锥的底面

周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积.《算数书》中将圆周率乃近似取为3,则该困盖的

体积（单位：立方丈）约为

A.2B.3

C.4D.6

【试题来源】2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试

【答案】A

3

【解析】设圆锥底面半价为「，则2如*=6,，=—,

乃

：.V=-X^T2X2=-X^-X—x2=—«2.故选A.

337T27T

3.某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其

外接球的表面积分别为

A.18,3万

C.30,11%D.32,11乃

【试题来源】陕西省宝鸡市2020-2021学年高三上学期高考模拟检测（一）（理）

【答案】C

【解析】由三视图的几何体如图所示，可知几何体的表面积为S=lxlx5x6=30,

设该几何体外接球的半径为R，则2R=>/12+12+32=VT1，

所以该几何体外接球的表面积为5'=4万x=1\TC故选C.

4.一个几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是

正视图侧视图

俯视图

【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试

【答案】A

【解析】由三视图可知，该几何体是一个以直角梯形为底面，高为6的四棱柱,

Q

5.已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积是则％=

【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题

【答案】B

【分析】作出原几何体对应的直观图，可知该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为

底面的圆柱后所得，结合题中的数据以及台体、柱体的体积公式可求得为的值.

【解析】作出原几何体对应的直观图如下图所示：

由三视图可知，该几何体为一个圆台中挖去一个以圆台上底面为底面的圆柱后所得,

圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,高为X,圆柱底面半径为1,高为X,

则其体积为V---X-（7T-12+7T-22+J乃•小2?）—万•『-x--7rx,

3\/3

48

由题设知，一兀X=-Tt,：.x=2,故选B.

33

【名师点睛】求解几何体体积的方法如下：（1）求解以三视图为载体的空间几何体的体积的

关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积

公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形

法等方法进行求解.

6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，

缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，

葛之长”意思是今有2丈长的圆木，其横截面周长3尺，葛藤从圆木底端绕圆木7周至顶端，

问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍

的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：1丈=10尺）

A.29尺B.27尺

C.23尺D.21尺

【试题来源】大庆铁人、鸡西-中、鹤岗一中三校2020-2021学年高三上学期联考（理）

【答案】A

【解析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即木棍的高）为

20尺，矩形的底边长为7x3=21（尺），因此葛藤长，202+2肝=29（尺）•故选A.

【名师点睛】对于空间几何体中最值问题的求解方法；（1）计算多面体或旋转体的表面上折

线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”

或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；（2）对于几何体内

部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.

7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商

鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），今有一球的体积与该商鞅铜方升的体积相当，设

球的半径为R,则RM单位：寸D的值约为

5.43

A.2.9

C.3.1D.3.2

【试题来源】河南省2021届高三名校联盟模拟信息卷（文）

【答案】B

【解析】由三视图作出直观图，如图，易得商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成,

故其体枳V=（5.4—L6）x3xl+»xxl.6=11.4+0.4^,

4

设球的半径约为R,则丁11.4+0.44，得及3^3.0.故选B.

8.如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径6cm,高8cm（不含杯脚），已知水的高度

是4cm,现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体

积不变.如果放完珍珠后水不溢出,则最多可以放入珍珠

A.98颗

C.120颗D.126颗

【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考

【答案】D

【解析】作出圆锥的轴截面图如图，由题意，。尸=8,&P=4,OA=3,

4x3

设qA=%，则一=一，即了=二.

832

则最大放入珍珠的体积V=—,7Fx32x8--x4=21〃，

33⑶

最多可以放入珍珠126颗.选D.

9.在正方体A3CD—44G。中，三棱锥A—4。。的表面积为4月，则正方体外接球

的体积为

A.4信B.遍兀

C.32居D.8娓兀

【试题来源】天津市滨海七校2020-2021学年高三上学期期末联考

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为。，则4〃=AC=Ag=A"=4C=.C=J〃，

由于三棱锥A-4cA的表面积为46所以S=4S蜴c=4x1X缶了=4百，

所以a=&，所以正方体的外接球的半径为“旬+（应）+（匈=见，

22

所以正方体的外接球的体积为乎）=«乃故选5.

【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形,

明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正

方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体

的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

10.已知正方体4BQD-44GR的所有顶点都在球。的表面上，若球。的体积为36万，

则正方体ABC。—A4GA的体积为.

A.273B.3上

C.12垂＞D.2473

【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期末

【答案】D

【分析】先求出球。的半价，再根据正方体的棱长与其外接球半径的关系，求出正方体的

楼长，即可求出正方体的体积.

4

【解析】•.•球。的体积为367，即/=36万，解得R=3,

设正方体ABC。—A4G。的棱长为由题意知2/?=，7+牛+片,即6=Ga，

解得a=20，：.正方体ABCD-A.B^D,的体积V3=246.故选D.

11.刍薨，中国古代数学中的一种几何体.《九章算术》中记载：“刍薨者，下有袤有广，而

上有袤无广.刍，草也.薨屋盖也翻译为"底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一

条棱.刍薨字面意思为茅草屋顶”.如图为一刍薨的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视

图为等腰三角形，则搭建它（无底面，不考虑厚度）需要的茅草面积至少为

A.14B.8A/5

C.16D.8A/6

【试题来源】四川省峨眉第二中学校2020-2021学年高三上学期11月月考（理）

【答案】B

【分析】由三视图可知该刍薨是一个组合体，它山成一个直三棱柱和两个全等的四棱锥组成,

根据三视图中的数据可得其需要覆盖的面积.

【解析】根据三视图画出其立体图形：如图，茅草覆盖面积即为几何体的侧面积,

根据立体图形可知该几何体的侧面为两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形.

其中，等腰梯形的上底长为2,下底长为4,高为，f+2?=石；等腰三角形的底边长为2,

高为Ja+22=6,故侧面积为S=2x（4+2）x石+2x2x4x君=8石

22

即需要茅草覆盖面积至少为8小，故选B.

12.已知三棱锥P-ABC满足：PC=AB=非,PA=BC=54C=PB=2,则三棱锥P-A8C的

体积为

A.旦B.也

23

「2底nV6

34

【试题来源】贵州省贵阳市第一中学2021届高考适应性月考卷（三）（文）

【答案】B

【解析】因为PC=AB=6，PA=BC=6AC=PB=2,构造长方体如图所示:

则FC,AB,PA,BC,AC,为长方体的面对角线,

/+/=5a-yfi

设AQ=a,BD="CQ=c,plij]c2+/?2=3解得,z,=0,所以三棱锥P-ABC的体积为

a2+c2=4C=1

长方体的体积减去三棱锥c-DAB.F-PAC,G-PBC,E-PAB的体积,

BPV=73x72x1-4x1x^x1x72xl=^,故选B.

323

13.如图，在直三棱柱ABC-A的侧面展开图中，B,C是线段AD的三等分点，且

AD=3A/3,若该三棱柱的外接球。的表面积为12力，则的=

g,C,D.(A：

ABCD(A)

A.72B.2

C.V5D.2V2

【试题来源】广东省高州市2021届高三上学期第一次模拟

【答案】D

【分析】根据展开图，得到直观图为直三棱柱，求得底面的外接圆半径，由外接球体积求得

外接球的半径，进而利用勾股定理求得球心到三棱柱底面的距离，乘以2即得三棱柱的高,

即为A4,的长•

【解析】由展开图可知，直三棱柱ABC-a4G的底面是边长为行的等边三角形,

其外接圆的半径满足2厂=*-=2,所以/"=1.由4%R2=i2%得R=上.

sin60°

由球的性质可知，球心。到底面ABC的距离为"=JR2f2=④,

结合球和直三棱柱的对称性可知，A4,=2J=2V2,故选D.

14.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.已

知四棱锥S-ABCO为阳马，SO_L底面ABC。，其三视图如图所示，正视图是等腰直角三

角形，其直角边长为2,俯视图是边长为2的正方形，则该阳马的表面积为

A.472+8

C.8

【试题来源】浙江省百校2020-2021学年高三上学期12月联考

【答案】A

【解析】由本题三视图知，该阳马是底面为正方形的四棱锥，两个侧面是等腰直角三角形,

另外两个侧面是直角三角形，证明如下：5。_L平面ABC。，BCu平面ABC。，所以

SDLBC,乂BC上CD,CDQSD=D,所以BCJ,平面SOC,SCu平面SOC,

所以8C_LSC.同理A8J.S4.

所以S——x2x2H—x2x2H—x2x2,V2H—x2x2,\/2+2x2=4>/2+8.故选A.

2222

15.己知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45°角，

则此长方体的外接球表面积为

A.4乃B.6万

C.127D.24乃

【试题来源】宁夏平罗中学2021届高三上学期期末考试（文）

【答案】A

【解析】记该长方体为A6CD—44G。，为该长方体的一条体对角线，其与底面所

成角为45。，因为在长方体-中，侧棱。。1•底面43C。，

则ZD.BD为8。与底面所成角，即/RBD=45°,

因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以BD=dAEP+AB2=0，

则DL>I=BD=6,所以BR=72+2=2,又长方体的外接球直径等于其体对角线的长,

即该长方体外接球的直径为2H=3。=72+2=2,

所以此长方体的外接球表面积为S=4兀R?=4万.故选A.

16.某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为2%,面积为£的扇形，则该圆锥的外接球的表

33

面积为

A27缶27兀

64IF

9n3兀

C.—

8T

【试题来源】周口市商丘市大联考2020-2021学年第一学期高中毕业班阶段性测试（三）

【答案】c

【解析】解析设圆锥的母线长为/，则侧面积S=,X2Z/2=W，所以/=1

233

2yr1

设圆锥的底面半径为r，则2万r=丁/,所以r=一，

33

所以圆锥的高Z=J/2_/因为/z>r,所以球心在圆锥的高匕

（与—R+［§），解得/?=苧，

设外接球的半径为R,由*=（〃一A）?+/,得夫2

97r

所以球的表面积为44/?2=4%x—.故选c.

8

17.四面体ABC。中，ABLBC,CD±BC,BC=2,且异面直线A8与C。所成的角为

60°.若四面体ABCZ）的外接球半径为6，则四面体ABC。的体积的最大值为

A.26B.473

「百口也

L-・L/.

36

【试题来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考

【答案】A

［解析］构建直三棱柱ABE-FCD，设G,“分别为△ABE,ACDF的外心，连接GH,

取其中质。，则。为宜三棱柱ABE-CDF的外接球的球心，也为四面体ABC。的外接球

的球心，因为异面直线AB与CO所成的角为60。，所以NABE=60°.

设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r,则r=万斤=2，AE=2rsin60°=28，再

由余弦定理，AE1=AB2+BE2-2AB-BE-cos60°AB2+BE2-/IB-BE=12.

所以12=AB2+BE?-ABBEN2AB-BE—ABBE=ABBE,

即A8-BE412,当且仅当AB=BE=26时，等号成立，

VV

所以匕A-6BCC”D=A~UDtiBb.E=D3AB2E=--~■AB-BE-sm60°-D6E=—AB-B«E<

故四面体ABC。的体积的最大值为2坏.故选A.

【名师点睛】本题解题关键是构建直三棱柱ABE-FCD,再利用等体积法将VA_BCD转化

为VD_ABE，进一步只需求出AABE面积的最大值即可•

18.已知点P,A,B,C在同一个球的球表面上，方，平面ABC,AB±AC,PB=5BC=

6PC=2,则该球的表面积为

A.6乃B.87r

C.127rD.16乃

【试题来源】四川省宜宾市2021届高三上学期第一次珍断考试（文）

【答案】A

【解析】如图，：.棱锥尸-ABC补体在长方体中，•:棱锥的外接球就是补体后长方体的外

接球，长方体的外接球的直径

2R=市9+­=12+=）+（二72）+（「+3）

=JPB、B；+PC2=瓜,即R=半，则该球的表面积S=4〃R2=6〃.故选A.

【名师点睛】本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力,

（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为a,"c,那么外接球的直径

2R=yla2+b2+c2-（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接留的圆心，过圆心做

底面的垂线，球心在垂线上，根据垂宜关系建立R的方程.

19.已知四棱锥A—8C0E中，481.平面3。。石，底面8COE是边长为2的正方形，且

AB=3,则该四棱锥外接球的表面积为

17兀

A.44B.

~4~

C.177rD.

【试题来源】四川省泸州市2021届高三第一次诊断性考试（文）（一模）试题

【答案】C

【分析】由题意，可把四棱锥4-BCDE放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥

A-BCDE的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，

根据球的面积公式，即可求解.

【解析】由题意，四棱锥A—BCOE中，四边形BCOE是边长为2的正方形，

48=3且43上平面3。。后，可把四棱锥A—8C0E放置在如图所示的个长方体内，

其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,则四棱锥A-BCOE的外接球和长方体的外接球

表示同一个球，设四楂锥A—BCDE的外接球的半径为R,可得回F手=2R，解

得/?=乎，所以该四棱锥外接球的表面积为5=4乃/?2=4万、（率）2=17万.故选C.

［名师点睛】解决与球有关的组合体的方法与策略：（1）一般要过球心及多面体中的特殊点

或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体个元素的关系，结合球的截面的

性质和改=产+〃2,进行求解；（2）若球面上四点P,A,5,C中两两垂直或三

棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定球的直径解决外接球问题.

20.已知四棱锥A—中，四边形3c。石是边长为2的正方形，45=3且45，平面

BCDE,则该四棱锥外接球的表面积为

174

A.4%B.

4

C.177TD.8%

【试题来源】四川省泸州市2021届高三第一次教学质量诊断性考试（文）

【答案】C

【分析】由题意，可把四棱锥A-8CDE放置在如图所示的一个长方体内，得到四棱锥

A-BCDE的外接球和长方体的外接球表示同一个球，结合长方体的性质，求得球的半径，

根据球的面积公式，即可求解.

【解析】由题意，四棱锥A—5COE中，四边形5CDE是边长为2的正方形，

A8=3且A3J_平面BCDE,可把四棱锥A—3CDE放置在如图所示的一个长方体内，

其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,则四棱锥A-8COE的外接球和长方体的外接球

表示同一个球，设四棱锥A-的外接球的半径为R,可得,2?+2?+3?=2R，解

得/?=乎，所以该四棱锥外接球的表面积为S=4万R2=4万x（当了=174.故选C.

21.已知三角形ABC的三个顶点在球。的球面上，口43。的外接圆圆心为M,外接圆面

积为4%，且AB=BC=AC=OM,则球。的表面积为

A.647rB.48万

C.36万D.32万

【试题来源】山东省济南市商河县第二中学2020-2021学年高三上学期期中考试

【答案】A

【解析】因为DABC的外接圆M面积为4万，所以圆M半径为2,即AM=2因为

AB=BC=AC=ON,所以点M为口ABC的重:心，设AB=a,所以2乂也。=2,即

32

a=25所以A8=8C=AC=OM=26，又0M,平面ABC,

所以。42=0^2+^2=16，所以。4=4,即球的半径为4,所以球。的表面积为

4^--42=(Arc•故选A.

22.已知三棱锥尸-A8c的三条侧棱两两垂直，且尸A,P民尸C的长分别为。力,c,又

(a+/?)2c-16/2,侧面P4B与底面ABC成45°角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表

面积为

A.10乃B.40乃

C.20万D.18万

【试题来源】河北省邯郸市2021届高三上学期期末质量检测

【答案】A

【解析】v'abc'ab.16叵,的^^二逗,当且仅当a=b时取等号，

66(a+b)264ab3

因为侧面PA8与底面ABC成45°角，则PC=—，：7人工=也、

2623

:.a=b=2,c=H所以4H2=/+/+,2=10,故外接球的表面积为107.故选A.

23.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术''日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所

得开立方除之，即立圆径意思是球的体积V乘16,除以9,再开立方，即为球的直径4,由

此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为

A.S=—cl2B.S=

82

H,2

C.S=-d2D.S=—a

214

【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期未

【答案】A

【解析】因为:感=〃，所以丫=尤="/幺］,所以乃=22.

V9163⑴8

rriuA27d_27,2+6、A-A

明以Sc=4〃一=4x—x—=—d"，故选A.

\2）848

24.已知三棱锥P-ABC,ZBAC=1,BC=6PAL平面ABC且24=26，则

此三棱锥的外接球的体积为

16万I-

A.不―B.4\&r

,,32兀

C.167D.------

3

【试题来源】安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）

【答案】D

【分析】可得球心到平面A8C的距离等于雨的一半，由正弦定理可求得三角形A8C外接

圆半径，即可根据勾股定理求得球半径，得出体积.

【解析】如图，设球心为。，三角形A8C外接圆心为Q,

•••PA_L平面ABC,二。日=（PA=G，设球半径为R,圆Q的半径为广，

则在三角形ABC中，由正弦定理可得2r=.BC一=2,即r=1,

sinABAC

22

在直角三角形AOQ中，OOr+AOt=OA,即（G『+/=R2,解得R=2,

Ajr327r

则外接球的体积为一1/?3=一二.故选D.

33

25.已知三棱锥S-ABC的所有棱长都相等，点M是线段S8上的动点，点N是线段SC

上靠近S的三等分点，若AM+MN的最小值为2万，则三棱锥S-ABC外接球的表面

积为

A.274B.81万

C.54〃D.108乃

【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国卷11月）（文）试卷

【答案】C

【分析】根据条件作出图示，将平面£45、平面S5C展开后利用平面图形分析AM+MN

的最小值，结合余弦定理计算出三棱锥的棱长，再考虑三棱锥与正方体的关系，通过正方体

的外接球求解出三棱锥的外接球的半径，从而表面积可求.

【解析】如下图所示：招平面平面S5C展开至同一平面，连接AN交SB于点M,

故AM+MN的值最小为AN=2内，设三棱锥S-ABC的棱长为3a，

则在△SAN中，NASN=120。，SA=3a,SN=a,

QA2_i_SN?_AN21

由余弦定理可知cosZASN=_—=解得a=2,

2SA-SN2

所以三棱锥S-ABC的棱长为6,将该四面体置于正方体中，可得正方体的外接球即为四

面体的外接球，如下图所示：

所以正方体的棱长为阜=3夜，所以正方体的外接球半径为=

1222

故四面体的外接球半径为亚，外接球表面积S=4»R2=54〃.故选C.

2

【名师点睛】正四面体可以看成是正方体的三组对棱所构成的三棱锥，此时正四面体的棱长

是正方体棱长的垃倍.

26.如图，小方格是边长为1的小正方形，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的

外接球表面积为

A.32乃B.30上万

C.4UD.40信

【试题来源】江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考

【答案】C

【解析】根据三视图可得原几何体如图所示，且尸”，平面ABC。，PH=4,H为AB

的中点，四边形ABC。为正方形，其边长为4.设Q为正方形ABC。的中心，。2为△PA8

的外心，则外接球的球心。满足OOX_L平面ABCD,0021平面PAB,

所以HOJ/OOi，又“Qu平面PA8,故同理

所以四边形“QQ。为矩形.在正方形ABCO中，HOX=2,

95

在△PAB中，（4一「。2）~+4=尸。；，故尸。2=5，

故外接球半径为J"+4=画,故外接球的表面积为47x2=41万，故选C.

V424

【名师点睛】几何体外接球的半径的求法，关键是球心位置的确定，可用球心与各面的外接

圆的圆心的连线与此面垂直来确定，如果球心的位置不确定，那么可用补体的方法来确定球

心的位置.

27.在三棱锥产一ABC中，A8=AC=20，N8AC=120°，PB=PC=2庭,

PA=2也,则该三棱锥的外接球的表面积为

A.40万B.20万

C.80乃D.60万

【试题来源】江西省名校2021届高三上学期第二次联考（理）

【答案】A

【解析】在口班。中,BC2=AB2+AC2-2-AB-AC-cosZBAC=24^即BC=2n，

又PB=PC=2瓜所以口尸5。为等边三角形，根据题意，有如下示意图：

如图，设口43。的外接圆的圆心为Q,连接qc,O|A,BCcO]A=H,连接P".

由题意可得AHL8C，且A"=3O|A=应，BH=；BC=娓.

所以由上知PH，BC且PH=J（2病2—点=372-乂PH2+AH2=PA2，

所以由A”nBC=",平面A8C

设。为三棱锥P—ABC外接球的球心，连接。a，OP,0c过。作OOLPH,垂足为

D,则外接球的半径K满足/??=00；+。。；=（尸"_。«『+（。。）2,CO}=AB=2后,

OD=O、H=AH=日代入解得OQ=0,即有收=10，

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为4〃R2=40万.故选A.

28.《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设Aa是正八

棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以A&为底面矩形的一边，则

这样的阳马的个数是

A

A.8B.16

C.24D.28

【试题来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中

【答案】C

【解析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为135°，

ZHAG=ZBAC=22.5°>NHAF=NBAD=45°，所以

AB1AF,AC1AG,ADLAH,因为A4,_L平面ABCOEFGH,

且AanA8=A,则AFJ.平面因为AF〃4£〃8£〃4月，所以共有4个

阳马；同理，AG_1_平面AAGC,共4个；4//_1平面44,。。，共4个;

ABL平面M耳产，共4个；ACL平面AAGQ,共4个;

AO1平面A41Hi"，共4个；故有24个阳马.故选C.

29.在长方体ABC。—A4G。中，AB=CC=g，BC=1,点、M在正方形CORG内,

平面ACM,则三棱锥M-ACG的外接球表面积为

11「

A.—TtB.7兀

2

C.1IKD.14兀

【试题来源】广东省广州市2021届高三上学期阶段训练

【答案】C

【解析】长方体AC1中，AA_L平面a»RG，G"u平面CORC，所以

乂•平面ACM，ACu平面ACM,所以C|M_LAC,

因为AcnA2=A，所以G"，平面ACR，而u平面ACR,所以gMiCD,,

SPG是正方形，所以M是CR与交点，即为CR的中点，也是G。的中点.

△C/0C是直角三角形，设E是CG中点，F是B4中点，则由Ef7ABe可得EFJ.平

面"eq（长方体中棱与相交面垂直），E是△GMC的外心，三棱锥A—MCG的外接

球球心。在直线EF上（线段E/或EF的延长线上）.

3

设OE=〃，则好++(1—/?)■(解得/?=1■

所以外接球半径为r=＞。丫+（也］=①,表面积为5=4"/=4%*口=11%.

30.如图，已知四棱台ABCD-ABGR的上下底面均为正方形，

AB=2y/2,AxBl=V2,A4,==CQ=DDt=2,则下述正确的是

A.该四棱台的高为26B.A4,±CC,

C.该四棱台的表面积为26D.该四棱台外接球的表面积为16万

【试题来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中（理）

【答案】D

【解析】将四棱台ABC。—A4G。的侧棱延长，相交于点P，形成四棱锥P-A8CO

设正方形ABC。和AgGA的中心分别为°，。1，如图所示:

A选项：由于AB=20，A4=则4，4分别为中点，

2

.•.PA=2A4,=4,pO=y/p^-AO==2x/3-.•・°。=；2°=6

即四棱台ABCD—ABCR的高为、Q,故A错误;

B选项：连接ACNAPC（或其补角）、即直线A4,与CG所成的夹角,

PA=4,PC=4,AC=4,APAC是等边三角形,

.•.NAPC=60°，即与CG所成的夹角为60°,故B错误；

C选项：S正方形s=Q闾、8,§,=（二+2.」呼=33，

梯形A]AB8122

则该四棱台的表面积S=8+2+地x4=10+6，7,故C错误；

2

D选项：设该四棱台外接球的球心M到上底面4AGO的距离为X，

则A"=H=Vl2+x2,AM=R=^22+（＞/3-X）2，所以Vl2+x2=把+限—式,

解得x=G，则外接球半径R==2,

故该四棱台外接球的表面积S=4%H2=16万，故D正确，故选D.

二、填空题

1.已知正三棱柱A8C-A&G的体积为54,AB=6,记三棱柱ABC—48c的外接球

为球a,则外接球。的表面积是.

【试题来源】山西省2021届高三上学期八校联考（文）

【答案】6071

【分析】先求出底面三角形的面积，以及底面外接圆半径，根据体积，得出正三棱柱的高,

进而可求出外接球的半径，从而可得出外接球的表面积.

［解析】因为正三棱柱ABC一A4G的底面积s=gX62Xsin60°=973,

底面外接圆半径r=—^―=26，所以正三棱柱ABC-A,4cl的高力=上=26,

2sin60S

所以外接球。的半径R=+已j=岳，则s=47C/?2=607t，故答案为60兀.

2.已知三棱锥S—ABC中，SAYSB,SA1SC,SB1SC,若三棱锥S—ABC的外接

球的表面积为24乃，记SSBC+S+S刈,，则S的最大值为.

【试题来源】华大新高考联盟2021届高三11月教学质量测评（联考）（文）

【答案】12

【分析】设SA=x,SB=y,SC=z，则/4/也2=&『，从而可得炉+；/+z?=24,

而s=sSBC+sSAC+sSAB=^（xy+y^+立）,然后利用基本不等式可求得结果

【解析】设SA=JC,SB=y,SC=z,则/+_/+=（2R『；而4%R?=24万，得

222

x+y+z^24；故S=SSBC+SSAC+S=g（盯+"+xz）4；（1+共+%］设,

当且仅当x=y=z=2叵时等号成立，故S的最大值为12.

3.长方体ABC。—A4GA的棱长分别为0，也，2,则其外接球的体积为.

【试题来源】吉林省白城市第一中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文）

9兀

【答案】—

2

【分析】根据长方体的结构特征，得到其外接球的直径即等于长方体的体对角线的长，由此

求出外接球半径，进而可得外接球的体积.

【解析】因为长方体的外接球直径等于长方体的体对角线的长，又长方体ABCD-ABCR

的棱长分别为逝，6，2,所以该长方体外接球的直径为27?=J（V2）2+（A/3）2+22=3，

即外接球半径为/?=不，所以外接球的体积为V=二万R3=一.故答案为三.

2322

4.在三棱锥。—ABC中，CDJ■底面ABC,AC1BC,AB=BD=5,BC=4,则此三

棱锥的外接球的表面积为.

【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第三次月考（期末）（文）

【答案】347

【解析】因为底面48C,所以CDLAC,CD1BC,又ACL8C,所以三棱锥

D-ABC的外接球就是以CD,CAC8为棱的长方体的外接球，其直径为长方体的对角线,

因为CD=dBb—BC2='52—42=3,AC7AB2-BC2=耳-42=3,所以外接

球的宜径2R=JCZ3+B6+4e2/32442壬J2另,,所以外接球的表面积为

4%A，=万入34=34）•故答案为34万

【名师点睛】利用三棱锥。一A8C的外接球就是以C£>,CAC5为棱的长方体的外接球求

解是解题关犍.

5.我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2,则

其内切球的体积为.

【试题来源】百校联盟2021届普通高中教育教学质量监测考试（全国新高考卷）

［答案］6\—10&兀

3

【解析】如图，设方锥底面的中心为。，则在Rt^ABC中，AC=20，

所以4O=CO=0，在