2022年重庆万州国本中学高三数学理月考试题含解析

2022年重庆万州国本中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示,网格纸上的小正方形边长为1,则此几何体的外接球的表面积为(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】由三视图可还原得到三棱锥，三棱锥可放在如图底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E，F为棱中点，设O为三棱锥外接球的球心，分别为点Q在平面ABCD，平面ECD的投影.由于都为等腰三角形，故分别在中线FG，EG上.构造直角三角形可求解得到，结合即得解.【详解】由题设中的三视图，可得该几何体为如下图所示的三棱锥，放在底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱中，E，F为棱中点，取G为CD中点，连接GF，GE.设O为三棱锥外接球的球心，分别为点O在平面ABCD，平面ECD的投影.由于都为等腰三角形，故分别在中线FG，EG上.由于，在中，设；同理在中，设，外接球半径故外接球的表面积故选：B【点睛】本题考查了三视图和三棱锥的外接球，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.2.在，则A． B． C． D．参考答案：C3.函数y=sinx﹣的图象大致是（）A． B．C． D．参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，通过函数的导数，判断函数的单调性，利用特殊函数值判断图象即可．【解答】解：函数y=sinx﹣是奇函数，排除D，函数y′=cosx+，x∈（0，）时，y′＞0，函数是增函数，排除A，并且x=时，y=1﹣＞0，排除C，故选：B．4.已知：命题“,”；命题“”，则下列命题正确的是（

）A．命题“”是真命题

B．命题“”是真命题

C.命题“”是真命题

D．命题“”是真命题参考答案：B5.．函数f（x）=—cosx在[0，+∞）内

A．没有零点

B．有且仅有一个零点

C．有且仅有两个零点

D．有无穷多个零点参考答案：B本题考查了函数的零点以及利用数形结合处理问题的能力，难度中等。

由得，画出和的图象，则两个函数的图象有一个交点，因此函数有且仅有一个零点，故选B。6.已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则一定成立的是

（

） A． B． C． D．参考答案：A略7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a=，b=，A=45°，则B=（）A．60° B．30° C．60°或120° D．30°或150°参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理可先求得sinB==sin60°，由a=＜b=，B为三角形内角，即可求得B的值．【解答】解：∵根据正弦定理可知：sinB====sin60°．∵a=＜b=，B为三角形内角∴45°＜B＜180°∴B=60°或120°故选：C．8.已知为自然对数的底数，设函数，则A．是的极小值点 B．是的极小值点C．是的极大值点 D．是的极大值点参考答案：B

9.已知椭圆=1（a＞b＞0）的左，右焦点为F1，F2，离心率为e．P是椭圆上一点，满足PF2⊥F1F2，点Q在线段PF1上，且．若=0，则e2=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意求得P点坐标，根据向量的坐标运算求得Q点坐标，由=0，求得b4=2c2a2，则b2=a2﹣c2，根据离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：PF2⊥F1F2，则P（c，），由，（xQ+c，yQ）=2（c﹣xQ，﹣yQ），则Q（，），=（2c，），=（﹣，），由=0，则2c×（﹣）+×=0，整理得：b4=2c2a2，则（a2﹣c2）2=2c2a2，整理得：a4﹣4c2a2+c4=0，则e4﹣4e2+1=0，解得：e2=2±，由0＜e＜1，则e2=2﹣，故选C．10.（5分）若函数f（x）=|ax+x2﹣x?lna﹣m|﹣2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（）A．（﹣1，3）B．（﹣3，1）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）参考答案：A【考点】：函数零点的判定定理．【专题】：计算题；函数的性质及应用．【分析】：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，先讨论a＞1，0＜a＜1求出单调区间，进而判断函数g（x）的极小值，再由y=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有2个根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，即可得到m的取值范围．解：令g（x）=ax+x2﹣x?lna，g′（x）=axlna+2x﹣lna=2x+（ax﹣1）lna，①当a＞1，x∈（0，+∞）时，lna＞0，ax﹣1＞0，则g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，x∈（﹣∞，0）时，lna＞0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减；②当0＜a＜1时，x＞0，lna＜0，ax﹣1＜0，所以g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，当x∈（﹣∞，0）时，lna＜0，ax﹣1＞0，所以g′（x）＜0，则函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．故当a＞0且a≠1时，g（x）在x＜0时递减；g（x）在x＞0时递增，则x=0为g（x）的极小值点，且为最小值点，且最小值g（0）=1．又函数f（x）=|g（x）﹣m|﹣2有两个零点，所以方程g（x）=m±2有二个根，而m+2＞m﹣2，所以m+2＞1且m﹣2＜1，解得m∈（﹣1，3），故选A．【点评】：本题考查函数的零点，用导数判断函数单调性，利用导数研究函数极值，体现了转化的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.正四面体A—BCD的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是△ABC与△ACD的重心，则球O截直线MN所得的弦长为___________．参考答案：正四面体可补全为棱长为的正方体，所以球是正方体的外接球，其半径，设正四面体的高为，则，故，又,所以到直线的距离为，因此球截直线所得的弦长为.12.已知函数，若恒成立，则实数的最小正值为▲

参考答案：13.在100件产品中有90件一等品，10件二等品，从中随机取出4件产品，则至少含1件二等品的概率是____________（结果精确到0.01）参考答案：0.3514.行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为

．参考答案：4【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．15.有以下四个命题：

①中，“”是“”的充要条件；

②不等式在上恒成立；；

③若命题，则

④设有四个函数其中在上是增函数的函数有3个.

其中真命题的序号

.参考答案：①②④略16.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为__________.参考答案：17.已知，若与共线，则

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在长方体中，

，点在棱上移动

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）当为的中点时，求点到面的距离；

（Ⅲ）等于何值时，二面角的大小为

参考答案：解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（Ⅰ）

………4分Ks5u（Ⅱ）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为

………8分（Ⅲ）设平面的法向量，

∴由

令，∴依题意∴（不合，舍去），

∴时，二面角的大小为

………12分19.（本题满分13分）等比数列中，.若，数列前项的和为.

（1）求数列通项

（2）若，求的值；（3）求不等式的解集.参考答案：解：（1）得

(2)由（1）可得是以为首项，２为公差的等差数列.

（3）

，所求不等式的解集为20.已知函数f（x）=x3+ax+2．（Ⅰ）求证：曲线=f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为定值；（Ⅱ）若x≥0时，不等式xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．【专题】分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程，令x=0，即可得证；（Ⅱ）由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，运用导数，求出单调区间和极值、最值，即可得到m的范围．【解答】（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）=x2+a，即有f（1）=a+，f′（1）=1+a，则切线方程为y﹣（a+）=（1+a）（x﹣1），令x=0，得y=为定值；

（Ⅱ）解：由xex+m[f′（x）﹣a]≥m2x对x≥0时恒成立，得xex+mx2﹣m2x≥0对x≥0时恒成立，即ex+mx﹣m2≥0对x≥0时恒成立，则（ex+mx﹣m2）min≥0，记g（x）=ex+mx﹣m2，g′（x）=ex+m，由x≥0，ex≥1，若m≥﹣1，g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）上为增函数，∴，则有﹣1≤m≤1，若m＜﹣1，则当x∈（0，ln（﹣m））时，g′（x）＜0，g（x）为减函数，则当x∈（ln（﹣m），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）为增函数，∴，∴1﹣ln（﹣m）+m≥0，令﹣m=t，则t+lnt﹣1≤0（t＞1），φ（t）=t+lnt﹣1，显然是增函数，由t＞1，φ（t）＞φ（1）=0，则t＞1即m＜﹣1，不合题意．综上，实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【点评】本题为导数与不等式的综合，主要考查导数的应用，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力、化归与转化思想．21.某化工厂生产某种产品，每件产品的生产成本是3元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元(7≤x≤10)时，一年的产量为(11－x)2万件；若该企业所生产的产品全部销售，则称该企业正常生产；但为了保护环境，用于污染治理的费用与产量成正比，比例系数为常数a(1≤a≤3).(1)求该企业正常生产一年的利润L(x)与出厂价x的函数关系式；(2)当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润.

参考答案：略22.（本小题满分13分）已知等比数列{an}的公比，前n项和为Sn，S3＝7，且，，成等差数列，数列{bn}的前n项和为Tn，，其中N*．（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列{bn}的通项公式；（3）设，，，求集合C中所有元素之和．参考答案：（1）∵，∴