2022-2023学年浙江省杭州市严州中学梅城校区高三数学理上学期期末试题含解析

2022-2023学年浙江省杭州市严州中学梅城校区高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知实数等比数列公比为，其前项和为，若、、成等差数列，则等于A．

B．1

C．或1

D．参考答案：【知识点】等差数列的性质等比数列前n项和D2D3A解析：因为、、成等差数列，所以，若公比，，所以，当时，可得，整理可得：，故选择A.【思路点拨】根据等差数列的性质列的，当公比，等式不成立，当时，再根据等比数列的求和公式进行化简即可得到，2.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（

）A．向左平移个长度单位

B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位

D．向右平移个长度单位参考答案：C略3.在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于

（A）（B）（C）（D）参考答案：答案：A解析：在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于=，选A。4.一个棱长为6的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（

）A．2

B．3

C．

D．参考答案：D略5.若是锐角，且cos（）=﹣，则sin的值等于（）A．B．C．D．

参考答案：略6.阅读程序框图，若输入m=4，n=6，，则输出a，i分别是（

）A．

B．C．

D．

参考答案：A7.把方程化为以参数的参数方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D

解析：，取非零实数，而A，B，C中的的范围有各自的限制8.集合，则=(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B9.将函数的图像经怎样平移后所得的图像关于点中心对称（

）A。向左平移

B。向左平移

C。向右平移

D。向右平移参考答案：C略10.平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（）A．B．C．12 D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】原式利用二次根式性质化简，再利用完全平方公式展开，利用平面向量的数量积运算法则计算即可得到结果．【解答】解：∵平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，∴|+2|=====2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于

.参考答案：略12.一个与球心距离为的平面截球所得的圆面面积为，则该球的表面积是_________.参考答案：答案：

13.设椭圆的离心率为，则直线与的其中一个交点到轴的距离为

参考答案：14.如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，通过MG和平面EFGH所成角的正切值为，推出=，然后求解即可．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=2，AB=AE=1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF=∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得=，OG=，则MO=．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．15.曲线在交点处切线的夹角是______（用幅度数作答）参考答案：答案：

16.已知向量，满足||=1，||=2，，则向量与向量的夹角为

．参考答案：120°考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：本题是一个求夹角的问题，条件中给出了两个向量的模长，要求夹角只要求出向量的数量积，需要运用，数量积为零，得到关于与数量积的方程，解出结果代入求夹角的公式，注意夹角的范围．解答： 解：∵||=1，||=2，，∴（）=0，∴=0，∴=﹣=﹣1，∴cos＜，＞==﹣，∵＜，＞∈，∴两个向量的夹角是120°，故答案为120°．点评：本题表面上是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模，用数量积列出式子，但是这步工作做完以后，题目的重心转移到求角的问题．注意解题过程中角的范围．17.已知函数的图象与一条平行于x轴的直线有三个交点，其横坐标分别为x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+2x2+x3=．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】作出函数，由图象平移的知识和三角函数的对称性可得x1+x2和x2+x3的值，相加即可．【解答】解：函数的图象，可看作函数y=2sin2x的图象向左平移得到，相应的对称轴也向左平移，∴x1+x2=2（﹣）=，x2+x3=2（﹣）=π，∴x1+2x2+x3=（x1+x2）+（x2+x3）=+π=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数图象的变化和性质，利用对称性是解决问题的关键，属中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱中，，,分别是,的中点．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面平面．参考答案：（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析试题解析：证明：（1）因为,分别是,的中点，所以，

...............2分又因为在三棱柱中，，所以.

...............4分又平面，平面，所以∥平面.

...............6分（2）在直三棱柱中，底面，又底面，所以.

...............8分又，，所以，

...............10分又平面，且，所以平面.

...............12分又平面，所以平面平面．

...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明平面，类似给分）考点：线面平行判定定理，面面垂直判定定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19.（本小题满分12分）新生儿评分，即阿氏评分是对新生儿出生收总体状况的一个评估，主要从呼吸、心率、反映、肤色、肌张力这几个方面平分，满10分者为正常新生儿，评分7分以下的新生儿考虑患有轻度窒息，大部分新生儿的评分多在7-10分之间，某市级医院产科对1月份出生的新生二随机制取了16名，以下表格记录了他们的评分情况。（1）现从16名新生儿随机抽取3名，至多有1名评分不低于9分的概率；（2）以这16名新生二数据来估计本年度的总体数据，若从本市本年度新生二中任选3名，记X表示抽到评分不低于9分的新生儿数，求X的分布列及数学期望。参考答案：（1）；（2）分布列见解析；．（1）设表示所抽取3名中有名新生儿评分不低于9分，至多有1名评分不低于9分记为事件，则．……………5分（2）由表格数据知，从本本市年度新生儿中任选1名评分不低于9分的概率为，………6分则由题意知的可能取值为0，1，2，3．；；；．……………9分所以的分布列为0123……………10分由表格得．（或）……………12分20.（本小题满分12分）已知数列是等差数列，为的前项和，且，；数列对任意，总有成立.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）设的公差为，则解得，所以

………3分所以……①当……②①②两式相除得因为当适合上式，所以………………6分（Ⅱ）由已知，得则………7分当为偶数时，

………………9分当为奇数时，

……………11分综上：…………12分21.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为{x|≤x≤}，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过若，若，若，化简不等式求出解集，利用已知条件，求解a，b．（2）由（1）知a=1，b=2，求出绝对值的最值，得到m2﹣3m+5≤3，然后求解实数m的最大值．【解答】解：（1）若，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得，即；若，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即；若，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得，即；综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m+5≤3，m2﹣3m+2≤0，所以1≤m≤2，即实数m的最大值为2．22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）将t参数消去可得直线l的普通方程，根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2带入圆C可得直角坐标系方程；（Ⅱ）利用弦长公式直接建立关系求解即可．【解