2022年广西壮族自治区南宁市第九中学高三数学理测试题含解析

2022年广西壮族自治区南宁市第九中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为

（

）

A．45.606

B．45.6

C．45.56

D．45.51参考答案：B2.在数列中，如果存在非零常数T，使得

对任意正整数m均成立，那么就称为周期数列，其中T叫做数列的周期。已知数列满足，且

当数列周期为3时，则该数列的前2009项的和为(

)A.

1340

B.

1342

C.

1336

D.1338参考答案：D3.若函数在上的导函数为，且不等式恒成立，又常数满足，则下列不等式一定成立的是（）。A．

B．

C．

D．.参考答案：A知识点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．解析：解：令，则；

又∵，∴；∴函数在上是增函数．

又∵，∴，即，∴．

故选：A.思路点拨：构造，求，利用利用导数判定g（x）的单调性，可以得出结论．4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力5.设曲线y＝x2＋1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝g（x）cosx的部分图象可以为

（

）

参考答案：A略6.如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是（

）A.在区间(－2,1)内是增函数 B.在(1,3)内是减函数C.在(4,5)内是增函数

D.在x=2时,取到极小值参考答案：C7.已知，则

A．

B．

C．

D．以上都不对参考答案：A8.在复平面内，与复数对应的点位于（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限参考答案：D【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位置.9.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣1，3]时，f（x）=，其中t＞0，若方程f（x）=恰有3个不同的实数根，则t的取值范围为（）A．（0，） B．（，2） C．（，3） D．（，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的周期性．【分析】确定f（x）的周期为4，x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），再利用t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，可得t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2，即可求出t的取值范围．【解答】解：由f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），故f（x）的周期为4，∵x∈（1，2）时，f（x）=t（x﹣1），x∈（2，3）时，f（x）=t（3﹣x），∴x∈（5，6）时，f（x）=t（x﹣5），x∈（6，7）时，f（x）=t（7﹣x），∵t＞0，f（x）=恰有3个不同的实数根，∴t（2﹣1）＞，t（6﹣1）＜2∴2＞t＞，故选：B．10.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P．若PF1⊥PF2，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设P（x，y），通过联立直线PF2的方程、直线PF1的方程及双曲线方程，计算即可．【解答】解：如图，设P（x，y），根据题意可得F1（﹣c，0）、F2（c，0），双曲线的渐近线为：y=x，直线PF2的方程为：y=（x﹣c），①直线PF1的方程为：y=﹣（x+c），②又点P（x，y）在双曲线上，∴﹣=1，③联立①③，可得x=，联立①②，可得x=?c=，∴=，∴a2+a2+b2=2b2﹣2a2，∴b2=4a2，∴e=====，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中，，AB=2，AC=1，E，F为BC的三等分点，则=________．参考答案：12.函数f(x)＝在[2,3]上的最小值为________最大值为________．参考答案：13.测量地震的里氏级别是地震强度（即地震释放的能量）的常用对数.2008

年汶川大地震的级别是里氏8级，1960年智利大地震的强度是汶川大地震的强度的8倍，则智利大地震的里氏级别是____________级.（取）参考答案：8.9略14.已知向量．若为实数，，则的值为

．参考答案：，因为，所以，解得。15.已知正实数a，b满足，则ab的最大值为．参考答案：2﹣【考点】基本不等式．【分析】根据题意，可以将ab转化可得ab=+，令=t，则ab又可以变形为ab=1+，再令u=t﹣1，ab进一步可以变形为ab=1+，利用基本不等式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，由于，则ab=ab（）=+=+；令=t，则ab=+=+===1+，令u=t﹣1，t=u+1；ab=1+=1+=1+≤1+=2﹣；即ab的最大值2﹣；故答案为：2﹣．16.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，

圆p=4sin的圆心到直线的

距离是______。参考答案：17.函数y＝－(x－3)|x|的递减区间是__________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）等比数列的各项均为正数，且(1)求数列的通项公式.(2)设求数列的前项和.参考答案：(1)设数列的公比为，则由

，····························4分····························6分

（2）∵∴····························9分

∴所以，数列的前项和为····················12分19.已知椭圆，是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，点C在第一象限，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B，若的平分线总是垂直于x轴，问是否存在实数，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求取得最大值时的PQ的长．参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据所给向量间的关系求出点的坐标，又由得出半长轴，再将点的坐标代入椭圆方程解出，则可得椭圆方程；（2）由题意可得，设，则，将的直线方程与椭圆联立解得的坐标，进而得到的坐标，从而由斜率公式求得，证得，可得存在实数符合题意，先利用基本不等式求得，再求出的最大值.【详解】（1）∵，∴，∵．即，∴是等腰直角三角形，∵，∴，而点在椭圆上，∴，，∴，∴所求椭圆方程为．（2）对于椭圆上两点，，∵的平分线总是垂直于轴，∴与所在直线关于对称，，则，∵，∴的直线方程为，①的直线方程为，②将①代入，得，③∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴，以替换，得到．∴，∵，，，弦过椭圆的中心，∴，，∴，∴，∴，∴存实数，使得，，当时，即时取等号，，又，，∴取得最大值时的的长为．【点睛】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.20.(13分)如图，已知点和圆AB是圆O的直经，从左到右M、O和N依次是AB的四等分点，P(异于A、B)是圆O上的动点，交AB于D，，直线PA与BE交于C，|CM|+|CN|为定值.（1）求的值及点C的轨迹曲线E的方程；（2）一直线L过定点S（4,0）与点C的轨迹相交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，连接Q1与R两点连线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．参考答案：(1)（2）【知识点】椭圆及其几何性质H5(1)易得，，，设则直线PA与BE交于C，故，①且，②

①②相乘得又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故即，要使为定值，则解得此时即时，点C的轨迹曲线E的方程为（2）联立消得，即设Q(），，则由韦达定理有直线的方程为令，得将（1），（2）代人上式得，又

=

==18=18当时取得。【思路点拨】①且，②

①②相乘得又因为点P(异于A，B)是圆O上的动点，故求得结果，联立消得，即设Q(），，则由韦达定理有再由均值不等式求出。21.（文）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，AB=3，SA=4（1）求异面直线SC与AD所成角；（2）求点B到平面SCD的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由已知BC∥AD，∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，由此能求出直线SC与AD所成角．（2）利用等体积可求点B到平面SCD的距离．【解答】解：（1）∵BC∥AD，∴∠SCB就是异面直线SC与AD所成角，∵SA⊥BC，BC⊥AB，SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥SB，Rt△SBC中，SB=5，BC=3，∴tan∠SCB=，∴直线SC与AD所成角为arctan．（2）连接BD，设点B到平面SCD的距离为h．∵VS﹣BCD=VB﹣SCD，∴=，∴，∴h=，∴点B到平面SCD的距离为．【点评】本题考查直线与直线所成角的求法，考查几何体的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．22.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）设是f(x)的极值点，求m的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求k的取值范围；（Ⅲ）当时，证明：

参考答案：解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1．经检验m=1

符合题意……………2分（Ⅱ）由（Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）．∵

………………4分

设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数，

又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0．

所以f