2022-2023学年湖南省株洲市县第一中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年湖南省株洲市县第一中学高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体

A.外接球的半径为

B.体积为

C.表面积为

D.外接球的表面积为参考答案：D略2.函数在（0，2）内零点的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：B3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．9（+1）π+8 B．9（+2）π+4﹣8 C．9（+2）π+4 D．9（+1）π+8﹣8参考答案：D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故该几何体的表面积S=（2π×3）×3+π×32﹣（2）2+4（×8）=9（+1）π+8﹣8．故选：D．4.函数f（x）=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：此函数是一个奇函数，故可排除C，D两个选项；又当自变量从原点左侧趋近于原点时，函数值为负，图象在X轴下方，当自变量从原点右侧趋近于原点时，函数值为正，图象在x轴上方，故可排除B，A选项符合，故选A．5.设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（A），，

（B），，（C），，

（D），，参考答案：D6.函数的图像可能是（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。【详解】当时，，故排除D；由于函数的定义域为，且在上连续，故排除B；由，由于，，所以，故排除C;故答案为A。【点睛】本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法的应用，属于中档题。7.在△中，已知，，分别为，，所对的边，且，，，则等于A．

B．或

C．

D．或

参考答案：D略8.如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影）设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为(

)A．134 B．67 C．182 D．108参考答案：B设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，，则小正方形的边长为，小正方形的面积，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为．9.已知函数在区间[1，2]上单调递增，则a的取值范围是 A．(－∞,5] B．(－∞,5) C． D．(－∞,3]参考答案：A10.设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=(

)A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：A【考点】奇函数；函数的周期性．【专题】计算题．【分析】由题意得

=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知锐角△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A2B2C2的三个内角的正弦值，其中，若，则的最大值为

.

参考答案：12.某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有

．（用数字作答）参考答案：1813.在各项均为正项的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=

．参考答案：4考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求．解答： 解：设等比数列an的公比为q，则{}也是等比数列，且公比为，依题意得：，两式作比得：，即，∵an＞0，∴a3=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．14.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为_________________.参考答案：3略15.已知集合，，若，则实数m=

．参考答案：3,故16.求

的二项展开式中所有项的系数之和等于

．参考答案：656117.(x-2)的展开式中的系数为

.（用数字作答）参考答案：-160三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．参考答案：解析：（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).

∴=3；

当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，

由得

又∵，

∴，

综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.

例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；说明：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).19.（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，可得OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，利用线面垂直的判定与性质可得OO1⊥BC，利用等腰三角形的性质可得：OE⊥BC，即可证明．（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，可得∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，可得，利用设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，sinθ==，即可得出．解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，∴OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC=O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO=OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE=O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．∴=（2，0，﹣m），=（﹣4，4，0），=（2，2，﹣m）．设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=，即=，设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ====，解得m=或m=2，∴VA﹣BOC===或．【点评】：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与等腰梯形的性质、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知曲线C：（1）若点P是直线上任意一点，过P作C的两条切线PE，PF，切点分别为E,F，M为EF的中点，求证：PM轴（2）在（1）的条件下，直线EF是否恒过一定点？若是，求出定点；若不是，说明理由。

参考答案：解：（1）设，…………….2分同理，切线PF的方程为设P代入两条切线方程中，得的两个根……………4分，，M,P两点的横坐标都是则PM轴…………….6分（2）………….8分E，F在直线上，……………10分即恒过点（4，5）……………12分

略21.已知函数．

(Ⅰ)求函数的最小值和最小正周期；（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．参考答案：解：(Ⅰ)

……………………3分∴的最小值为，最小正周期为.

………………5分（Ⅱ）∵

，

即∵

，，∴，∴．

……7分∵

共线，∴．由正弦定理

，

得

①…………………9分∵，由余弦定理，得，

②……10分解方程组①②，得．

…………12分略22.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面三角形ABCD，E是PD的中点（1）证明：直线CE//