2022-2023学年广东省清远市民安中学高三数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省清远市民安中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在[0，+∞）上单调递减，若关于x的不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）在x∈[1，3]上恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]参考答案：D【考点】函数恒成立问题．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围．【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，∴函数f（x）为偶函数，∵函数数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（2mx﹣lnx﹣3）≥2f（3）﹣f（﹣2mx+lnx+3）对x∈[1，3]恒成立，即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈[1，3]恒成立，即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈[1，3]恒成立，即2m≥且2m≤对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=，则g′（x）=，在[1，e）上递增，（e，3]上递减，∴g（x）max=．令h（x）=，h′（x）=＜0，在[1，3]上递减，∴h（x）min=．综上所述，m∈[，]．故选D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．2.已知椭圆与x轴负半轴交于点C，A为椭圆第一象限上的点，直线OA交椭圆于另一点B，椭圆的左焦点为F，若直线AF平分线段BC，则椭圆的离心率等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A【知识点】椭圆【试题解析】设AF交BC于点M，设右焦点为G，

由椭圆的对称性知：A，B关于原点对称，所以MF//BG．

因为M是BC的中点，所以F是CG的中点，

所以a-c=2c，即a=3c，所以

故答案为：A3.这三个数之间的大小顺序是

（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：C4.已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，+∞） B． [，+∞） C． （﹣∞，] D． （﹣∞，1）参考答案：考点： 函数零点的判定定理．专题： 计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析： 画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），运用导数，求出切线的斜率，再由图象观察即可得到k的取值范围．解答： 解：函数f（x）=，画出f（x）的图象，函数g（x）=f（x）﹣kx有零点，即为y=f（x）的图象和直线y=kx有交点，作出直线y=kx，由图象观察k≤0，直线和曲线有交点，设直线y=kx与曲线y=log2x相切的切点为p（m，n），由于（log2x）′=，即切线的斜率为=k，又n=km，n=log2m，解得m=e，k=，则k＞0时，直线与曲线有交点，则0＜k，综上，可得实数k的取值范围是：（﹣∞，]．故选C．点评： 本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和运用，考查数形结合的思想方法，考查运用导数求切线的斜率，属于中档题．5.如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知a＞0,且a≠1,f(x)=,当x∈时,均有,则实数a的取值范围是(

)A． B．

C．

D．参考答案：C略7.命题：函数是幂函数，则函数的图象不经过第四象限．那么命题的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是（）A.2

B．3

C．1

D．0参考答案：A8.执行如图所示的程序框图，如输入的值为1，则输出的的值为（

）

A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B.9.已知点，O是坐标原点，点P（x，y）的坐标满足，设z为在上的投影，则z的取值范围是(

) A． B．[﹣3，3] C． D．参考答案：B考点：简单线性规划．专题：常规题型．分析：先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求范围，只需求出向量和的夹角的余弦值的取值范围即可，从而得到z值即可．解答： 解：==，∵，∴当时，=3，当时，=﹣3，∴z的取值范围是[﹣3，3]．∴故选B．点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础，纵观目标函数包括线性的与非线性，非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得规划问题得以深化．10.已知集合（

）A． B． C． D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如右图所示.若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为__________．参考答案：略12.函数的定义域是．参考答案：13.平面向量的夹角为，，则____________．参考答案：略14.已知平面向量=（2，1），=（m，2），且∥，则3+2=．参考答案：（14，7）【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据平面向量平行的坐标表示，求出m的值，再计算3+2即可．【解答】解：∵向量=（2，1），=（m，2），且∥，∴1?m﹣2×2=0，解得m=4，∴=（4，2）；∴3+2=（6，3）+（8，4）=（14，7）．故答案为：（14，7）．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与向量平行和线性运算问题，是基础题目．15.在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c，若，则角A=

。参考答案：或由正弦定理可知，即，所以，因为，所以,所以或。16.已知是函数的两个零点，，则的取值范围是.参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系．B9解析：令f（x）=0，则，作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又f（）＜0，f（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞．故答案为：（，1）．【思路点拨】作出和在R上的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且，再结合零点存在定理，可得结论．17.设关于x的不等式的解集中整数的个数为,数列的前n项和为,则的值为_____▲______.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知F（1，0），过点A（﹣1，t）作y轴的垂线，与线段AF的垂直平方分线交于点M，点M的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）自直线y=2x+3上的动点N作曲线E的两条切线，两切点分别为P，Q，求证：直线PQ经过定点．参考答案：【考点】轨迹方程．【分析】（I）由中垂线的性质可知MF=MA，故而E为以F为焦点的抛物线；（II）设N（x0，y0），过N点的直线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立抛物线方程，令△=0得出切点P，Q坐标及m1，m2的关系，代入两点式方程化简即可得出直线PQ的定点坐标．【解答】解：（I）∵M在AF的中垂线上，∴|MA|=|MF|，∵M在直线y=t上，∴|MA|等于M到直线x=﹣1的距离．∴M的轨迹为以点F（1，0）为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线．∴曲线E的方程为y2=4x．（II）设N（x0，y0），过N的切线方程为x=m（y﹣y0）+x0，联立方程组，得y2﹣4my+4my0﹣4x0=0．∵直线与抛物线相切，∴△=16m2﹣16my0+16x0=0，即m2﹣my0+x0=0．∴m1+m2=y0，m1?m2=x0．∴方程组的解为y=2m，x=m2．设P（m12，2m1），Q（m22，2m2）．则直线PQ的方程为：=，∴（m1+m2）（y﹣2m1）﹣2（x﹣m12）=0．即（m1+m2）y﹣2m1m2﹣2x=0．∴y0y﹣2x0﹣2x=0．∵N（x0，y0）在直线y=2x+3上，∴y0=2x0+3．∴直线PQ方程为2x0y+3y﹣2x0﹣2x=0．∴当y=1时，x=．∴直线PQ过定点（，1）．19.如图所示，在三棱锥中，平面，分别为线段上的点，且.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.参考答案：（1）证明：由平面，平面，故由，得为等腰直角三角形，故，又，故平面.（2）由（1）知，为等腰直角三角形，，过作垂直于，易知，又平面，所以，，设点到平面的距离为，即为三棱锥的高，由得， 即，所以，所以到平面的距离为.20.（本小题满分14分）

设函数．

（1）若在处的切线与直线平行，求的值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若函数的图象与轴交于两点，线段中点的横坐标为，

求证：．参考答案：（1）;（2）时，在上单调递增,②时，单调递增区间为，递减区间为（3）见解析（1）由题知的定义域为，且．又∵的图象在处的切线与直线平行，∴，即解得………4分（2），由，知>0．①当时，对任意，在上单调递增。②当时，令，解得，当时，，当时，，此时，的单调递增区间为，递减区间为……9分（3）不妨设，且，由（2）知，则要证成立，只需证：即．∵，，两式相减得：，即，∴，故只需证，即证明，即证明，变形为，设，令，则，显然当时，，当且仅当时，=0，∴在上是增函数．

又∵，

∴当时，总成立，命题得证．…14分21.如图所示，等腰△ABC的底边AB=6,高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点.点F在BC边上，且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.记,用表示四棱锥P-ACFE的体积.（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）当x为何值时,取得最大值？(Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值参考答案：(Ⅰ)即;

(Ⅱ),时,

时,

时取得最大值.(Ⅲ)以E为空间坐标原点,直线EF为轴,直线EB为轴,直线EP为轴建立空间直角坐标系,则;

,设异面直线AC与PF夹角是略22.（本小题满分12分）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小2.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点。以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化