2022年广东省湛江市湖光新圩中学高三数学理上学期期末试题含解析

2022年广东省湛江市湖光新圩中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5

B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5

D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20参考答案：A略2.函数的图象是

参考答案：C，根据图象之间的关系可知C正确。3.已知中，分别是角的对边，，则=

A.

B.

C.或

D.

参考答案：B4.已知，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B∵，，故选B.

5.抽气机每次抽出容器内空气的％，要使容器内剩下的空气少于原来的％，则至少要抽（参考数据：，）

（）

A．次

B．次

C．次

D．次

参考答案：D略6.已知函数(为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：B函数与的图象上存在关于轴对称的点，即函数与的图象有交点，即在区间有零点，，故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即在处取得最小值，要与有交点，则需.另一方面，故，，综上所述，实数的取值范围是.

7.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先将函数化简整理，再向左平移，根据平移后图像关于点中心对称，列出等式，即可得出结果.【详解】由题意可得：，将函数图像向左平移个单位后，得到，又平移后图像关于点中心对称，所以，因此，又因为，所以，即，当时，.故选B【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，以及已知对称中心求参数的问题，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.8.函数的图象大致是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】先求出函数的定义域，再利用函数值，即可判断．【解答】解：由1﹣x2≠0，解得x≠±1，∵函数，当x=2时，f（x）＜0，当x=﹣2时，f（x）＞0，当x=时，f（x）＞0，当x=﹣时，f（x）＜0，故选：B．9.经统计,某地的财政收入与支出满足的线性回归模型是(单位:亿元),其中为随机误差,如果今年该地区财政收入10亿元,则年支出预计不超出(

)A.10亿

B.11亿

C.11.5亿

D.12亿参考答案：D10.已知双曲线的左,右焦点分别为F1F2,若双曲线上存在点P,使,则该双曲线的离心率e范围为（

）A.（1,）

B.（1,）

C.（1,]

D.（1,]参考答案：A解:由题意，点不是双曲线的顶点，否则无意义，在中，由正弦定理得，又，即，在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得，即，由双曲线的几何性质，知，即，，解得，又，所以双曲线离心率的范围是，故选A.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线与圆相交于,两点，若，则实数的值是_____．参考答案：12.记Sn为数列{an}的前n项和，若，，则通项公式______.参考答案：【分析】先求出，然后由得，两式相减得，从而由等比数列定义得数列为等比数列.【详解】∵，∴，又，∴，由得，两式相减得，即，而，∴是公比为2的等比数列，∴.故答案为.【点睛】本题考查等比数列的通项公式，解题关键是掌握数列前项和与项之间的关系，即，利用此式得出数列的递推关系，同时要注意此关系式中有，因此要考虑数列的首项与的关系是否与它们一致.13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则

．参考答案：略14.若一个圆锥的母线与底面所成的角为，体积为125π，则此圆锥的高为

．参考答案：5【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，利用体积为125π，建立方程，即可求出此圆锥的高．【解答】解：设圆锥的高为h，则底面圆的半径为h，∵体积为125π，∴=125π，∴h=5．故答案为：5．【点评】本题考查圆锥体积的计算，考查方程思想，比较基础．15.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、俯视图与左视图均是半径为2的圆，则这个几何体的表面积是．参考答案：17π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】几何体是球体切去后余下的部分，球的半径为2，代入球的表面积公式可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体是球体切去后余下的部分，∵球的半径为2，∴几何体的表面积S=（1﹣）×4π×22+π×22=17π．故答案为：17π．【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．16.设数列{an}，（n≥1，n∈N）满足a1=2，a2=6，且（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=2，若[x]表示不超过x的最大整数，则[++…+]=．参考答案：2015【考点】等差数列的通项公式．【分析】构造bn=an+1﹣an，可判数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，累加法可得an=n（n+1），裂项相消法可得答案．【解答】解：构造bn=an+1﹣an，则b1=a2﹣a1=4，由题意可得（an+2﹣an+1）﹣（an+1﹣an）=bn+1﹣bn=2，故数列{bn}是4为首项2为公差的等差数列，故bn=an+1﹣an=4+2（n﹣1）=2n+2，故a2﹣a1=4，a3﹣a2=6，a4﹣a3=8，…，an﹣an﹣1=2n，以上n﹣1个式子相加可得an﹣a1=，解得an=n（n+1），故++…+=2016（++…+）=2016（1﹣+﹣+…+﹣）=2016﹣，∴[++…+]=2015，故答案为：2015．17.以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间[－M,M]。例如，当，时，，。现有如下命题：①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；②函数的充要条件是有最大值和最小值；③若函数，的定义域相同，且，，则④若函数

（，）有最大值，则。其中的真命题有__________________.（写出所有真命题的序号）参考答案：【知识点】命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．【答案解析】①③④解析：解：（1）对于命题①“”即函数值域为R，“，，”表示的是函数可以在R中任意取值，

故有：设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“，，”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数，即存在一个正数，使得函数的值域包含于区间．∴-≤≤．例如：函数满足-2＜＜5，则有-5≤≤5，此时，无最大值，无最小值．∴命题②“函数的充要条件是有最大值和最小值．”是假命题；

（3）对于命题③若函数，的定义域相同，且∈A，∈B，

则值域为R，∈（-∞，+∞），并且存在一个正数M，使得-≤g（x）≤．∴+∈R．则+?B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数（x＞-2，a∈R）有最大值，

∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，→+∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符；

假设a＜0，当x→-2时，→，→-∞，∴→+∞，则→+∞．与题意不符．∴a=0．

即函数=（x＞-2）

当x＞0时，x+≥2，∴，即0＜≤；

当x=0时，=0；

当x＜0时，x+≤?2，∴?≤＜0，即?≤＜0．

∴?≤≤．即．故命题④是真命题．

故答案为①③④．【思路点拨】根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，的最大值是2，其图象经过点．

（1）求的解析式；（2）若，且函数()的图象关于直线对称，求的值．参考答案：解析：（1）因为函数的最大值是2，所以

又函数图象经过点，故，即

由于，所以

所以

…………5分（2）

由其图象关于直线对称，得

所以，即

…………14分19.设函数对其定义域内的任意实数，则称函数为上凸函数．若函数为上凸函数，则对定义域内任意、、，…，都有（当时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：

①是上凸函数；

②二次函数是上凸函数的充要条件是a>0；

③是上凸函数，若是图象上任意两点，点C在线段AB上，且；

④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则的最大值是。

其中，正确命题的序号是

（写出所有你认为正确命题的序号）．参考答案：20.已知函数，.(1)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；(2)证明:方程有且只有一个实数根.参考答案：(1)由题得,函数的定义域为由，得，依题意,得恒成立,所以在区间内恒成立,所以.而,当且仅当,即时，等号成立，故，因此实数的取值范围为.(2)令,即,即，也就是证明函数的图象与直线有且只有一个交点.由，得记,所以令，当时,,在区间内单调递减;当时,,在区间内单调递增，所以当时,有有极小值，故，因此在区间内单调递增，又因为当,且时,,当时,,因此函数的图象与直线有且只有一个交点,故方程有且只有一个实数根.21.（本小题12分）如图，在矩形ABCD中，,P、Q分别为线段AB、CD的中点，（1）求证：（2）求证：（3）若

,求三棱锥的体积参考答案：略22.如图,已知四边形内接于圆O,且是圆O的直径,以点为切点的圆O的切线与的延长线交于点.（I）若，，求的长；（II）若，求的大小.参考答案：解：(Ⅰ)因为MD为的切线,由切割线定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB,