2021届高考全国卷地区3月联考乙卷数学（理）试卷解析

绝密★启用前

2021届高考全国卷地区3月联考乙卷数学(理)试

题

注意事项：L答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案

正确填写在答题卡上

一、单选题

1.已知集合4=k|2/-7》一440},8斗料<3},则*8=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.(-5,2]D.

答案：D

先解不等式得到集合A、B,再利用集合的数轴表示求得APIS.

解：由2%2一7%一440，即(2%+1)(尤-4)<0,得一]集合A=-!,4,

2L2J

由|乂<3得f<9,即—3<x<3,集合5=(—3,3),

由数轴表示可得，

故选：D.

----------------B.........................H.

」「彷勿勿I金

-3-2-11234

2

一元二次不等式求解要注意不等号方向及解集端点验证，以避免出错；数集运算借助数

轴表示更为直观.

答案：D

利用复数的除法以及复数的乘方化简复数Z,利用复数的模长公式可求得|z|.

6+i(一+，)(1+疯)6+4,•+后2T

1-V3Z(1-V3zj(l+V3zj4、

100

故选：D.

3.已知a=2喝2,0=2喝2,c=（；），则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<h

答案：B

由换底公式以及对数函数与指数函数的单调性可判断大小关系.

,c1,c1

解：根据换底公式10g32=：j—10g52=-―因为bg,5>log,3>l,

log23log,5'-

|0&2

所以0<logs2<log32<1,故i<2<*2<2.

（1

又C=一=2''>2'=2.

所以Z?<a<c

故选：B.

4.二项式［五―2］的展开式中X的系数为（）

Ixj

A.-15B.-3C.3D.15

答案：A

先写二项展开式中第项的通项公式（i=（_3yc3等，再令与2=1解出r,代

入通项公式求系数即可.

解：由题意知，二项展开式中第汁1项的通项公式

5-3r

(-3)「&丁，r=0,1,2,3,4,5.

5—3r.

令A——=1得〃=1,

2

所以X的系数为(―3)LC；=-15.

故选：A.

0X_1

5.函数/（无）=（丁一3,.三11的图象大致是（）

答案：A

先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用/(2)>0即可得出.

解：由题知/(%)=(？-3x).1的定义域为(ro,+oo).

ex

因为/(-x)=(一/+3x)•--=/(工)»

7+1

所以/(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项B；

又/(2)=2x”l>0,故排除选项C,D.

e+1

故选：A.

思路点评：函数图象的辨识可从以下方面入手:

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.曲线y+1(x20)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()

B.y=xC.y=x+lD.y=x+2

答案：C

由给定函数求导，结合斜率值，求出切点坐标，写出切线方程.

,cosx-e'-sincosx-sinx

解：由题得y=77T23，设切点为(/，％)，

e

则y'lL=cos-%.%sin.%，而拓=l(x2o),则e演=cosx0-sinx0,

令/(x)=ex-cosx+sinx,贝!]f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+41sin(x+—),

4

0<x<l时，f'(x)>0,而应1时，ex>e,sinx+cosx>-V2,f\x)>0,

Vx>0"'(x)>0,1x)在［0,+<»)上单调递增，则/(%)>/(0)=0,

所以方程e*=cos/—sin/只有一个实根%=0,代入原函数得为=*+1=1，

e

故切点为(0,1)切线斜率为1,所以切线方程为y=x+l.

故选：C.

求超越方程的零点，一般是构造函数，利用函数单调性，借助观察比对的思路解决.

7.某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语

文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科

目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物

理.其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是()

33279

A.----B.----C.----D.----

200100400100

答案：B

m

古典概型，利用尸=—求概率，利用组合分别计算出小〃7,即可求解.

n

解：从6科中任选3科共C；=2()种不同的方案，两人分别从6科中任选3科，共有

C；xC”400种不同的方案.

因为他们都选了物理，其余2科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：

第1类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治3门中选1门，有C；=3种方法，乙从

剩余3门中选2门，有=3种方法，所以一共有9种选法；

第2类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理3门中选2门，有

c；=3种方法，乙只能选剩下的2门，有1种方法，此时一共有3种选法.

123

综上所知，满足要求的选法共有12种，所以所求事件的概率尸=——二—.

400100

故选：B.

rn

利用古典概型的概率公式尸=一求概率时，其中的小，〃可以用列举出来，也可以利用

n

排列组合、计数原理求出来.

8.如图所示的程序输出的结果为，10一22，则判断框中应填（）

1023

A./>!()?B.z<10?C.z>9?D.z>ll?

答案：A

按照程序框图运行程序，利用裂项相消法求和，可得第〃次循环S=1--J—,再代

2n+l-1

入解方程即可判断;

22

解：解：输入i=l,S=0,则第1次循环S=0+——=—,i=l+l=2,继续循环;

1x33

第2次循环S=^~—+―—―=1—,i=2+l=3,继续循环；

1x33x73377

第3次循环S--1---=1——+,i=3+l=4,继

1x33x77x1533771515

续循环,

由此推出第〃次循环s=1-…+1—

3372H-12"+1一12n+1-1

11022

令1一一--=——，解得〃=9,此时i=9+l=l（）,满足条件，退出循环，所以判

2,,+1-11023

断框中应填'”之10?”,

故选：A.

9.已知数列｛4｝的前〃项和S“满足25“—%=3〃（〃eN*）,且S3=15,则品,=

（）

A.100B.110C.120D.13（）

答案：C

利用%=5,一5,_1判断出｛4｝为等差数列，求出公差和首项，直接求出S“）.

解：对于2sn-na“=3n（neN"）：

当〃=1时，2S1-a]=3,解得q=3；

2s“—”=3〃①.又当〃上2时，1）4一=3（〃一1）②，所以①一②得

（〃-一（〃一2）4=3③，当〃23时，（〃-2）a,_20T=3④，

所以④一③得（〃-Da,---2）a“=（"-2）%_2-（〃-3）a“_|,

可得2a,i=a,,+a,L2,所以数列｛4｝为等差数列，设其公差为d.因为

S3=3弓+3d=9+3d=15,解得。=2.又q=3,且易得4=5,4=7,所以

10x9

=2/1+1,故S1o=lOx3+-^x2=12O.

故选：C.

（1）证明等差（比）数列的方法：定义法和等差（比）中项法；

（2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

10.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用

图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m,筒车转轮的中心。到

水面的距离为2m,筒车沿逆时针方向以角速度。（。＞0）转动，规定：盛水筒M对应

的点P从水中浮现（即4时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心。为坐标原点,

过点。的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,设盛水筒M从点外运动到点P

时经过的时间为f（单位：s）,且此时点P距离水面的高度为〃（单位：米），筒车经

过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（）

A.当/=16s时，点P与点片重合

B.当fe［51,65］时,〃一直在增大

C.当fw(O,5O)时，盛水筒有5次经过水平面

D.当/=5()时，点P在最低点

答案：c

由题意，设NE0x=e1一^<夕<0),易知|sinc=—；,从而求得。，由A/从点外

7T

运动到点尸时经过的时间为，(单位：S),得到NxOP=(y/-一，再由经过6s第一次

6

TT7F

到达最高点，令6/-一=一求得函数解析式再逐项判断.

62

解：设/4。氏=夕［_5<3<0),依题意sine=_g.又所以

TT7T(71\

(p=一一.又40P="一一,圆O的半径为4,所以P点满足y=4sin碗一w,

66I

当.=6时，6(0-^=—,解得0=［,所以y=4sin(gl-f］,故

629196)

(兀乃、2%_1o

"=4sin”“一二+2.该函数最小正周期为三一°,所以当，=18s时，点P与点

(96)~

［重合，选项A错误；

［7jri')i

令2k兀一上上£2k兀+—(kwZ),解得18攵~34,418&+6(左eZ),当

2962

攵=3时，51<r<60,又因为［51,65］。［51,60］,所以选项B错误;

,,..(71%.(711一.

4-/2=4sinl--f-—1+2=0,即=_),所以

TTJTTTTT7T/TT

j一一=2k兀一七(keZ)或以♦t一±二2k7T+—(ZEZ),解得才=18左或

966966

r=18k+12(ZeZ).又fe(0,50),所以f可以取的值为12，18,30,36,48,

此时盛水筒有5次经过水平面，选项C正确；

（jr冗\977r

当才=50时、/2=4sin-x50--+2=4sin--+2^-2,所以选项D错误，

I96）18

故选：C.

方法点评：1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成产AsiMs+eXS。）的形式.

2K

2.函数y=4sin（5：+9）和y=Acos（cox+9）的最小正周期为[=]一\，y=tan（Gx+9）的

画

最小正周期为T=L.

3.对于函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）可以通过换元的方法令,

=cox+（p,将其转化为研究y=sinr的性质.

V-22

11.已知点耳、鸟是椭圆与+v六=1（">〃>0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第

一象限内的一点，经过点P与△。耳鼻的内切圆圆心/的直线交x轴于点。，且

PI=27Q,则该椭圆的离心率为（）

1112

A.-B.-C.-D.一

2343

答案：A

S&PFO|PKlI。川

由题意可知。。为N片p用的角平分线，推导出「£=局=局，可得出

S△年。\PF2\\QF2\

四=固区L四

利用比例关系可得出再结合同=2匝可求得

W恒围怩。「|/Q|C

椭圆的离心率的值.

解：如图，连接IF,、*，I是鸟的内心，可得阴、应分别是/尸大鸟和NPFE

的角平分线,

由于经过点P与的内切圆圆心/的直线交X轴于点。,

则PQ为6的角平分线，则。到直线P6、尸鸟的距离相等，

SAPF'Q=四=固后怅可/P"」P用\PI\JP^\

同理可得同一厢T同一西'

SgQ归周\QF2\

由比例关系性质可知回=但生闿=皿四一2=

由比例关M可知阁+代闺同

m02cc

又因为巨=2道,所以椭圆的离心率0=£=四=:，

上a\PI\2

故选：A.

方法点评：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得“、c的值，根据离心率的定义求解离

心率e的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解;

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

---e(x>1)

12.已知函数f(x)=〈x是定义在R上的单调递增函数,

ax2+8x-6(x<1)

g(x)=xi(alnx+l)+x'-e,当xNl时，/(x)Ng(x)恒成立，则。的取值范围是

()

A.[—4,0)B.[-4,-2]C.[-4,—c]D.[―e,—2]

答案：c

根据函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且x=l的右侧的

函数值不小于左侧函数值求得”的范围，再根据X21时，/(x)Ng(x)恒成立，转化

为alnxM%-'/-x—1恒成立求解.

解：令k(x)="—e,则l(x)=e"7)20,所以攵⑴在口,”)上递增,

因为函数/(*)=｛三一式*'1)是定义在R上的单调递增函数，

ax2+8x-6(x<l)

a<Q

4

所以｛---21,

a

a+2<0

解得T<a<—2.

又当时，/(x)Ng。)恒成立，

即----e>xe~}(6zlnx+l)4-x'-e,即〃111%〈1一2"—%—1，

x

当x=l时，e-2N0,显然成立；

x，/x][,一・"x]e-—X]

当尢>1时，化简可得

InxInxInx

令〃(尤)=ex-x+1,则"(x)=e"-1,当x>0时，/(%)>0,当xv0时，/(%)v0,

所以当x=0时，/i(x)取得最小值0,所以〃(x)=e-x+l>。，即e一％+1，

x-\nx——1x—e[nx+]—x—1

x

所以£------->=-e,当且仅当x—elnx=0,

InxInx

即x=e时等号成立，所以。4―e.

综上可知TWa«-e.

故选：C.

方法点评：恒(能)成立问题的解法：

若/(龙)在区间D上有最值，则

(1)恒成立：Vxe£),/(%)>0=/(%)“而>0；Vxe£),/(x)<0o/(x)ma'<0；

⑵能成立：3xeD,/(x)>0<=>/(x)mix>0；3xeD,/(x)<0«>/(-^)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(x)(或a</(x)),则

(1)恒成立：a>/(x)oa>/(x)皿；a<f(x)^a<f(x\y.n；

(2)能成立：a>/(x)<=>a>/(x)niin；a</(x)<=>a</(x)max.

二、填空题

13.已知向量万=(1,1),^=(-1,1),则忸+3匕=,

答案：V26

直接利用坐标运算求出21+35,再求模.

解：•"=(1,1),B=

/.2a+3^=(2,2)+(-3,3)=(-1,5),

.♦.忸+3同=而.

故答案为：>/26•

14.已知等比数列｛4｝的公比4=2,前〃项积为T.，若笃=白，则“=•

答案：1

根据岂=击，结合等比数列的性质求得利，进而求得。5,然后由4二处,求解

解:因为国=/.,•>=W=三万，

解得生

由等比数列的通项公式得%=4/=：x23=1,

8

所以(=%a2a3a4a5a607go=(q%)­(c44)---(tz4«6)-«5=tzj=1.

故答案为：1

r22

15.已知耳，F,分别是双曲线C：j—v4=l(。>0,〃>0)的左、右焦点，过耳

a2b~

的直线/与双曲线的右支交于第一象限内的一点P,若为△6「外的重心，

则该双曲线的离心率为.

答案:匕立

2

先由为吕的重心，求出「(”，”)，代人得到关于abc的齐次式，求出离

心率.

bm+c-c

3-3

解:设P(〃2,〃),耳（七0）,月(c,o)，则由重心坐标公式可得4二八解得

a〃+0+0

133

m=h

n-a

点P的坐标为他M).

；点「在曲线C上，

.•b二2—3/=1,.•.//_/=//

a2b2

"：e=-(e>l),/.c^ea,

a

a1+b2=c2=e2a2，

b2=(e2-l)a2,

••.(e2-l)2-l=e2-b

•••e4-3e2+l=0.解得e?=小且或02=三正(舍),

22

.1+^5

..e=-----•

2

故答案为：匕且

2

求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到〃、氏c的关系，消去"

构造离心率e的方程或（不等式）即可求出离心率.

16.如图圆锥内的球。与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1,则圆锥侧面积的

最小值为•

答案：（3+2a）乃

y+1

设圆锥的底面圆半径为x,SO=y,根据题意得到9厂="~而圆锥的侧面积

y-i

2

S=^.x.SA=^xt^-+(y+l)转化为万9±2+@±殳，最后利用换元法求

V-1忆-1/y-1

解最小值即可.

解：设圆锥的底面圆半径为X,SO=y,

设球与侧面相切于点C,在AM5co中，SC=Jy2_].

cosc

因为ASC0~AS«A,则万了二「

(.Z|kjC/j

i2y+i

即_L=,所以

xy+1yT

在RfASAOi中，SA=Jx2+(y+l)2=^+(y+l)2,

'\y-i

故圆锥的侧面积S=〃-X-SA=GJ2+(y+l)2

\y-i

万,库不小后舟二小m

令y-l=r,t>0,则y+l=/+2,

故S=万J”/」=乃j+3)=万卜+：+3)2(3+2夜)万

2r-r-

当且仅当/=一，即7=0,旷=后+1时，取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为

(3+2扬万.

【一题多解】

解法一：设NASQ=e,在MA5co中,

so=—sc=—.

sin6tan6

因为ASCO~ASO|A,

1

COSC]fanf)

则K7=WT，即即，

0xAS0t01AI]

sin。

cic*sinO+1-sinO+1

所以=-------,SA=--------------,

cos6sin。・cos。

于是圆锥的侧面积

°八404sin6+1sin6+1(sin6+ifsin6+1

S=7TO,A-SA=7T--------------------------=7T------------z—=71--------------------

cos。sincossincos-0sin^(l-sin^)

令sin6+l=Z,则sine=r-l(l</<2),贝ij

S—71--------------=；-k"-7==(3+2yb)71

(—1)(2-)3-口+2)3-2收，

2

当且仅当f=7,即f=五时取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为(3+20)万.

解法二：设SO=〃，AOi=BOi=r.

,/ASOC〜ASAOj,且OC=OO]=1,

,PCAOX

'~SO~~SA

1_r

即厂i+a

,g----------72力+1

.\hr=y/r2+(h+iy，广=~~-，

二圆锥的侧面积

S=7ir《户+5+1)2=7irhr=7ir~h=兀h■〃+1=^|/j-1H———+3|>%(2&+3)

h-\Ih-\)

当且仅当月=0+1时等号成立，故圆锥侧面积S的最小值为（3+2忘）开.

本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考

查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养.

三、解答题

17.已知等腰nABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=c,。是AC的

中点.

（D若cosN8QC=①，sinZABD=—,CD=\,求口ABC的面积S；

48

（2）若DABC的面积S等于2,求8。的最小值.

答案：（1）立；（2）JJ.

2

（1）利用NA=NBDC—NAB£>和三角恒等变换，求得sinA,再利用三角形的面积

公式即可求解；

（2）利用三角形的面积公式建立AB与sinA的关系，再利用余弦定理表示出80,最

后利用辅助角公式即可求解.

解：解：（1）在口ABZ）中，ZA^ZBDC-ZABD.

由cos/8£>C=走，sinZABD=-

48

得sinZBOC=恒，cos=-«

48

所以sinA=sin(Z5DC-ZABD)

=sinZBDC-cosZABD-cosZBDCsinZABD

71457272714币

xx=

4---84-------8-----4

因为AB=2OC=2,所以三角形ABC的面积

S=-/1B^CsinA=-x2x2x—=—

2242

11,

(2)S=-AB-AC-sinA=-sinA=

22

,4

所以G=——，

sinA

所以=_L_

(2JsinA

在口ABD中,

由余弦定理得

BD1=AB-+AD2-2AB-40cosA=+———4c°sA5-4cosA

sinAsinAsinAsinA

即BD2sinA+4cosA=-JBD4+16sin(A+^)=5，其中tan(P=

又sin(A+(p)=/<1,

yjBD4+16

即，3£)4+1625,

解得3026，所以5£>的最小值为百.

本题考查余弦定理及三角形的面积公式、三角恒等变换，考查运算求解能力，考查数学

运算核心素养.

18.如图，在四棱锥E—ABC。中，ADVBE,AD//BC,BC=2AD,EA=AB,

BC=2,AC=20，ZACB=45°.

(1)证明；平面BCE_L平面ABE；

(2)若E4LCD,点F在EC上,且而=上反,求二面角A-8尸一。的大小.

2

答案：(1)证明见解析；(2)

(1)利用已知条件及勾股定理的逆定理证得BCJ_平面小，再利用面面垂直的判定

定理即可得证；

(2)由(1)易得£4J_平面ABC。，建立合适的空间直角坐标系，并分别求得平面ABF

和平面8Db的一个法向量即可利用向量法求解二面角的大小.

解：(1)因为AD//BC,所以

在DABC中，由余弦定理得：

AB=7AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB

=^(2A/2)2+22-2X2V2X2X^

=2,

因为AB2+8C2=AC2,所以BC_LAB,

又48口3£=8,所以8CJ_平面/WE,

又BCu平面BCE,所以平面BCE,平面ME；

(2)由(1)可知E4L3C,

又EALCD,BCcCD=C,

所以E4,平面ABC。，

故以A为坐标原点，AD，AB，AE所在直线分别为x,y,z,建立如图所示的

空间直角坐标系，

则A(0,0,0),5(0,2,0),£>(1,0,0),C(2,2,0),£(0,0,2),

丽=(0,2,0),丽=(-1,2,0),反=(2,2,-2),

因为访=」成，

2

所以点而=(1,—1,1),

设平面ABF的法向量为m=(x,y,z),

in-AB=02y=0

则《即《

m-BF=Qx-y+z=0

令z=l，则x=-l,故机=(一1,0,1)，

同理，设平面5DF的法向量为〃=(x',y',z'),

易得1=(2,1,-1),

.----.m-n-3V3

所以。。叱〃〉=丽=万访=1,

易知二面角A—BF—。为锐角，

方法点评：利用向量法求二面角的步骤：

1.建立适当的空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，加=a，必，4)，

后=(%2,%，Z2)：

2.求出平面内线段所在直线的向量式(每个平面求出两个向量)；

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面内所有直线，建立方程组求解可得法向量，然后根

据向量夹角公式计算二面角的余弦值即可.

19.已知抛物线。：>2=2力（〃>0）的焦点为尸，点A（2』）是抛物线内一点，若

该抛物线上存在点E,使得+有最小值3.

（I）求抛物线。的方程；

（II）设直线/：2x—y+4=0,点3是/与）'轴的交点，过点A作与/平行的真线4，

过点A的动直线/,与抛物线C相交于P,Q两点，直线PB,Q8分别交直线4于点”，

N,证明：|4W|=|4V|.

答案：（I）y2=4x；（II）证明见解析.

（I）利用抛物线定义得|功|=|即|,其中点O为点E在准线上的射影，再根据抛物

线定义得出|A£|+|ED|的最小值的表达式，从而求出"的值，即可求解；

（II）由已知条件可求出直线4的方程，再设出直线4的方程并代入抛物线。中化简求

出P,。两点横坐标之间的关系，从而设出直线P6,并与直线《联立求出》的，同理

可得凤，从而可得知+4的表达式，化简可得与+/=2/，即可得证|AM|=|AN|.

解：（I）如图，过点E作抛物线C准线的垂线，垂足为点£>.

根据抛物线定义得但目=|即，

于是|他+|砂|=|A£|+|即，

显然当A,E，。三点共线时，|的+|即有最小值2+，,

所以2+3=3,解得〃=2,

2

所以抛物线C的方程为y2=4X.

（H）证明：直线/:2x—y+4=0,令尤=0,得y=4,

所以点5（0,4）.

因为直线4平行于直线/：2x—y+4=0,

且过点A（2,l）,

所以直线4：2x_y_3=O.

设直线4：无-2=r（y-1）并代入抛物线C的方程消去x得y2-旬，+今—8=0,

△=16（f2T+2）＞0.

设点P&M，Q（w，%），

由韦达定理得）1+%=今，%・%=今一8,

y.—4

易得直线尸8:y=2—x+4,

玉

V--4

直线。5:y=心一x+4

X?

Ix+4,

y

联立

2x-y-3=0,

解得7%7(以+2T)

2玉_y+4(2f-l)y+8-2r

7(/y2+2-r)

同理可得XN

(2r-l)y2+8-2r

7(》+2-f)7(/+2-7)

所以与

+xN(2f—1))+8—2.+(2f—l)/+8_2f

_2《2f-l)y+[(8-26+⑵-1)(2t)]®+>2)+2(2-/)(8-2。x,

Qi)?%+(之-1)(8-2。(％+%)+(8-2f)2

4r-4r+8

=4.

t2-t+2

因为无A=2,

所以XM+XN=2X”即A是"N的中点,

所以=|⑷V|.

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，

可直接使用公式|4B|=xi+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

20.甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人

先分别坐在圆桌的A,B,C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手，

如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮

掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点

2

数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为§,

《且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获

胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手.

(1)求比赛进行了3场且甲晋级的概率；

(2)当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

答案：(1)-；(2)分布列见解析；期望为变.

6144

(1)根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可求解;

（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2,利用独立事件与互斥事件的概率公

式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望.

解：解：（1）甲赢两场，分下面三种情况

①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜

一、，12111111121

概率为：—X—X—X—X—H——X—X—X—X—=—；

232232322318

②第一场甲输，二三场均胜

1112

XXX121nl211c211、1

概率为:2-3-2-3-—x—+—x—+—x—x—x—x—x—+—x—|=一；

2323)2323U323)18

③第一场甲胜，第二场输，第三场胜

1211c211、1112c21111

概率为:

2323(2323J2323(2323)18

由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了3场且甲晋级的概率为:

1111

--1--1--=-

1818186

（2）依题意X的所有可能取值为0，1,2

由(1)知P(X=2)=L

6

当比赛进行了3场后结束，甲获胜的场数为X=0时,

分两种情况:

11111121111

3场比赛中甲参加了1场，输了，概率为:—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=——

232222322216

3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为:

1111121211111

—X—X—X—X—X——|——X—X—X—X—X—=——

23222323222336

3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.

1113

所以P(X=0)=—+—=——,

1636144

131107

故尸(X=l)=l••尸(X=0)—P(X=2)=l-------=——,

1446144

故X的分布列为

X012

131072

P

1441446

EL八八八13,107c1155

贝UE(X)=0x---nix---F2x■———---.

1441446144

本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、运算求解能力，考

查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养.

21.已知函数/(x)=(l+x)ln(l+x)-<zx2-(2a+l)x,aeR.

(1)若/(尤)在定义域内是减函数，求。的最小值；

(2)若/(x)有两个极值点分别是王，招，证明：Xi+x2>--2.

a

答案：(1)—；(2)证明见解析.

2e

⑴利用函数/a)在定义域内是减函数等价于r(x)vo在(T+s)上恒成立，参变

分离后，即可求。的最小值；

(2)令〃(x)=ra),利用导数可求得〃(％)的单调性；令

/77（JC）---2-xx>———1，可求得加(x)>0,得到加(x)单调递增,

a八2a

可得//(无2)>〃]—2—x2j,置换为—2—x2j,由〃(x)在[-I,]--1

上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.

解：⑴/(冷定义域为(一1,+00),/,(x)=In(l+x)-2cz(x+l),

在定义域内是减函数，.•./'(x)WO在(T笆)上恒成立，

即ln(l+x)-2a(x+l)<0,2a十",

1+x

令g(x)=+,则g'(x)=―/[()，令g'(x)=。，解得：x=e-l,

''l+x(1+x)

.,.当时，g<x)>0；当xe(e-l,+8)时，g'(x)<0；

.••8(力在(-1,6—1)上单调递增，在(e-l,+«>)上单调递减，

・••g(x)2=g(e-l)W，，2a2g(x)M=，，解得:a>j-,

的最小值为」

2e

(2)由(1)知：若/(另有两个极值点，则

令/z(x)=/'(x)=ln(l+x)-24(x+l),则/(x)=----2cl=_~~土],

X+1X-+1

令〃'(工)=0,解得：x=———1,

.二当1,^—“时，〃'(x)>0；当xw|—1,+8)时，/z'(x)<0；

二.力⑺在一1,」--1］上单调递增，在上单调递减,

2a)(2Q)

不妨设则一1<当-1<工2；

2a

令袱x)=--2-x||x>———1

tn(x\=------7------\—4。>------------------T--4a=0

Q(l+x)1-xjl+x+——\-x

7

/.m(工2)=//(x2)-/z^--2-X2J>0,即力(工2)>-2-x2j,

又〃(玉)=〃(/)=0，*,*力(玉)>〃(工_2_工2)，

1I1I1I

x>>----,-1<—1-x<----1，

2a-Ia92a

又引£(-1,五一1),〃