2021届人教a版（文科数学） 空间向量与 立体几何单元测试

2021届人教A版(文科数学)空间向量与立体几何单元测试

—>—>

1、已知。=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是()

A.(1,1,1)B.(-4,6,-2)C.(2,-3,5)D.(-2,-3,5)

2、直三棱柱ABC—4B|G中，若场=久函=上工'=c,则“=()

A.a+Z7—cB.a-Z?+cC.—a+/?+cD・—a+b—c

3、已知点B是点A(3,4,-2)在xoy平面上的投影，则|而|等于()

A.(3,4,0)B.2A/5C.5D.V13

4、已知直线1与平面a垂直，直线1的一个方向向量为：=(1,-3,z),向量3

=(3,-2,1)与平面a平行，则z等于()

A.3B.6C.-9D.9

5、空间四边形。中，OB=OC,ZAOB^ZAOC^-,则cos〈砺，元》的

3

值()

A.-B.—C.--D.0

222

6、在四面体O—A3C中，OA=a,OB=b,OC=c,。为3c的中点，E为AD的中

点，则0E=()

1-1r1-1~*一］三］一

A.—a——b+—cB.a——b+—c

24422

「1一1一1一1一1一

C.—aH—bHCD.-ClH—hHC

244424

7、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AC］与平面BBRE所成的角为30。，

则该长方体的体积为

A.8B.6/c.8或D.8,

8、已知四面体ABCD,DA=a«DB=b>比=3，点M在棱DA上，而=2而，N为BC中

点，则诬:()

〃

F-i

9、下列命题中不正确的命题个数是（）

①.如果勿瓦不共面,瓦口，也共面，则日,5,己2共面；

②.已知直线a的方向向量a与平面a,若〃〃a,则直线a〃a；

③若P、M,A、3共面，则存在唯一实数使桥=xMW+y旃，反之也成立；

④.对空间任意点。与不共线的三点A、B、C,若丽=x&^+y丽+z玩

（其中x、y、zGR）,则P、A、B、C四点共面

A.3B.2C.1D.0

10、己=（l,l,0）,E=（T,0,2）,且0+6与2H6互相垂直，则k的值（）

A.1B.gC.3D.g

11、空间任意四个点A、B、C、D,则丽+闻一函等于（）

A.DBB.ADC.DA.D.AC

12、正方体ABCD-AIBIJD］中，（J为底面ABCD的中心，则直线°D1与平面°A1B］所成

角的正弦值为（）

13、若a=(1,0,2),b=(0,1,2),则"2b=.

14、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异

面直线A1B与AC所成角的余弦值是.

'B

A

15、已知点A(l,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若而=2PEi,则|PD|的值是.

16、已知正方体45CD4向G9的棱长为1,点P在线段8。上，当NAPC最大时,

三棱锥PABC的体积为.

17、已知A(1,O,O),B(0,1,0),C(0,0,2).

⑴若加IIAC,DCIIAB,求点D的坐标;

(2)问是否存在实数a,B,使得AdaAB+pBC成立?若存在,求出a,B的值;若不

存在，说明理由.

18、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).

⑴求以后和亚为邻边的平行四边形的面积；

⑵若|a|=叔且a分别与&亚垂直,求向量a的坐标.

19、在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简人八一EF+DF+AB+CC：并在图中标出

化简结果的向量.

20、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZADC=60",侧面PDC是正

三角形，平面PDCL平面ABCD,CD=2,M为PB的中点.

(1)求证:PA_L平面CDM.

(2)求二面角D-MC-B的余弦值.

21、如图，已知正三棱柱ABC-ABC的各棱长都是4,E是BC的中点，动点F在线

段CAi上，且不与点C、Ai重合.

(1)若西=4而，求平面AEF与平面ACF的夹角的余弦值;

(2)求点F到直线AB距离d的最小值.

22、如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱底面

ABCD,在侧面PBC内，有BE，PC于E,且BE=Y5,求直线BE与平面ABCD

3

所成角的正弦值.

参考答案

1、答案B

利用向量共线定理即可得出.

详解

—>—>

解：若方=(-4,6,-2),则b=-2(2,-3,1)=-2%所以a〃瓦

故选：B.

名师点评

本题考查空间向量共线的充要条件，熟练掌握向量共线定理是解题的关键.

2、答案D

要表示向量福，只需要用给出的基底ab,C表示出来即可，要充分利用图形的直观

性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.

解答：解：A^=AtA.+AR=-CCl+CB-CA

=-a+b-c

故选D

3、答案C

4、答案C

由题意可得〃可得丘4=0,即可得出Z.

详解

由题意可得反上建

五城=3+6+2=0,

解得z=-9.

故选：c.

名师点评

本题考查了线面位置关系、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5、答案D

6、答案C

7、答案C

解：长方体^CD-AFgiDi中,AB=BC=2,

AC】与平面BBR]C所成的角为30。,

AB厂

……Bg=--------=2器

即匕AC]B=30,可得tan30°

可得BB[=J（2回2_2?=2隹

所以该长方体的体积为：2'2x2或=8啦.

故选：C.

画出图形，利用已知条件求出长方体的高，然后求解长方体的体积即可.

本题考查长方体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，考查计算能力.

8、答案B

根据题意，利用空间向量的线性表示与运算，用而、血与前表示出诵.

解：连接DN,如图所示，

四面体ABCD中，DA=a.DB=b>DC=c>

点M在棱DA上，而J=2忌，.•.币细，

3

又N为BC中点，.,.而息（DB+DC）;

2

.,.MN=MD+DN=-25A+1DB+1DC=-专+用+£.

322322

故选：B.

考查目的：空间向量的加减法.

9、答案D

不妨令6与不共线，G与5不共线，G与，不共线，满足第瓦二共面，瓦口，也共

面，但25,乙，不一定共面，故①不正确；已知直线。的方向向量G与平面a,若4//a,

则直线a//a或aua,故②不正确；不妨令三点共线，点P0AB,则不存在

实数使9=x^+y防月成立，故③不正确，由共面向量基本定理的推论，可得

对空间任意点。与不共线的三点AB,C,若丽=x）+），历+z反（其中

x+y+z=l）,则尸,4,B,C四点共面，由于缺少条件+x+y+z=l,故④不正确，正

确的命题个数是0,故选D.

10、答案D

由已知1,E=-1,同=啦,|b|因为k&+G与2A-，互相垂直，所以(kr+b)，=0,

7

BP2ka2+(2-k)a,b-b2=0>4k-(2-k)-5=0,k=g.故选D.

考查目的：两向量垂直.

11、答案C

12、答案A

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出直线。D1与平面°人押1所成角的正弦值.

详解

正方体ABCD-A]B]CID]中，0为底面ABCD的中心,

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，。口1为z轴，建立空间直角坐标系,

设正方体-A]B]C[D]中棱长为2,

则。（1,1,°）,Di（O,0,2）,Ai（2,o,2）,B[2,2,2）,

”=（-1,-1,2）”=（1,-1,2）"=（1,

叫，0Ai，叫1,2）,

设平面°r）AA]RB]的法向量n=（Xy，,z）、,

J•~=x-y+2z=0

j-"=x+y+2z=0T=（-2

则卜明，取Z=l,得n0,1）,

设直线0D1与平面OA[B]所成角为e.

•・•直线°D］与平面°A［B］所成角的正弦值为15

故选：A.

名师点评

本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点

到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直

线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。

13、答案3

由空间向量坐标运算先写出坐标，再求模即可.

详解

a=(1,0,2),b=(0,1,2),a-2b=(1,-2,-2),二,<b=Jl2+(-2)2+(-2)2=加=3

故答案为：3.

名师点评

本题考查空间向量坐标运算及模长计算，属于基础题.

14、答案逅

6

CA,CB,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，All,0,2),B(0,1,0),

A(l,0,0),C(0,0,0),则祠=(一1,1,-2),XC=(-l,0,0),cos(襦，AC)

_泡./_[_V6

|4B|-|AC|Vi+i+46-

15、答案可

16、答案也

以6为坐标原点，区4为x轴，8c为y轴，8小为z轴建立空间直角坐标系（如图所示）.

设》尸='物可得：P(A,A,A).

,AP-CP

=

zosZAPC-----1-----------f--

再由\API■|。尸I可求得

4=1

当3时，NAPC最大.

17、答案(1)D(-l,l,2)；(2)a=p=l

试题分析：(1)设D(x,y,z),由向量平行的坐标运算可求得D点坐标。(2)假设存在,

由待定系数法求解。

详解

(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y,2-z),&=(T,1,0).

因为而IIAC,DCIIAB)

((-x,l-y,-z)=m(-1,0,2),

所以H-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),

(X=-1,

y=i,

解得|z=2,EPD(-1,1,2).

(2)依题意涯(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BG=(0,-1,2).

假设存在实数a,B,使得*=aAB+B靛成立,则有

(T,0,2)=a(-1,1,0)+P(0,-1,2)=(-a,a-B,2B),

/a=1,

a-p=0,___

所以I2B=2,故存在a=B=1,使得&=aAB+pBC成立.

名师点评

已知a="n'b=%%马)，若a“\,则2=入，(，30),%％21)=入%,丫2,22),所以

*1=乂2%=入丫”1=旭2。

18、答案⑴7,；(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角

关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设；=(x,y,z),由向量垂直则数量积为

0,待定系数法求得向量1坐标。

详解

(1)由题中条件可知,近由2,T,3),心(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以cos<A*B，诙>=前||扇J14x近2

于是sin〈AB,At>=2.

故以AB和亚为邻边的平行四边形的面积为

S=|AB||AC|s£n<AB,AC>=i4X2=7板

2.22r

zx+y+z=3,

-2x-y+3z=Oz

(2)设a=(x,y,z),由题意得x-3y+2z=O,

/X=1,/X=-1,

|y=1,或|y=-1,

解得[z=l(z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(T,T,T).

名师点评

-»->

->->a>b->t

COS<a,b>=----—,<a,b>6[0,n]-_-

求平面向量夹角公式：Ia|」b|,若2=风$21)方=仅92握2),则

xx++zz

「i2yiy2i2…

cos<a,b>=,=~,<a,b>e[0,n]

222222

Jx1+y1+z1-Jx2+y2+z2。

19、答案：：根据向量的加减法的三角形法则，结合六棱柱图形，即可化简所求式子.

详解

A"EF+AB+CC]+DF=AF+FE+ED+DD1+D』[=AF],在图中表示如下图所示。

名师点评

本题主要考查了向量加法、减法的运算法则，及相反向量，属于中档题.

20、答案⑴见；屹)一半.

试题分析：

(1)取DC中点0,连接P0,根据题意可证得0A,0C,0P两两垂直，建立空间直角坐

标系，运用坐标法可证得再■!丽，苏_L皮，从而PALDM,PA1DC,根据线面垂直

的判定定理可得结论.(2)结合(1)可求得平面BMC的一个法向量而=(-1,又

平面CDM的法向量为序=(6,0,-6),求出两向量夹角的余弦值，结合图形可得二面

角的余弦值.

试题

(1)取DC中点0,连接P0.

：侧面PDC是正三角形，

.\P0±DC,

又平面PDC,平面ABCD,平面PDCC平面ABCD=DC,

，P0_L底面ABCD.

又底面ABCD为菱形，且NADC=60°,DC=2,

.•.D0=l,0A1DC.

以0为原点，分别以0A,0C,0P所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直

角坐标系0-xyz.

则4■,0,0）制0,0,4）,网后2,0）（（0,1,0）,£＞（0,-1,0）,M山」，色

\7

.,.丽=—,2,—,^4=（V3,0,-A/3）,DC=（0,2,0）,

：.PADM=0,PADC=0,

APA±DM,PA±DC,

又DMADC=D,

・・・PA_L平面CDM.

—，u,—，通=（6,1,0%

227

设平面BMC的一个法向量河=(x,y,z),

n-CM-^-x+^-z-0

x=-z

由｛22‘刷尸任’

nCB=y/3x+y=0

令z=l,得而=（一1,6,1）.

由⑴知平面CDM的法向量为PA=(73,0,-73),

小而_-2至>_Vio

cos（n,PA）

何冏—石x指—5

由图形知二面角D—MC—B是钝角,

所以二面角D-MC-B的余弦值为一芈

名师点评：向量法求二面角大小的两种方法

(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角

得到二面角的大小，解题时要注意结合实际图形判断所求的二面角是锐角还是钝角，然

后根据两向量夹角的余弦值作出结论.

(2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两

个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

21、答案(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则由已知得：A(0,0,0),B(2次，2,0),

C(0,4,0),A,(0,0,4),E(V3>3,0)

F(0,3,1)于是m=(0,3,1),AE=(a,3,0)•

设平面AEF的法向量为左(x,y,z)，

则n*AF=O

,n・AE=0

y取1'得益（，，）

即1J''a-13

3y+z=0

取平面ACF的法向量为部(],0,Q),

V3_V39

设平面AEF与平面ACF的夹角为8,则C0s8=|cos<\,=

m>lV13=13

二平面AEF与平面ACF的夹角的余弦值为恒.

13

(2)设F(0,t,4-t),(0<t<4),

AF=(0,t,4-1),AB=(2V3»2,0)•

cos<AF，AB>=~X

(4-t)2

d=J_yI[sin<AF,AB