2021届高考数学联考试卷(理科)(3月份)(含答案解析)

江西省宜丰中学2021届高考数学联考试卷(理科)(3月份)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.在复平面内，把与复数a+bi(a,bGR)对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转90。后所得向量对

应的复数为()

A.a—biB.—a4-biC.b—atD.—b+ai

2,若集合M={x|-2<x<2},N=(x\x2-3x=0},则MnN=()

A.{3}B.{0}C.{0,2}D.{0,3}

3.5.若(3的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为

A.540B.162C.-162D.-540

4.若球的半径为R,作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()

A.2nR2B.nR2C.4TT/?2D.

5.己知随机变量X〜N(0,M),若P(|X[<2)=a,则P(X>2)的值为()

A.B.C.1-aD.等

6.已知向量荏、正、血满足前=近+近，|荏|=2,|XD|=1，E、尸分别是线段BC、CD

的中点.若丽•乔=一],则向量荏与向量近的夹角为()

A.?B*C.JD-

7.已知函数若关于x的方程f(x)=H有两个不同的实根，则实数k的

l(x-1)3,0<x<2

取值范围是()

A.(0,1)B.(0,1)C.(1,1)D.(1,1]

8.0到9之间取整数值的随机数，指定0,1表示没有击中目标，2,3,4,5,6,7,8,9表示击

中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：

7527029371409857034743738636694714174698

0371623326168045601136619597742476104281

根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为()

A.0.852B.0.8192C.0.8D.0.75

9.设。=log32,b=log52,c=log23,则（）.

A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

10.设Fl、尸2分别是双曲线C：^-g=l(a>0,6>0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P,

使|OP|=|。&|(。为原点)，且IPF1I=8俨尸2上则双曲线的离心率为()

A.生B.V3-1C.牝D.V3+1

22

11.已知函数/。)=sin(2x-》，若对任意xeR都有“为W/(&)成立，则沏的值为()

A.kn+^(keZ)B./ot+詈(keZ)

C.2/OT+g(k€Z)D.2/C7T+—(fcGZ)

88

12.已知函数/'(x)=加一!，在下列区间中包含f(x)零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.某校为了解该校500名毕业生的数学考试成绩，从中抽查了50名考生的数学成绩，在这次调

查中，样本容量是.

14.已知直线匕：(2s讥。-l)x+2cos0-y4-1=0,l2：x+V3y-3=0,若，i1%，则cos(6-，)的

值为.

2

15.设平面区域。是由双曲线y2—9=1的两条渐近线和抛物线y2=一8%的准线所围成的三角形(

含边界与内部).若点(X,y)CD,则目标函数z=x+y的最大值为.

16.由一个长方体和两个;圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为____.

4

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知等差数列｛斯｝的各项均为正数，且加=高+自+…+公二，S2=|,S3=：.设田表示

不大于x的最大整数(如[2.10]=2,[0.9]=0).

(1)试求数列｛an｝的通项；

(2)求7=[log2l]+[log22]+[log23]+­•■+[log2(2=-1)]+\log2(2〃)]关于〃的表达式.

18.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与0c所成角为45。，尸是PB的

中点，£是8C上的动点.

(II)若8c=2BE=2^AB，求直线AP与平面PDE所成角的大

19.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是黑球的概率为泉现有甲、乙两人从袋中轮流

摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取球后不放回，直到两人中有一人取到白球时终

止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用f表示取球终止所需要的取球次数.

(I)求随机变量f的分布列及数学期望；

(口)求乙取到白球的概率.

20.已知圆C:(X-+⑶-=2经过椭圆广：工带其=口(a>b>0)的右焦点尸和上顶点艮

(1)求椭圆r的方程;

(2)如图，过原点。的射线/与椭圆Z'在第一象限的交点为Q,与圆C

的交点为P,M为。P的中点，求诚：礴的最大值.

21.已知函数/(%)=X2—2(a+l)x+2alnx+5.

(1)若。=一1,求函数/(X)的极值；

(II)若a>0,求函数/(x)的单调区间；

(HI)若a>l,VxG(1,+co),有不等式/(x)22a/a-3恒成立，求实数a的取值范围.

［工=-2+；f

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为J«为参数)，以坐标原点为极点，

I"F

X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。=遍.

(1)写出直线/的普通方程和曲线G的参数方程；

(2)若将曲线G上各点的横坐标缩短为原来的华倍，纵坐标缩短为原来的日倍，得到曲线。2,设点P

是曲线G上任意一点，求点P到直线/距离的最小值.

23.已知c者|5是正数，且小+/?2+=1,用ma%®。，c}表示a,b,c的最大值，M=max{a+

+J.

bca

(1)证明专+专+於9；

(11)求知的最小值.

【答案与解析】

1.答案：C

解析：解：由题意得，对应的复数为

a+bi_a+bi_(a+bi)i

一(ai+bi2)=b—ai

cos90°+isin90°ii2f

故选：c.

将与复数a+bi对应的向量绕原点。按顺时针方向旋转9。。，可得所求复数为云抵丽，再由复数

代数形式的乘除运算化简得答案.

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.

2.答案：B

解析：解：集合M={x|-2WxW2},

N—(x\x2-3x=0}=[0,3},

则MCN={O},

故选：B.

先解出关于集合N的x的范围，再和集合M取交集即可.

本题考查了集合的交集的运算，是一道基础题.

3.答案：D

解析：解：若(3代-2)n的展开式中各项系数之和为2"=64,

解得n=6,

则展开式的常数项为德(3国3.(__L)3=-540,

故选项为D.

4.答案：A

解析：解：如图为轴截面，令圆柱的高为〃，

底面半径为r,侧面积为S,

则(今2+r2-R2,

即/i=2V/?2—r2-

,:圆柱的侧面积S=2itrh=4?rr-V/?2—r2=4nJr2(R2-r2)<47r-，*R.J-=2nR2'

故选：A

由题意圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质可得出圆柱的高为山底面半径为r与球的半径为H

的关系，再用力和，表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值即可.

本题考查球与圆柱的组合体问题、以及利用基本不等式求最值问题，难度一般.

5.答案：A

解析：

根据随机变量X服从标准正态分布N(0«2),得到正态曲线关于x=0对称，利用P(|X[<2)=a,可

求P(X>2).

本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是利用正态曲线的对称性，是

一个基础题.

解：:•随机变量X服从标准正态分布N(0R2),

二正态曲线关于x=0对称，

•••P(|X|<2)=a,

・・・P(X>2)=”

故选A.

6.答案：A

解析：解：如图,

>>1>>1>>q>>1>2

DE・BF=(iCB-CD)(iCD-CB)=jCB.CD-：CD-

癖2=V

由|而|=|同|=2,\BC\=\AD\=1，可得福•方=1

cos<CB,CD>=p则(方，而>=g,

从而向量荏与向量而的夹角为会

故选:A.

由题意画出图形，结合屁•胡=-:求得<而，=>=多从而向量同与向量而的夹角为泉

本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法、减法法则，是中档题.

••・满足关于X的方程f(x)=依有两个不同的实根的实数k的取值范围是

吗

故选：A.

首先画出函数图象，利用数形结合和函数的单调性即可得出.

本题考查了利用数形结合求方程根的问题；熟练掌握数形结合的思想方法和函数的单调性是解题的

关键.

8.答案：D

解析：解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，

在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：

75270293985703474373863696474698

6233261680453661959774244281,共15组随机数，

二该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：P=^=0.75.

故选：D.

在20组随机数，列举出在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的基本事件，由此能求出该射

击运动员射击4次至少击中3次的概率.

本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.

9.答案：D

解析：•・,log5>log3>1,Alog3>1>->--->0,0Plog3>1>log2>log2>0,

222log/log?5235

・••c>a>b.

10.答案：D

解析：解：•••|0FI|=|0F2|=|0P|

^F1PF2=90°

设|PF2l=t，则a=

t2+3t2=4c2,则t=c

•••e=-=A/3+1

a

故选：D.

依题意可知|OFi|=|OF2|=|OP|判断出NF/F2=90°,设出IPF2I=t,则|&P|=V3t.进而利用双

曲线定义可用，表示出d根据勾股定理求得，和c的关系，最后可求得双曲线的离心率.

本题主要考查了双曲线的简单性质.考查了学生对双曲线定义的理解和灵活运用.

11.答案：B

解析：解：函数/Q)=sin(2x-》若对任意xeR都有/(x)</(&)成立，

则sin(2x()*)=1,二2殉*=2k?r+],解得x()=Mr+卷kGZ.

故选：B.

由题意可得：sin(2xo-》=l，即可解出.

本题考查了三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

12.答案:C

解析：解：函数/'(x)=》x—：是连续增函数，又/(2)="2-|<0,

/(3)=/3-1>0,

可得/(2)/(3)<0,由零点判定定理可知：函数/(x)=Inx-9的零点在(2,3)内•

故选：C.

判断函数的单调性，求出〃2),/(3)函数值的符号，利用零点判定定理判断即可.

本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力，注意的单调性的判断，是基础题.

13.答案：50

解析：解：根据题意知在这次调查中，样本容量是50,故答案为：50.

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个

体，而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，

首先找出考查的对象.从而找出总体、个体.再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据

样本确定出样本容量.本题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、

个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大

小.样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位.

14.答案：；

4

解析：

本题考查直线的垂直关系，三角函数恒等变换的应用，属于基础题.

由两条直线垂直，可得：（2sin"1）+2WcosO=0，化简得：sin（8+g）=；,利用诱导公式即可

计算得解.

解：直线，1：(2sin0-l)x+2cosd-y+1=0,Z2：x+V3y-3=0,

•••由得：（2sin0—l）+2gcos。=0，

二化简得：sin（0+；）=：,

-cos（0一》=cos［（0+；）-；］=sin（0+§=［，

故答案为：

4

15.答案：3

解析：解：••・双曲线写一1=1的渐近线方程为'=土"

a2b2b

...双曲线旷2一9=1的两条渐近线为：y=±lX,

••・抛物线y2=-2px的准线为X=今

二抛物线y2=-8x的准线为％=2,

因此作出三条直线，得可行域是△4B。及其内部（如图）

将直线/：z=x+y,即、=一刀+2进行平移，可得

当直线y=-x+z过点4（2,1）时，目标函数z=x+y有最大值

Zmax=F（2,l）=2+1=3.

故答案为：3

根据双曲线的渐近线公式和抛物线准线的公式，求出三条直线方程，从而得到可行域是图中AAB。及

其内部，然后利用直线平移法，即可求得目标函数z=x+y的最大值.

本题以简单的线性规划为载体，求目标函数的最大值，着重考查了双曲线、抛物线的标准方程和基

本概念和简单的线性规划等知识，属于基础题.

16.答案：2+5

解析：

由三视图可知：长方体长为2,宽为1,高为1,圆柱的底面半径为I,高为1圆柱的;，根据长方体

4

及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积.

本题考查利用三视图求几何体的体积，考查长方体及圆柱的体积公式，考查计算能力，属于基础题.

解：由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积匕=2x1x1=2,

圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积彩=；x71X12X1=%

则该几何体的体积U=匕+2匕=2+泉

故答案为:2+最

17.答案：解：(l)Sn=」11-…4---—=^(―------),

ala2a2a3anan+ldQi^n+1

C2c3

,:S?=二，S3=

z34

、、

・l・x・-l(---1-)=2-,-1(/1------1--)=-3,

7

d'a】a33d'a】a/4

・"1=1,d=1,

・•・an=n；

aa

(2)7=[log2l]+[log22]+[log23]+…+[log2(2»-1)]+[log2(2")]

n

=[log2l]+[log22]+[log23]+…+[log2(2-l)]+[log2(2«)]

"[log2l]=0,

[1嘀2]=[log23]=1,

mmm+1

[log22]=[log2(+1)]=…=[log2(-1)]=m.

n2

•••[log2l]+[log22]+[log23]+-+[log2(2-1)]+[log2(2«)]=0+1x2+2x2+-+(n-

1)-2nt+n,

由S=1x2+2x2?+…+(n-1)•2nt,

则2s=1x22+2x23+-+(n-1)-2n,

-S=1x2+1x22+…+2nt-(n-1)-2n=•空-(n-1)-2n,

•••S=(2-n)-2n-2

T=(2-n)•2n-2+n.

解析：(1)利用裂项法求和，结合S2=gS3=P即可求数列｛5｝的通项；

(2)先化简，再利用错位相减法，即可得出结论.

本题考查数列的应用，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

18.答案：解：(I)建立如图所示空间直角坐标系.设4P=A8=2,BE=a

则4(0,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),尸(0,1,1),E(a,2,0),于是，PE=(a,2,-2),AF=(0,1,1),

则而•而=0，所以AFIPE;

=2BE=2y[3AB，则。(4国,0,0)，PD=(473,0,-2)>PE=(2>/3,2,一2),

设平面POE的法向量为元=(x,y,z),

由伫空=0,#：C4A/3X_2Z=0令％=1,则z=2祗y=g，于是元=(1,百,2次)，

而而=(0,0,2)

设直线4P与平面POE所成角为。，则s讥。=符斋=当，.••直线AP与平面POE所成角为

解析：本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角以及用向量语言表述线线的垂直.在利用向量

语言表述线线的垂直关系时，只要得到数量积为0即可.

(I)建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，以及向量PE,AE的坐标，得到其数量积为0即可证明

结论.

(U)先根据条件求出。的坐标以及而，丽的坐标，进而求出平面PDE的法向量的坐标，再代入向

量的夹角计算公式即可得到答案.

19.答案：解：(I)设袋中原有〃个黑球，

由题意知；=基“(1分)

7C7

n（n-l）

7x6

解得n4或n=-3（舍去）...（3分）

••・黑球有4个，白球有3个.

由题意，f的可能取值为1,2,3,4,5...（4分）

P(f=l)=?P(f=2)=黑当

、

-c3)=4X3X3=6,

77X6X535

“、

=4)=4-x-3-x-2-x-3=——3，

,7X6X5X435

P&=5）=黑浅=孩…（7分）（错一个扣一分，最多扣3分）

f的分布列为

12345

32631

P——，，”*■一，

77353535

...（8分）

所以数学期望为:以='+2x：+3火盘+4x^+5x全=2...（9分）

（口）•••乙后取，

•••乙只有可能在第二次，第四次取球，

记乙取到白球为事件4,

则P（4）=P（f=2）+P（f=4）=,+£=苏…（11分）

答：乙取到白球的概率为分）

解析：（I）设袋中原有〃个黑球，由题意知,=:，求出黑球有4个，白球有3个.由题意，f的可

能取值为1,2,3,4,5,分别求出其概率，由此能求出f的分布列及数学期望.

（H）由乙后取，知乙只有可能在第二次，第四次取球，由此能求出乙取到白球的概率.

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中

都是必考题型.

20.答案：存贮=上⑵鬟挥.

阖匈

解析：试题分析：（1）由已知条件易得%=£品=署的值，利用睛=£小牌铲求得，=和故椭圆方程

可求；（2）设射线自的方程为解=厩贰寂海帆辍泊顾，分别与椭圆和圆的方程联立求得点,解愿的坐标,

进而盘点坐标确定，利用平面向量数量积的坐标运算将谡.礴用港表示，转化为函数的最大值

问题求解，本题还有一种方法，先用向量运算藏・'=面界说’，从而薮:礴=磁:礴，这样

只需确定鬻点坐标，比方法一更为简洁.

试题解析:(1)在C：-1)2+(y-l)2=2中,

令y=0得F(2,0),即c=2,令％=0,得B(0,2),b=2,

由a?=£)2+©2=8,.,.椭圆广：二扑此=工(4分)

(2)依题意射线/的斜率存在，设/：y=kx(x>0,k>0),设2(修，依力，Q(x2,kx2)

由I3/W：(1+2fc2)x2=8,亚=:*0•(6分)

后吟=」相充

,fr=fe-

由母得：(1+k2)/—(2+2k)%=0,,•・/:m---"--短,

__—=,寸痴'工R带盘

2

胸:曦W寻学小(犯，丘2)=-(Xi%2+kX1x2)=编序出书..冬(卜>0).(9分)

七/『：U留

设双k)=Fl”出二党舞

人，/,、川聚一翻T怎八阳，，7

令(p(k)=-----------5rJ—>0,得一1<k<一•

又k>0,.•.*(£)在电电3上单调递增，在己“船磁上单调递减.

[[专_______

.•.当上=」时，(p^max=<pC-)=-，即筱:耍的最大值为久振.(13分)

2塞方

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系.

21.答案：解：(1)当<2=-1时，/(x)=x2-2lnx+5,

"(吟=2-=逗严(%>0).

由尸(X)=0得，x=1.

可得”,/'(%),/(%)的变化关系如下表:

X(0,1)1(l,+8)

f'(x)—0+

fix)减极小值增

•••/(X)的极小值为f(l)=1+5=6,无极大值.

(U)函数的定义域为(0,+8),

/(X)=2x-2(a+l)+y=2(x-?(x-a).

由尸(x)-0知，X]=1,x2-a.

住|a>0,可分类情况如下：

①当0<a<l时，x,[⑺,的变化关系如下表:

X(0,a)a(a，l)1(l,+oo)

f'M+0—0+

/(x)增极大值减极小值增

・••/。)的单调增区间为(0,a),(1,+<»);单调减区间为(a,1).

②当a=1时，/(%)20恒成立，所以的单调增区间为(0,+8),无单调减区间.

③当a>1时，x,尸(x),/(x)的变化关系如下表：

X(0,1)1(l，a)a(a,+8)

+0—0+

f(x)增极大值减极小值增

•••/(x)的单调增区间为(0,1),(a,+00)；单调减区间为(l,a).

综上所述，当0<a<l时，/Q)的单调增区间为(0,a),(l,+oo),单调减区间为(a,1)；

当a=l时,/(%)的单调增区间为(0,+8),无单调减区间;

当a>l时，/(乃的单调增区间为(0,1),(a,+8),单调减区间为(l,a).

(皿)由(U)知,当a>l时，/(x)在区间(1,a)上单调递减,在区间(a,+8)上单调递增,

•••/(x)min=f(a)=a2-2(a+l)a+2alna+5.

VxG(l,+oo),有不等式/'(x)>2alna—3恒成立,

-f(.x)min22alna—3,即a?—2(a+l)a+2alna+5>2alna—3.

.‘・一4WaW2.

又•・,a>1,A1<a<2.

故实数〃的取值范围为(1,2］.

解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、等价转化方法、方程与

不等式的解法，考查了推理能力计算能力，属于难题.

(1)当。=-1时，/(x)=x2-2/nx+5,求导，列出x,广⑺,/(x)的变化关系表格即可得出单调

性与极值.

(n)f(x)=2x-2(a+l)+y=2(x-『),对。分类讨论分析求出函数单调性.

(皿)由(II)可得当46(1,+8)时,f(x)min=/(a)=。2-2(a+l)a+2alna+5.根据题意可得

fCx)min2alna—3,即a?-2(a+l)a+2ahia+5之2a2na-3,即可得出.

22.答案：解：(1)直线/的普通方程为Wx—y+2百=0,

因为曲线G的极坐标方程为p=V6.即p2=6,

所以曲线G的普通方程为/+y2=6)

则曲线Q的参数方程为卜=/?C0Sf(。为参数).

(y=V6sm0

(2)由题意，设曲线Ci上的点(x,y)经过变换后变为曲线Cz上的点(Yy)

ZX

，

X用

/X=V6一

J6=X

=-〃

I,y

Iy=VT2y/2-

又曲线G的参数方程为卜=据cos2(0为参数)，

(y=yjbsinO

则卜后无'=V6cos0

、\^2y'=