第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

第七节立体几何中的向量方法第七节立体几何中的向量方法 1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：直线l上的非零向量a或与a_______的向量叫做直线l的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．

共线 1．直线的方向向量和平面的法向量共线2．利用空间向量求空间角(1)求两条异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则2．利用空间向量求空间角|cos〈a，n〉|

|cos〈a，n〉| ②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是

________________________(如图7－7－1②③)．

二面角的平面角的大小 ②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量 1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？

2．怎样求平面的法向量？

【提示】

不是唯一的．都有无穷多个． 1．直线的方向向量和平面的法向量是唯一的吗？【提示】不 1．(教材改编题)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(

) A．3

B．4

C．5

D．6 【解析】

∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0， ∴t＝5. 【答案】

C 1．(教材改编题)设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是(

) A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1) C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)【答案】

A2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量3．(2012·潍坊模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(

) A．45° B．135° C．45°或135° D．90°【答案】

C3．(2012·潍坊模拟)已知两平面的法向量分别为m＝(0,【答案】

－8【答案】－8

如图7－7－2所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角．

(1)求证：CM∥平面PAD；

(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.利用空间向量判定平行或垂直 如图7－7－2所示，在四棱锥P—ABCD中，PC⊥平面A 【思路点拨】

根据PC，BC，CD两两垂直建系→由PB与平面ABCD所成角求BC→分别确定D，B，A，P，M坐标→求出相应向量→用向量法证明 【思路点拨】根据PC，BC，CD两两垂直建系→由PB与平第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件1．(1)恰当建立坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．(2)解答本题的关键是由PB与平面ABCD所成角求出BC，从而确定相应点的坐标．2．利用空间向量证明平行、垂直问题的优势在于将复杂的推理证明，辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象、演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

如图7－7－3，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点．求证：

(1)DE∥平面ABC；

(2)B1F⊥平面AEF. 如图7－7－3，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，△AB第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件 (2011·北京高考)如图7－7－4，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．【思路点拨】

(1)根据线面垂直的判定和性质定理易证BD⊥平面PAC；(2)由题设条件，以BD与AC的交点为坐标原点建立坐标系；第(3)问根据法向量垂直，求出点P的坐标，进而求|PA|.利用空间向量求线线角和线面角

(2011·北京高考)如图7－7－4，在四棱锥P—ABC第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件利用空间向量求二面角

利用空间向量求二面角第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

如图7－7－7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．(1)求证：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A—A1D—B的余弦值．图7－7－7 如图7－7－7所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

直三棱柱A1B1C1—ABC及三视图如图7－7－8所示，D、E分别为棱CC1和B1C1的中点．图7－7－8(1)求二面角B—A1D—A的余弦值；(2)在AC上是否存在一点F，使EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由．利用空间向量解决开放性问题

直三棱柱A1B1C1—ABC及三视图如图7－7－8所示， 【思路点拨】

(1)以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，结合三视图的数据，求各点及相关向量的坐标；(2)设出点F的坐标，由垂直关系，转化为代数方程求解． 【思路点拨】(1)以点C为坐标原点建立空间直角坐标系，结第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

如图7－7－9所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．图7－7－9 如图7－7－9所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件第七节-立体几何中的向量方法-高考理科数学第一轮基础复习课件

从近两年高考试题看，利用空间向量求空间角是每年高考必考内容，重点考查向量方法的应用，而且从命题趋势看，创新和开放题也是命题的方向，已知空间角，探究点是否存在或者确定点的位置，进而解决问题，这类问题应引起足够重视．

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