2022年河北省廊坊市阜草中学高三数学理联考试题含解析

2022年河北省廊坊市阜草中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知其导函数的图象如右图，则函数的极小值是 A． B． C． D．c

参考答案：D由导函数的图象知当时，，当时，，所以函数的极小值为，选D.2.设集合，，则（

）A.(0,3]

B.(0,1)

C.(0,1]

D.{1}参考答案：A因，故，应选答案A。3.已知函数，若函数f（x）的零点都在（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A考点：函数的单调性与导数的关系；函数零点的判定定理．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：首先可判断f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；再判断f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，﹣1）上单调递增，从而说明没有零点，从而解得．解答：解：∵，∴f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣﹣﹣…﹣＜0；故在上有零点；f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014，易知f′（1）=1，当x＞0且x≠1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（0）＞0；故f（x）在（0，+∞）上没有零点，当x＜﹣1时，f′（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2014==＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，且f（﹣1）＜0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上没有零点；综上所述，函数的零点都在区间上，故选A．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点的判断，属于基础题．4.（5分）（2015?丽水一模）若某个几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3参考答案：B【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由三视图可得该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，根据标识的各棱长及高，代入棱锥体积公式可得答案．解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，故选：B．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知分析出几何体的形状及各棱长的值是解答的关键．5.设是双曲线的两个焦点,是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为(

)．

A.

B.

C.

D.参考答案：D6.正方体中对角线与平面所成的角大小为（

） A． B． C． D．参考答案：D7.已知等差数列，则的值为A．18

B．16

C．14

D．12参考答案：答案：A8.已知等比数列满足，，则（

）A.2

B.1

C.

D.参考答案：C试题分析：由得.故选C.

9.已知函数，下列命题：①是奇函数；②是偶函数；③对定义域内的任意恒成立；④当时，取得最小值正确的个数有（

）个A.

B.

C.

D.

参考答案：分析的图像知道①错误；②正确；③正确；④错误，∴答案B10.已知，则（）A．

B． C．

D．参考答案：【知识点】指数与指数函数对数与对数函数B6B7【答案解析】A

，则b>a>1,由得0<c<1,所以b>a>c,所以，故选A.【思路点拨】先利用指数函数对数函数性质确定大小，再根据指数函数的单调性求出结果。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.是分别经过A(1,1)，B(0,-1)两点的两条平行直线，当间的距离最大时，直线的方程是

．参考答案：解：当两条平行直线与A、B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．

因为A（-1，1）、B（2，-4），所以，所以两平行线的斜率为，所以直线的方程是，即。12.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心，若GI∥x轴，则的外接圆半径R=

.参考答案：513.若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为__________。参考答案：

解析：

，即14.已知集合，，则________．参考答案：略15.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3,BD=1，

。参考答案：略16.参数方程和极坐标）已知曲线C的极坐标方程为=6sin，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），求直线l被曲线C截得的线段长度

．参考答案：17.等差数列，的前n项和分别为，则参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646（Ⅰ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率．（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为

0123P所以【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．19.（本题14分）设曲线：，表示的导函数。（Ⅰ）求函数的极值；（Ⅱ）数列满足，求证：数列中的任意三项都不能构成等差数列；（Ⅲ）对于曲线上的不同两点，是否存在唯一，使直线的斜率等于？证明的结论。参考答案：解：（Ⅰ）的定义域为，令，得，………2分当时，，所以递增；当时，，所以递减。所以，当时有极大值，无极小值。………4分（Ⅱ）∵，∴，∴，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，∴。………6分ks5u假设数列中的存在三项成等差数列，则，即，∴，∴，∵，∴是偶数，是奇数，矛盾，∴数列中的任意三项都不能构成等差数列。………8分（Ⅲ）存在唯一，使直线的斜率等于。证明如下：的斜率。………9分设函数，则。设函数，则，∴在上递减，∴，即，∵，∴，∴，∴，………11分同理可证，∴在区间内有零点………12分又∵，∴在区间内是增函数∴在区间内有唯一的零点，故存在唯一，使直线的斜率等于。………14分略20.（12分）已知函数f（x）=，函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{an}（n∈N*）（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）根据二倍角公式先化简得到f（x）=tanx，再根据函数零点定理可得x=+kπ，k∈Z，即可得到数列的通项公式，（Ⅱ）化简bn=（﹣），再裂项求和即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）===tanx，∵y=f（x）﹣=0，∴tanx=，∴x=+kπ，k∈Z，∵函数y=f（x）﹣在（0，+∞）上的零点按从小到大的顺序构成数列{an}，∴an=+（n﹣1）π，（Ⅱ）bn====（﹣），∴数列{bn}的前n项和Sn=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=【点评】本题考查了三角函数的化简和函数零点定理以及数列的通项公式和裂项法求前n项和，属于中档题21.已知函数(1)求函数的单调区间；(2)若不等式对任意的都成立，求a的最大值.参考答案：无参函数求单调区间，要多次求导，令，令注意：当时，故f(x)单调递增当时，故f(x)单调递减综上，函数f(x)的单调区间为22.已知数列满足：，，，（Ⅰ）求证：数列为等比数列；（Ⅱ）求使不等式成立的所有正整数