2022年广东省茂名市那务中学高三数学理期末试题含解析

2022年广东省茂名市那务中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集I={0，1，2，3}，集合A={1,2}，B={2，3},则A∪（CIB）=（

）A、{1}B、{2,3}C、{0,1,2}D、{0,2,3}参考答案：C2.复数z满足，则A. B. C. D.参考答案：A3.已知，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.已知是虚数单位，则等于A. B. C. D.参考答案：A，选A.5.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足＝2，＝2+，则下列结论正确的是（）A．||＝1 B．⊥ C．?＝1 D．（4+）⊥参考答案：D试题分析：,,．由题意知．．．故D正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直．6.设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x2．又函数g（x）=|sin（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．9参考答案：A【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件判断函数f（x）的周期性，令h（x）=0，得g（x）=f（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象，利用图象判断两个函数的交点个数即可得到结论．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），∴f（x）=f（2﹣x）=f（x﹣2），即函数是偶函数，且函数是周期为2的周期数列，设x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，则f（x）=f（﹣x）=（﹣x）2=x2，即f（x）=x2．x∈[﹣1，1]，由h（x）=g（x）﹣f（x）=0，则f（x）=g（x），∵g（x）=|sin（πx）|，∴在坐标系中作出函数f（x），g（x）的图象如图：由图象可知，两个图象的交点个数为6个，故函数h（x）=g（x）﹣f（x）在区间[﹣1，3]上零点的个数为6个，故选：A【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合转化为两个函数的图象交点个数是解决本题的关键．7.下列说法正确的是（

）A．函数的图像关于对称.

B.将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍后得到.

C.命题都是假命题，则命题“”为真命题.

D.，函数都不是偶函数.参考答案：A8.已知向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则|+|的最小值为（）A． B．5 C．2 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先求出+的坐标然后利用坐标表示出它的模的平方，进一步用二次函数配方求最小值．【解答】解：向量=（2，1）和=（x﹣1，y）垂直，则+=（x+1，y+1），又向量和垂直，?=2（x﹣1）+y=0，即y=﹣2x+2；所以|+|2=（x+1）2+（y+1）2=5x2﹣10x+10=5（x﹣1）2+5，所以x=1时，|+|的最小值为；故选A．【点评】本题考查了向量的坐标运算、垂直的性质以及利用二次函数求最值．9.在四面体中，，，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B.

考点：1.二面角；2.空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.10.如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，让△ADE以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知四棱柱中，侧棱底面ABCD，且，底面ABCD的边长均大于2，且，点P在底面ABCD内运动，且在AB，AD上的射影分别为M，N，若|PA|=2，则三棱锥体积的最大值为______．参考答案：12.若x、y满足条件，则z=x+3y的最大值是

.参考答案：1113.已知函数，若,则正数a的取值范围是_______．参考答案：a＞0，f（x）=x+alnx，,∴f（x）在上单调递增，不妨设则，，，即，∴，即在上单调递增∴,即，又故14.设＝，＝，且∥，则锐角的大小为

；参考答案：15.，当，则a的取值范围是

参考答案：16.在中，，，，则

；

.参考答案：17.如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围_____________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，.（1）若，求的值；（2）若，，求的值.参考答案：解：（1）由可知，，所以，所以.（2）由可得，，即，①又，且②，由①②可解得，，所以.

19.已知点A、B的坐标分别为（1，0），（2，0），若二次函数的图像与线段AB只有一个交点，则的取值范围是。参考答案：____略20.（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．（1）求与；（2）证明：．参考答案：详见解析【知识点】数列综合应用解：（1）设的公差为，因为所以解得或（舍），．

故，．

（2）因为，所以．

故

．

因为，所以，于是，

所以．即．21.（本小题满分12分)已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在的最大值．参考答案：【解】：（Ⅰ）．………5分（Ⅱ）．………………9分∵，∴，∴当，即时，取得最大值．……12分

略22.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=（1）求角C的大小，（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．【解答】解：（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，∴由正弦定理化简已知等式得：=，整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，∵sinA≠0，∴cosC=﹣，∵C为三角形内角，∴C=；（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab