中考数学复习满分突破（全国通用）：专题25 特殊的平行四边形-菱形（原卷版）

专题25特殊的平行四边形-菱形【考查题型】【知识要点】菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。菱形的性质：1）具有平行四边形的所有性质；2）四条边都相等；3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。菱形的判定：1）A对角线互相垂直的平行四边形是菱形。A2）四条边相等的四边形是菱形。3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝考查题型一利用菱形的性质求角度典例1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°变式1-1．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在上，连接．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则的度数为（）A．50° B．60° C．80° D．90°变式1-2．（2020·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（

）A． B． C． D．变式1-3．（2020·甘肃金昌·统考中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是（

）A． B． C． D．变式1-4．（2022·山东青岛·统考中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中的度数是__________．变式1-5．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若，则的度数为_________度．变式1-6．（2020·广东·统考中考真题）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为_________．考查题型二利用菱形的性质求线段长典例2．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，2），（﹣1，﹣），点D在第一象限，且AD∥x轴，则点D的坐标是（）A．（6，2） B．（8，2） C．（6，） D．（8，）变式2-1．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．变式2-2．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．变式2-3．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知菱形的边长为4，E是的中点，平分交于点F，交于点G，若，则的长是（

）A．3 B． C． D．变式2-4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，，M是对角线BD上的一个动点，，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．2变式2-5．（2022·陕西·统考中考真题）如图，在菱形中，．若M、N分别是边上的动点，且，作，垂足分别为E、F，则的值为______．变式2-6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．变式2-7．（2022·贵州遵义·统考中考真题）将正方形和菱形按照如图所示摆放，顶点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在，上．(1)求证：；(2)若，求的长．变式2-8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE．连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．考查题型三利用菱形的性质求面积典例3．（2021·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（

）A．6 B．10 C．12 D．24变式3-1．（2021·海南·统考中考真题）如图，在菱形中，点分别是边的中点，连接．若菱形的面积为8，则的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．5变式3-2（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．30变式3-3．（2022·重庆·统考中考真题）如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）变式3-4．（2021·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线，，分别以点A，B，C，D为圆心，的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留）变式3-5．（2021·四川凉山·统考中考真题）菱形中，对角线，则菱形的高等于___________．变式3-6．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，菱形的边长为10，，对角线相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作且边EF与直线DC相交于点F．(1)求菱形的面积；(2)求证．变式3-7．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．（2）计算你所画菱形的面积．考查题型四添加一个条件证明四边形是菱形典例4．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（

）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形变式4-1．（2021·山东德州·中考真题）如图，下列条件中能使成为菱形的是（

）A． B． C． D．变式4-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）变式4-3．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．30．（2022·浙江舟山·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．变式4-4．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点，分别在的边，上，，连接，．请从以下三个条件：①；②；③中，选择一个合适的作为已知条件，使为菱形．(1)你添加的条件是______（填序号）；(2)添加了条件后，请证明为菱形．考查题型五菱形的证明典例5．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4，则四边形CEDF的周长是_______．变式5-1．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．(1)求证：四边形AECD为菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．变式5-2．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形为平行四边形，延长到点，使，且．(1)求证：四边形为菱形；(2)若是边长为2的等边三角形，点、、分别在线段、、上运动，求的最小值．变式5-3．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，则的值为_______．变式5-4．（2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】老师的问题：已知：如图，．求作：菱形，使点C，D分别在上．小明的作法：（1）以A为圆心，长为半径画弧，交于点D；（2）以B为圆心，长为半经画弧，交于点C；（3）连接．四边形就是所求作的菱形，【解答问题】请根据材料中的信息，证明四边形是菱形．变式5-5．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且，连接BF．FD，DE，EB．求证：四边形DEBF是菱形．变式5-6．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，已知在⊙O中，，OC与AD相交于点E．求证：（1）AD∥BC（2）四边形BCDE为菱形．变式5-7．（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．变式5-8．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图