高中数学一轮复习考点专题49 等差数列性质 (含解析)

PAGE微专题49等差数列性质一、基础知识：1、定义：数列SKIPIF1<0若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称SKIPIF1<0是等差数列，这个常数称为SKIPIF1<0的公差，通常用SKIPIF1<0表示2、等差数列的通项公式：SKIPIF1<0，此通项公式存在以下几种变形：（1）SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0：已知数列中的某项SKIPIF1<0和公差即可求出通项公式（2）SKIPIF1<0：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）SKIPIF1<0：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0称为SKIPIF1<0的等差中项（1）等差中项的性质：若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的等差中项，则有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0（2）如果SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为SKIPIF1<0的等差中项（3）如果SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0注：①一般情况下，等式左右所参与项的个数可以是多个，但要求两边参与项的个数相等。比如SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0不一定成立②利用这个性质可利用序数和与项数的特点求出某项。例如：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，这种做法可称为“多项合一”4、等差数列通项公式与函数的关系：SKIPIF1<0，所以该通项公式可看作SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0递减。5、等差数列前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0，此公式可有以下变形：（1）由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，作用：在求等差数列前SKIPIF1<0项和时，不一定必须已知SKIPIF1<0，只需已知序数和为SKIPIF1<0的两项即可（2）由通项公式SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0作用：①这个公式也是计算等差数列前SKIPIF1<0项和的主流公式②SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是关于项数SKIPIF1<0的二次函数SKIPIF1<0，且不含常数项，可记为SKIPIF1<0的形式。从而可将SKIPIF1<0的变化规律图像化。（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前SKIPIF1<0项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前SKIPIF1<0项和公式入手分析（1）从项的特点看最值产生的条件，以4个等差数列为例：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0通过观察可得：SKIPIF1<0为递增数列，且SKIPIF1<0，所以所有的项均为正数，前SKIPIF1<0项和只有最小值，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0中的项均为负数，所以前SKIPIF1<0项和只有最大值，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0虽然是递减数列，但因为SKIPIF1<0，所以直到SKIPIF1<0，从而前4项和最大，同理，SKIPIF1<0的前5项和最小。由此可发现规律：对于等差数列，当首项与公差异号时，前SKIPIF1<0项和的最值会出现在项的符号分界处。（2）从SKIPIF1<0的角度：通过配方可得SKIPIF1<0，要注意SKIPIF1<0，则可通过图像判断出SKIPIF1<0的最值7、由等差数列生成的新等差数列（1）在等差数列SKIPIF1<0中，等间距的抽出一些项所组成的新数列依然为等差数列例如在SKIPIF1<0，以3为间隔抽出的项SKIPIF1<0仍为等差数列。如何判定等间距：序数成等差数列，则项之间等间距（2）已知等差数列SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则相邻SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0成等差数列（3）已知SKIPIF1<0为等差数列，则有：①SKIPIF1<0为等差数列，其中SKIPIF1<0为常数②SKIPIF1<0为等差数列，其中SKIPIF1<0为常数③SKIPIF1<0为等差数列①②③可归纳为SKIPIF1<0也为等差数列8、等差数列的判定：设数列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0（1）定义（递推公式）：SKIPIF1<0（2）通项公式：SKIPIF1<0（关于SKIPIF1<0的一次函数或常值函数）（3）前SKIPIF1<0项和公式：SKIPIF1<0注：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0从第二项开始呈现等差关系（4）对于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即从第二项开始，每一项都是相邻两项的等差中项二、典型例题：例1：设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_________思路：由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0。而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是各项为0的常数列，考虑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：关于等差数列钱前SKIPIF1<0项和还有这样两个结论：（1）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（本题也可用此结论：SKIPIF1<0，从而利用奇数项和与中间项的关系可得SKIPIF1<0）（2）若SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0例2：已知数列SKIPIF1<0为等差数列，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_______思路：条件与所求都是“SKIPIF1<0”的形式，由SKIPIF1<0为等差数列可得SKIPIF1<0也为等差数列，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的等差中项，从而可求出SKIPIF1<0的值解：SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0也为等差数列SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0例3：设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：已知等差数列两个条件即可尝试求通项公式，只需将已知等式写成关于SKIPIF1<0的方程，解出SKIPIF1<0后即可确定通项公式或者数列中的项解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0思路二：本题还可抓住条件间的联系简化运算。已知SKIPIF1<0，从而联想到SKIPIF1<0可用SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0，所以等式变为：SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0。SKIPIF1<0答案：A小炼有话说：思路一为传统手段，通常将已知两个等式变形为SKIPIF1<0的二元方程，便可求解。但如果能够观察出条件间的联系，往往能通过巧妙的变形简化计算过程。在平时的练习中建议大家多尝试思路二的想法，努力找到条件间的联系，灵活利用等差数列性质进行变形。而思路一可作为“预备队”使用。例4：在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：由SKIPIF1<0观察到SKIPIF1<0的特点，所以考虑数列SKIPIF1<0的性质，由等差数列前SKIPIF1<0项和特征SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而可判定SKIPIF1<0为等差数列，且可得公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0答案：B例5：已知SKIPIF1<0为等差数列，且前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____思路：，所求SKIPIF1<0可发现分子分母的项序数相同，结合条件所给的是前SKIPIF1<0项和的比值。考虑利用中间项与前SKIPIF1<0项和的关系，有：SKIPIF1<0，将项的比值转化为数列和的比值，从而代入SKIPIF1<0即可求值：SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：等差数列中的项与以该项为中间项的前SKIPIF1<0项和可搭建桥梁：SKIPIF1<0，这个桥梁往往可以完成条件中有关数列和与项之间的相互转化。例6：已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则此数列前SKIPIF1<0项和等于（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：求前30项和，联想到公式SKIPIF1<0，则只需SKIPIF1<0。由条件可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：D例7：已知等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为___________思路：条件为相邻4项和，从而考虑作差能解出数列的公差：SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，考虑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0答案：SKIPIF1<0小炼有话说：本题在解题过程中突出一个“整体”的思想，将每一个四项和都视为整体，同时在等差数列中相邻SKIPIF1<0项和的差与公差相关，从而解出公差并求出表达式的值例8：等差数列SKIPIF1<0有两项SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则该数列前SKIPIF1<0项之和为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路：可根据已知两项求出公差，进而求出SKIPIF1<0的通项公式，再进行求和即可解：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0答案：C例9：在等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的值为（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0思路一：考虑从SKIPIF1<0的项出发，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0最大思路二：也可从SKIPIF1<0的图像出发，由SKIPIF1<0可得SKIPIF