2024届一轮复习人教A版 第2章函数思维深化微课堂嵌套函数的零点问题 学案

思维深化微课堂嵌套函数的零点问题高考中针对函数零点的个数或范围这一知识点，常考查分段函数与复合函数的相关问题．对于嵌套函数的零点问题，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．类型一嵌套函数的零点个数判断已知f(x)＝lgx，x>0，2x，x[思维架桥]先解方程2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，再画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与直线y＝12和y＝1的交点个数和就是函数y＝2[f(x)]2－3f(x5解析：由题知直线y＝12与y＝f(x)的图象有2个交点，直线y＝1与y＝f(x)的图象有3个交点．因此函数y＝2[f(x)]2－3f(x嵌套函数零点个数的解题步骤(1)换元解套，转化为t＝g(x)与y＝f(t)的零点．(2)依次解方程，令f(t)＝0，求t，代入t＝g(x)，求出x的值或判断图象交点个数．类型二嵌套函数零点问题中的参数已知函数f(x)＝xex，若关于x的方程[f(x)]2＋mf(x)＋m－1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是A．(－∞，2)∪(2，＋∞)B．1C．1D．(1，e)[思维架桥]利用导数得到函数f(x)的单调性和最值，即可画出大致图象．令t＝f(x)，得到方程t2＋mt＋m－1＝0的根，然后分情况讨论，可得m的范围．C解析：因为f′(x)＝ex-x所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f(x)max＝f(1)＝1e且当x→－∞时f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，且f(x)>0，由此可作出函数f(x)的简图，如图所示．令t＝f(x)，g(t)＝t2＋mt＋m－1，由题意与图可知函数g(t)＝t2＋mt＋m－1有一个零点必在0，1e当g(t)的一个零点为1e，另一个零点在0，此不等式组无解；当g(t)的一个零点在(－∞，0]上，另一个零点在0，1或g0=m-1=0，解嵌套函数零点问题的步骤(1)换元，令t＝f(x)，y＝g(t)，f(x)为“内函数”，g(t)为“外函数”．(2)作图，作“外函数”y＝g(t)的图象与“内函数”t＝f(x)的图象．(3)观察图象进行分析．函数f(x)＝ln-x-1，x<-1，2x+1，x≥-1，[思维架桥]令t＝f(x)，则a＝f(t)．画出函数y＝a和y＝f(t)的图象．由图知a≥－1时，函数y＝a和y＝f(t)的图象有两个交点，设交点坐标为t1，t2，然后根据t1，t2的范围判断t1＝f(x)，t2＝f(x)的解的个数．由此可得a的范围．[－1，＋∞)解析：设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．在同一坐标系内作y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1.当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．1．求解本题要抓住分段函数的图象性质，由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的