中考数学复习之考点题型全归纳与分层精练（全国通用）：专题19 等腰三角形(原卷版)

专题19等腰三角形【专题目录】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【题型】一、等腰三角形的定义【题型】二、根据等边对等角求角度【题型】三、根据三线合一求解【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形【题型】五、根据等角对等边求边长【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合【题型】七、等边三角形的性质【题型】八、含30°角的直角三角形【考纲要求】1.了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2.了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3.掌握线段中垂线的性质及判定．【考点总结】一、等腰三角形等腰三角形等腰三角形概念有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.【考点总结】二、等边三角形等边三角形等边三角形概念三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。等边三角形性质和判定（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。（3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。（4）在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（补充：（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（3）常用辅助线：=1\*GB3①三线合一；=2\*GB3②过中点做平行线【考点总结】三、直角三角形直角三角形直角三角形性质①直角三角形的两锐角互余;②直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半;③直角三角形中,斜边上的中线长等于斜边长的一半.直角三角形判定有一个角是直角的三角形是直角三角形.

勾股定理及其逆定理①勾股定理:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方;②勾股定理的逆定理:若一个三角形中有两边的平方和等于第三边的平方,则这个三角形是直角三角形.【技巧归纳】技巧1：等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【类型】一、作“三线”中的“一线”1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作EF∥BC，且AE＝AF.求证：DE＝DF.【类型】二、作平行线法2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①，当点P为AB的中点时，求证：PD＝QD.(2)如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，当P，Q在移动的过程中，线段BE，ED，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．【类型】三、截长补短法3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠ABD＝60°，∠ACD＝60°.求证：BD＋DC＝AB.【类型】四、加倍折半法4．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．5．如图，CE，CB分别是△ABC，△ADC的中线，且AB＝AC.求证：CD＝2CE.技巧2：巧用特殊角构造含30°角的直角三角形【类型】一、直接运用含30°角的直角三角形的性质1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝()A.eq\r(3)B．2C．3D.eq\r(3)＋22．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm.求BC的长．【类型】二、连线段构造含30°角的直角三角形3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥AC于E，AE＝8，求CE的长．4．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E.求证：CE＝2BE.【类型】三、延长两边构造含30°角的直角三角形5．如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【类型】四、作垂线构造含30°角的直角三角形6．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠DAB，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC.技巧3：分类讨论思想在等腰三角形中的应用【类型】一、当顶角或底角不确定时，分类讨论1．若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角度数为()A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°2．已知等腰三角形ABC中，AD⊥BC于D，且AD＝eq\f(1,2)BC，则等腰三角形ABC的底角的度数为()A．45°B．75°C．45°或75°D．65°3．若等腰三角形的一个外角为64°，则底角的度数为________．【类型】二、当底和腰不确定时，分类讨论4．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为()A．8或10B．8C．10D．6或125．等腰三角形的两边长分别为7和9，则其周长为________．6．若实数x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为________．【类型】三、当高的位置关系不确定时，分类讨论7．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．【类型】四、由腰的垂直平分线引起的分类讨论8．在三角形ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B的度数．【类型】五、由腰上的中线引起的分类讨论9．等腰三角形ABC的底边BC长为5cm，一腰上的中线BD把其分为周长差为3cm的两部分．求腰长．【类型】六、点的位置不确定引起的分类讨论10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．7个B．6个C．5个D．4个11．如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D，E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．【题型讲解】【题型】一、等腰三角形的定义例1、已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长为（）A．9 B．17或22 C．17 D．22【题型】二、根据等边对等角求角度例2、如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作□BCDE，则∠E的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【题型】三、根据三线合一求解例3、如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（）A．2 B．3 C．4 D．5【题型】四、根据等角对等边证明等腰三角形例4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14【题型】五、根据等角对等边求边长例5、如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点若，，则的长为（）A． B． C． D．【题型】六、等腰三角形性质与判定的综合例6、如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为、、，测得，，千米，求、两点间的距离．（参考数据：，，结果精确到1千米）．【题型】七、等边三角形的性质例7、如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（）A．1 B． C． D．【题型】八、含30°角的直角三角形例8、如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（）A． B． C． D．等腰三角形（达标训练）一、单选题1．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，在中，，，，用图示尺规作图的方法在边上确定一点．则的周长为（

）．A．12 B．14 C．16 D．213．下列命题，错误的是（）A．有一个锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等B．如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A＝∠BC．等腰三角形两腰上的高相等D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等4．如图，点，在上，，．添加一个条件，不一定能证明的是（

）A． B． C． D．5．如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC、BC于点E、O、F，若，则EF的长为（

）A．8 B．15 C．16 D．24二、填空题6．如图，在中，，平分，，点到的距离为5.6，则___．7．如图，在中，，于点E，于点D，请你添加一个条件__________，使（填一个即可）．三、解答题8．如图，E、F分别是矩形ABCD对角线上的两点，且．求证：．等腰三角形（提升测评）一、单选题1．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，CFBA，若△ADE的面积为2，则四边形BCFD的面积为（

）A．10 B．8 C．6 D．42．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB的中点，若AB＝12，CD＝3，则△DBE的面积为（

）A．10 B．12 C．9 D．63．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5，P为AB上一动点，则PD的最小值为(

)A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，点G在CD边上，，AG交BF于点H，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确