2022-2023学年山东省潍坊市曹家庄子弟中学高二数学文月考试卷含解析

2022-2023学年山东省潍坊市曹家庄子弟中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于 A． B． C． D．参考答案：A2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．(0,+∞) B．(0,2) C．(0,1) D．(1,+∞)参考答案：C3.如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP'，由余弦定理求出∠P′OP=．求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得cos∠P′OP==﹣，∴．设底面圆的半径为r，则有，解得r=．∴这个圆锥的高为h==，这个圆锥的体积为V====．故选：C．4.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（

）A.－6

B.－8

C.－10

D.－12参考答案：A5.在正方体

A

B

C

D参考答案：D略6.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为线段CD上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则点K形成轨迹的长度为

.

A．

B．2

C．

D．参考答案：D将沿折起，使平面，在平面内过点作，为垂足是在平面上的射影，由翻折的特征知，连接，则，故点的轨迹是以为直径的圆上的一段弧，根据长方形知圆的半径是1，如图，当E与C重合时，AK=，取为的中点，得到是直角三角形，故，，故其所对的弧长为．7.一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF1（为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为 （

）A． B． C． D． 参考答案：C8.已知点P在直径为2的球面上，过点P作球的两两相互垂直的三条弦PA，PB，PC，若，则的最大值为A. B.4 C. D.3参考答案：A【分析】由题意得出，设，，利用三角函数辅助角公式可得出的最大值.【详解】由于、、是直径为的球的三条两两相互垂直的弦，则，所以，设，，，其中为锐角且，所以，的最大值为，故选：A.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查棱长之和的最值，在直棱柱或直棱锥的外接球中，若其底面外接圆直径为，高为，其外接球的直径为，则，充分利用这个模型去解题，可简化计算，另外在求最值时，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角换元的思想来求解。9.若a∈R，则“a＜﹣1”是“|a|＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由|a|＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＜﹣1”是“|a|＞1”的充分不必要条件，故选：A．10.用反证法证明命题：“，若ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是A.a，b都能被5整除 B.a，b都不能被5整除C.a，b不都能被5整除 D.a能被5整除参考答案：B试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．考点：反证法

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.将三位老师分配到4所学校实施精准帮扶，若每位老师只去一所学校，每所学校最多去2人，则不同的分配方法有_____________种（用数字作答）.参考答案：60【分析】分2种情况讨论:三位老师去三所学校；两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，分别求出每一种情况的分配方法数目，由加法原理计算可得结果.【详解】根据题意,分2种情况讨论：若三位老师去三所学校，则有种分配方法；若两位老师一所学校，另一位老师去一所学校，则有种分配方法，所以共有种不同的分配方法，故答案为60.【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.12.设随机变量的分布列为P()=,(k=1,2,3),其中c为常数，则E

.参考答案：略13.已知函数的零点的个数是

个.参考答案：214.在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有

盏灯．参考答案：195【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯．故答案为：195．15.椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F，若∠ABF是直角，则这个椭圆的离心率为_________。参考答案：16.已知函数在点处的切线为l，则直线l、曲线f(x)以及y轴所围成的区域的面积为__________．参考答案：∵f（x）=1﹣2sin2x=cos（2x），f（）=0，∴切点坐标为了（，0）．又f′（x）=﹣2sin2x．∴f′（）=﹣2，切线的斜率k=﹣2，∵切线方程为：y=﹣2（x﹣），即y=﹣2x+，所以直线l、曲线f（x）以及y轴所围成的区域的面积为：.

17.函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；以上正确命题的序号为（写出所有正确的）参考答案：（2）（3）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由新定义，利用导数逐一求出函数y=x3﹣x2+1、y=x2+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，然后结合t?φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．【解答】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，则，，y1=1，y2=5，则，φ（A，B）=，（1）错误；对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，则kA﹣kB=2x1﹣2x2，==．∴φ（A，B）==，（3）正确；对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．故答案为：（2）（3）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数；（I）若＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求的值；（III）若f（x）＜x2在（1，上恒成立，求a的取值范围．参考答案：.解：（I）由题意f（x）的定义域为（0，+∞），且f'（x）=…（2分）∵a＞0，∴f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数…（4分）（II）由（I）可知，f′（x）=．（1）若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴[f（x）]min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍去）…（5分）（2）若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，∴[f（x）]min=f（e）=1﹣（舍去）…（6分）（3）若﹣e＜a＜﹣1，令f'（x）=0得x=﹣a，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数，f（x）在（﹣a，e）上为增函数，∴[f（x）]min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=∴[f（x）]min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=∴a=﹣．…（8分）

略19.（本小题满分8分）一次考试中，要求考生从试卷上的10个题目中任选3道题解答，其中6道甲类题，4道乙类题。（Ⅰ）求考生所选题目都是甲类题的概率；（Ⅱ）已知一考生所选的三道题目中有2道甲类题，1道乙类题，设该考生答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立；用X表示该考生答对题的个数，求X的分布列与数学期望。参考答案：（1）设事件A＝“考生所选题目都是甲类题”。所以。 3分（2）X所有的可能取值为。；。所以X的分布列为：X0123P所以。 8分20.已知数列的前项和为，，满足(1)计算、、、，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明你猜想的的表达式。（13分）参考答案：（1）

猜想（2）①当时，结论显然成立

②假设时结论成立，即

由可知：

即当时结论也成立。

根据①②可知结论对任何都成立略21.某单位决定投资元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价元，两侧墙砌砖，每米造价元，顶部每平方米造价元，试问：（1）仓库面积的最大允许值是多少？（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？参考答案：解：如图，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则有，由题意得，应用二元均值不等式，得 ∴，即，∵，∴，∴．因此，的最大允许值是平方米，取得此最大值的条件是，而，