2021届人教a版（文科数学） 空间向 量与立体几何单元测试

2021届人教A版（文科数学）空间向量与立体几何单元测试

1、在坐标平面内，与点A（1,2）距离为1,且与点B（3,1）距离为2的直线共

有（）

A.1B.2C.3D.4

2、过点A（-2,1,3）,且与面xoy垂直的直线上点的坐标满足（）

（A）x=-2（B）y=l（C）x=-2或y=l（D）x=-2且y=l

3、以下命题中，不正确的命题个数为（）

①已知A、B、C、D是空间任意四点，则A+B+C+D=0

②若｛a,b,c｝为空间一个基底,则｛a+b,b+c,c+a｝构成空间的另一个基底；

③对空间任意一点0和不共线三点A、B、C,若0=x+y+z（其中x,y,zGR）,则P、

A、B、C四点共面.

A.0B.1C.2D.3

4、直三棱柱ABC-AAG中，若a=a，函=A,工'=c,则率=（）

A.a+b—cB.a—cC.—a+Z?+cD.—a+b—c

5、若位标｝是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（）

A.a,2b,3cB.a+）方+c,c+a

C.a+b+c,b+c,cD.a+2b,2b+3c,3a-9c

6、在平行六面体ABCD—ER汨中，^AG=2xAB+3yBC+3zHD,贝ij尤+y+z

]_

cD.

-i2

7、如图,在正四棱柱ABCD-ABCD中,AA）=2,AB=BC=1,动点P,Q分别在线段

C,D.AC±,则线段PQ长度的最小值是（）.

8、已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且AF=AD+mAB-nAAi

则m,n的值分别为()

11111111

A.2,-2B.-2,-2C.-2,2D.2,2

9、已知空间任意一点0和不共线三点A,B,C,若&=2&+而,则下列结论正确的是

()

A.0P=OA+2OB-2OC

B.0P=-20A-0B+30C

C.0P=20A+OB-3OC

D.0P=20A+OB-2OC

10、下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是()

A.点P(L-LO)、＜2(1,2,3)的距离为(1-1)2+(-1-2)2+(0-3/=18

B.点4-3,-1,4)与点8(3,-1,-4)关于y轴对称

C.点以-3,-L4)与点8(3,-1,-4)关于平面xOz对称

D.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分

1k已知勉=(L2,3),岫=(2,1,2),1=(1,1,2),点Q在直线0P上，那么当邮•薪取得最

小值时,点Q的坐标是()。

金斗431./448,(空4

A.肩3)B.1223)C.(八勺D.栈勺

12、已知空间向量a=（3,1,0）,B=（x,—3,I）,且]_L5,则X=（）

A.-3B.-1C.1D.2

13、在长方体中，AB=AAt=2,AD=],E为CG的中点，则异面

直线BC,与AE所成角的余弦值为.

14、如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线AIM

与DN所成的角的大小是.

15、已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10),D(8,4,a),如

果四边形ABCD为梯形，则实数a的值为.

16、己知点E,F分别在正方体ABCD—ABCQi的棱BBi，CG上，且B|E=2EB,

CF=2FG,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为.

17、已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(l,-1,5).

⑴求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积；

⑵若|a|",且a分别与冠亚垂直,求向量a的坐标.

18、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的

两点为起点和终点的向量中.

(D单位向量共有多少个？

(2)试写出模为由的所有向量.

(3)试写出与晶相等的所有向量.

(4)试写出AA1的相反向量.

19、如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜

边,且AD=百，BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.

(1)求证：AD1BC；

(2)求二面角B—AC—D的余弦值；

(3)在线段AC上是否存在一点E,使ED与面BCD成30。角？若存在，确定CE大

小；若不存在，说明理由.

A

20、AABC中，A(l,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),设M(x,y,z)是平面

ABC上任一点.

(1)求平面ABC的一个法向量；

(2)求x,y,z满足的关系式.

21、在正方体ABCD—AIBIGDI中，求证：品1是平面BQC的法向量.

22、如图是圆柱体0-0'的母线，A3是底面圆的直径，W,N分别

是的中点，8C=1,AB=A4'=2.

(1)求证：也N//平面ABC；

(2)求点C'到平面BCM的距离；

(3)求二面角8-CM-。的大小.

参考答案

1、答案B

2、答案D

3、答案B

4、答案D

要表示向量福，只需要用给出的基底ab,C表示出来即可，要充分利用图形的直观

性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算.

解答：解:4月_AjA+AB=—OCj+CB-CA

=-a+b-c

故选D

5、答案D

根据空间向量的共面定理，一组不共面的向量构成空间的一个基底，对选项中的向量进

行判断即可。

详解

对于4:2,2瓦32,B:R+Mb+/+2,C:怎+5+2石+工£,每组都是不共面的向量，能构成空

间的一个基底，

对于0：0+2瓦25+3乙32一92满足：

3a-^=3[(^+2b)-(2b+3^],是共面向量，不能构成空间的一个基底,

故选D

名师点评

本题主要考查了向量的相关知识，考查了空间向量共面的判断与应用问题，熟练掌握向

量基底的定义以及判断条件是解题的关键，属于基础题。

6、答案D

―•—•—.—.11

vAG=AB+BC-HD<3y=1/.<y=—..x+y+z=—

3z=-1

z=—

3

考查目的：平面向量基本定理

7、答案C

本题建立如图所示的空间直角坐标系；则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),

Ci(0,1,2),

设点P的坐标为(0,入，2X),AG[0,1],点Q的坐标为(1—P,M,0),yG[0,

1],

.pQ_yj(l—//)2+(A-/Z)2+422=^2/«2+512-2^/z—2/rl-l_

152

当且仅当入=，,N=3时，线段PQ的长度取得最小值

考查目的：运用空间坐标化为代数的最值问题用配方法解决.

8、答案A

1111

直接利用向量的线性运算化简得点=同+5前+5就，比较系数得m=5,n=-2.

详解

1i

由于靠=蔺+和=同+5(DC+DDi)=AD+2AB+2AAi,所以m=5,n=-2,

故答案为：A

名师点评

本题主要考查向量的线性运算和空间向量的基本定理，意在考查学生对这些知识的掌握

水平和分析推理能力.

9、答案D

将&=而-OC,CA=OA-OC,CB=OB-Sq弋入&=2&+扇后化简可得结果.

详解

因为CP=2cA+CB,

又cb=OP-OC/CA=OA-ot,cb=OB-OC,

所以SP-OC=2(OA-OC)+(OB-OC)?

整理得OP=20A+OB-2OC

故选D.

名师点评

本题考查空间向量的表示，解题时根据向量运算的三角形法则求解即可，考查变换能力,

属于简单题.

10、答案B

根据空间坐标系两点间距离公式、空间点的对称性及空间直角坐标系的概念对题目中的

命题进行分析，判断正误即可.

详解

对于A,点P(1,-1,0)>Q(1,2,3)的距离为J(1-1肝+(-1-2/+(0_3)2=3点,

A错误；

对于B,点A(-3,-1,4)与B(3,-1,-4)关于y轴对称，B正确；

对于C,点A(-3,-1,4)与B(3,-1,-4)不关于平面xOz对称，C错误；

对于D,空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，口错误.

故选：B.

名师点评

本题考查了空间直角坐标系的概念与应用问题，是基础题.

11、答案C

由点Q在直线OP上运动，可得存在实数人使得OQ=XOP=。，入,2人)，利用数量积可得QAQB,

再利用二次函数的单调性即可得出.

详解

解：点Q在直线。P上运动，二存在实数人使得皿=入加=(入，入，2人)，

QA=(1-X,2-A,3-2A),血=(2■•入,1-入,2-2人).

QA-QB=(1-A)(2-X)+(2-X)(l-X)+(3-20)(2-2人)

474

=6入2-16入+10=6(入—)2+—

39,

4

入二一

当且仅当3时，上式取得最小值，

448

故选：C.

名师点评

熟练掌握向量共线定理、数量积运算、二次函数的单调性等是解题的关键，属于中档题.

12、答案C

利用向量垂直的充要条件，利用向量的数量积公式列出关于x的方程，即可求解x的值.

详解

由题意知，空间向量"(3,1,0),6=(X,-3,1),Kalb,

所以鼠6=(),所以3X+1X(-3)+°X1=°,即3X-3=O,解得X=1.

故选：C.

名师点评

本题主要考查了向量垂直的充要条件，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量

垂直的条件和数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力,

属于基础题.

13、答案强

10

建立坐标系如图，

则以1,0,0),£(0,2,1),5(1,2,0),C|(O,2,2).

—>—>

_BCi-AE_^30

%=(-1,0,2),AE=(—1,2,1),cos<BC涵

Vff-10'

1gli闻

所以异面直线BG与AE所成角的余弦值为.

14、答案90°.

分别以DA,DC,D%所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设DA=2,则

Ai(2,0,2),M(0,l,0),A；M=(-2,1,-2),

.rrAM■DN(-2,1,-2)(0,2,1)

N(O,2,1),DN=(0,2,1)cos〈AM,DN)=————=——5-----3——=0

|AM||DN||AM||DN|

n

AM1品，即异面直线A.M与DN所成角的大小是2

考查目的：异面直线所成的角

15、答案9

因为靠=(4,-8,2),BC=(8,5,7),DC=(2,-4,10-a),AD=(10,La

-1),四边形ABCD为梯形，则还〃疾，解得a=9,此时就与病不平行.

16、答案申

如图，建立空间直角坐标系.

设DA=1,由已知条件得A(l,0,0),EILJ,F(°'LJ,

设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),

平面AEF与平面ABC所成的二面角为。，

n・AE=O,Iy+y=O»

—<

2

由Ln-AF=O,得-x+y+^z=O.

令y=l,得z=—3,x=—1,则n=(—1,1,—3),

平面ABC的法向量为m=(0,0,-1),

展苴

cos0=cos<n,m〉=4",tan0=3.

17、答案(1)78(2)a=(1,1,1)或(-1,-1,-1)

试题分析：(1)先写出两边表示向量坐标，再由向量夹角公式求角A的余弦值，由同角

关系求角A的正弦值，再由面积公式可求解。(2)设！=(x,y,z),由向量垂直则数量积为

0,待定系数法求得向量!坐标。

详解

(1)由题中条件可知,溟(-2,-1,3),辰=(1,-3,2),

ABAC-2+3+61

所以《«<京,曲>=|的||曲|板x屈2

于是sin<AB,AC>=2.

故以M和扇为邻边的平行四边形的面积为

S=|AB||AC|sin<AB/AC>=i4x2=7湎.

,2x+y2+z2=3c,

-2x-y+3z=0,

⑵设a=(x,y,z),由题意得Ix-3y+2z=0,

(X=1,/X=-1,

y=1,或卜=-1,

解得[z=l[z=-1.

故a=(l,1,1)或a=(-l,T,T).

名师点评

->T

-♦->a'b->-♦

cos<a,b>=r-------<a,b[0,n]-»-

求平面向量夹角公式：|a|-|b|,若2=%4/1)力="2以222),则

“x1x2+y1y2+z1z2一

cos<a,b>=,=~<a,b>e[0,n]

222222

JX]+y]+Z].*2+y2+Z2o

18、答案:：(1)根据定义模为1的向量即为单位向量(2)在长方体中求出对角线长为

拈，即可写出所求向量(3)根据大小相等，方向相同即为相等向量可写出(4)大小相

等，方向相反的向量即为相反向量.

详解

⑴模为1的向量有A1A，AA1，B1B,BB],C1C,CC1，D1D,DD1,共8个单位向量.

(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为6因此模为拈的向量为AD】，DiA,AR

DA],BC],C]B,B]C,CB]

-»T->

(3)与向量AB相等的向量(除它自身之外)为A[B],DC及D]J

(4)向量AA1的相反向量为A】A,BIB,C]C,D]D

名师点评

本题主要考查了向量的模，相等向量，相反向量，及向量的相等，属于中档题.

19、答案(1)坐标法，以D为原点，直线DB,DC为x,y轴，

可得於•万A=0.AD1BC

(2)平面ABC、ACD的法向量取m=(l,1,-1)、n2=(l,0,一1),可得

/、_R

cosxfii,r)2>.

3

(3)存在，CE=1.设E(x,y,z)可得及=(x,1,x),又面BCD的一个法向量为n=(0

一,

,0,1),由cos〈£)E,n>=cos60o,得x=——.CE=1

2

20、答案(1)设平面ABC的法向量n=(a,b,c),

'•,班=(2，4,—1),AC=(2,2,1),

,n-AB=2a+4b-c=0.C=b

・・<,••43•

.n-AC=2a+2b+c=0la=-2b

故可取n=(—3,2,2).

平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2).

(2);•点M(x,y,z)是平面ABC上任一点，

.,.-3(x-l)+2(y+l)+2(z-2)=0,

3x—2y—2z—1—0.

这就是所求的x、y、z满足的关系式.

21、答案证明如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD别为x、y、z轴，建立空间直

角坐标系.设正方体的棱长为1,则Di(0,0,1),A(l,0,0),C(0,1,0),Bi(l,1,

1),Ci(0,1,1).

所以局1=（一1，1，1），咂1=（1，1，0），谛1=（1，0,1）,

所以或I•取1=（—1，1，1）,（1，1，0）=0,

ACi*OTi=（-h1>0*（1>0,1）=0,

所以就1，师1，ACjlCBp

又BiDGCB尸Bi,

所以或1是平面B,D）C的法向量