高中数学一轮复习考点专题65 直线的方程与性质 (含解析)

PAGE微专题65直线的方程与性质一、基础知识：（一）直线的要素与方程：1、倾斜角：若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴相交，则以SKIPIF1<0轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与SKIPIF1<0重合所成的角称为直线SKIPIF1<0的倾斜角，通常用SKIPIF1<0表示（1）若直线与SKIPIF1<0轴平行（或重合），则倾斜角为SKIPIF1<0（2）倾斜角的取值范围SKIPIF1<02、斜率：设直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的正切值称为直线的斜率，记为SKIPIF1<0（1）当SKIPIF1<0时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）SKIPIF1<0越大，直线越陡峭（5）斜率SKIPIF1<0的求法：已知直线上任意两点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即直线的斜率是确定的，与所取的点无关。3、截距：若直线SKIPIF1<0与坐标轴分别交于SKIPIF1<0，则称SKIPIF1<0分别为直线SKIPIF1<0的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线4、直线方程的五种形式：首先在直角坐标系中确定一条直线有两种方法：一种是已知直线上一点与直线的方向（即斜率），另一种是已知两点（两点确定一条直线），直线方程的形式与这两种方法有关（1）一点一方向：①点斜式：已知直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，直线上一点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0证明：设直线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0，根据斜率计算公式可得：SKIPIF1<0，所以直线上的每一点都应满足：SKIPIF1<0，即为直线方程②斜截式：已知直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，纵截距SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0证明：由纵截距为SKIPIF1<0可得直线与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，从而利用点斜式得：SKIPIF1<0化简可得：SKIPIF1<0（2）两点确定一条直线：③两点式：已知直线SKIPIF1<0上的两点SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0④截距式：若直线SKIPIF1<0的横纵截距分别为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0证明：从已知截距可得：直线上两点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0⑤一般式：由前几类直线方程可知：直线方程通常由SKIPIF1<0的一次项与常数项构成，所以可将直线的通式写为：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不同时为0），此形式称为直线的一般式一般式方程的作用：可作为直线方程的最终结果可用于判定直线的平行垂直关系点到直线距离公式与平行线间距离公式需要用直线的一般式5、五种直线形式所不能表示的直线：（1）点斜式，斜截式：与斜率相关，所以无法表示斜率不存在的直线（即竖直线）（2）截距式：①截距不全的直线：水平线，竖直线②截距为0的直线：过原点的直线6、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）（二）直线位置关系：1、在解析几何中直线的位置关系有三种：平行，相交（包含垂直），重合如果题目中提到“两条直线”，则不存在重合的情况，如果只是SKIPIF1<0，则要考虑重合的情况。2、直线平行的条件（1）斜截式方程：设直线SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②若直线SKIPIF1<0的斜率存在，则SKIPIF1<0（2）一般式方程：设SKIPIF1<0，则①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中至少一个成立，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0（此条件适用于所有直线）3、直线垂直的条件：（1）斜截式方程：设直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（2）一般式方程：设SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<04、一般式方程平行与垂直判定的规律：可选择与一般式方程SKIPIF1<0对应的向量：SKIPIF1<0，即有：SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0的关系即可代表SKIPIF1<0的关系，例如：SKIPIF1<0（注意验证是否会出现重合的情况）SKIPIF1<0（三）距离问题：1、两点间距离公式：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<02、点到直线距离公式：设SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<03、平行线间的距离：SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0（四）对称问题1、中心对称：（1）几何特点：若SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0点中心对称，则SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点（2）解析特征：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0点关于SKIPIF1<0点中心对称的点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<02、轴对称（1）几何特点：若若SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0轴对称，则SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中垂线，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0上（2）解析特征：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则与SKIPIF1<0点关于SKIPIF1<0轴对称的点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可（3）求轴对称的直线：设对称轴为直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的对称直线为SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到对称轴的距离与SKIPIF1<0到对称轴的距离相等②若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，则取SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，求出关于SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0即为对称直线SKIPIF1<0（五）直线系方程：满足某种特征的一类直线组成的集合称为直线系，直线系的方程通常含有参数（以参数的不同取值确定直线）1、平行线系：集合中的直线呈两两平行关系——参数不会影响斜率的取值（1）与直线SKIPIF1<0平行的直线系方程为：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数，且SKIPIF1<0）（2）与直线SKIPIF1<0垂直的直线系方程为：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为参数）2、过定点的直线：（1）若参数的取值影响直线的斜率，则可寻找该直线是否围绕一个定点旋转：即把含参数的项划为一组并提取参数，只需让参数所乘的因式为0即可（2）已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合），则过SKIPIF1<0交点的直线系方程为：SKIPIF1<0（该直线无法表示SKIPIF1<0）3、直线系方程的用途：主要是在求直线方程时可充分利用平行，垂直或过定点的条件，将直线设为只含一个参数的方程，从而在思路上就可围绕如何求参数配置资源，寻找条件解出参数，即可得到所求直线方程二、典型例题：例1：直线SKIPIF1<0的倾斜角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0思路：要求倾斜角（设为SKIPIF1<0），可将直线转化为斜截式得：SKIPIF1<0，所以，即SKIPIF1<0，结合正切的定义以及倾斜角的范围可得：SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：一是要注意由正切值求角时，通过图像判断更为稳妥，切忌只求边界角，然后直接根据角大小写区间。二是要注意倾斜角的取值范围：SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，倾斜角为SKIPIF1<0（而不是SKIPIF1<0）例2：经过SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0与连接SKIPIF1<0的线段总有公共点，则直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围为．思路：直线SKIPIF1<0可视为绕SKIPIF1<0进行旋转，在坐标系中作出线段SKIPIF1<0，即可由图判断出若直线SKIPIF1<0与线段SKIPIF1<0有公共点，旋转过程中的第一条直线与最后一条直线分别为直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由图像可得：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：本题如果没有图像辅助，极易将结果写成SKIPIF1<0，通过观察可得旋转的过程当中，倾斜角不断变大，由锐角变为钝角。从而斜率的值应为正负值之外，而非正负值之间。所以处理此类问题时：一定作图，作图，作图！！例3：若SKIPIF1<0的图象是两条平行直线，则SKIPIF1<0的值是（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的值不存在思路：由平行线可得：SKIPIF1<0可解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，检验是否存在重合情况，将SKIPIF1<0代入直线可得：SKIPIF1<0，符合题意，将SKIPIF1<0代入直线可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0重合，不符题意，所以舍去。综上可得：SKIPIF1<0答案：B小炼有话说：在已知平行关系求参数取值时，尽管在求解时可仅用SKIPIF1<0系数关系，但解出参数后要进行验证，看是否会导致直线重合。例4：已知直线SKIPIF1<0互相垂直，则实数SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0思路：由两直线相互垂直可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0答案：A例5：已知直线通过点SKIPIF1<0，被直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0反射，反射光线通过点SKIPIF1<0，则反射光线所在直线的方程是．思路：本题与物理知识相结合，可知反射光线过已知点在镜面中的虚像（即对称点），所以考虑求出SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0确定反射光线即可。解：设SKIPIF1<0的对称点SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例6：直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0不同时为0）经过定点____思路：直线过定点，则意味着定点坐标使得参数“失去作用”——即无论参数取何值，不会影响表达式的值，能够达到此功效的只有让参数与“0”相乘，所以考虑将已知直线进行变形，将含SKIPIF1<0的项与含SKIPIF1<0的项分别归为一组，可得：SKIPIF1<0，若要让SKIPIF1<0“失去作用”，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即定点为SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：含参数的直线方程要么是一组平行线（斜率为常数），要么考虑过定点，而定点的求解可参照例6的求法。寻找定点是一种意识，即遇到含参数的直线时，便可考虑能否找到定点，从而抓住此类直线的特征（绕定点旋转），有助于解题。例7：已知直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0满足与两点SKIPIF1<0连线的斜率SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之积为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是_________思路：设直线上的点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0需同时满足两个条件：一是符合直线方程，二是保证斜率乘积为3.对于条件一，即SKIPIF1<0，对于条件二，按照斜率计算公式可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0。所以存在满足条件的SKIPIF1<0，等价于方程组SKIPIF1<0有解，所以判别式SKIPIF1<0，可解得SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例8：若不全为零的实数SKIPIF1<0成等差数列，点SKIPIF1<0在动直线SKIPIF1<0上的射影为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则线段SKIPIF1<0长度的最小值是__________思路：从SKIPIF1<0成等差数列可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，方程含参进而考虑寻找定点。SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得定点为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为绕SKIPIF1<0旋转的动直线，对于任意点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离，而SKIPIF1<0的所有位置中，只有SKIPIF1<0过SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0最短，即SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：（1）本题的突破口在于对含参直线SKIPIF1<0的分析，首先对于含参直线要分析出属于平行线系（斜率为定值），还是过定点系（斜率因参数变化而变化），其次对于多参数方程也能够找到定点。（2）本题的SKIPIF1<0均为动点，双动点求最值时，通常固定一个点，分析此点固定时，达到最值时另一个点位置的特征（例如本题中固定SKIPIF1<0，分析出SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0最小），然后再让该点动起来，在动的过程中找到“最值”中的最值。例9：已知SKIPIF1<0的两条高所在直线方程为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程思路：本题并没有说明高线是否过SKIPIF1<0，但可以将SKIPIF1<0带入方程进行验证，可得两条高线均不过SKIPIF1<0，从而寻找确定SKIPIF1<0直线的要素，可连接SKIPIF1<0，由三角形“三条高线交于一点”的性质可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0点可由两条高线解得，从而得到SKIPIF1<0，只需再求得一点即可，观察到SKIPIF1<0为三条直线SKIPIF1<0的公共点，SKIPIF1<0已知，而SKIPIF1<0可求。进而解得SKIPIF1<0的坐标，然后通过SKIPIF1<0和SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的方程解：设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0由“三条高线交于一点”可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0