2024届福州市重点中学数学高一上期末考试试题含解析

2024届福州市重点中学数学高一上期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列函数中，与函数是同一函数的是（）A. B.C. D.2．若不等式的解集为，那么不等式的解集为（）A. B.或C. D.或3．若函数y=f（x）图象上存在不同的两点A，B关于y轴对称，则称点对[A，B]是函数y=f（x）的一对“黄金点对”（注：点对[A，B]与[B，A]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f（x）=，则此函数的“黄金点对“有（）A.0对 B.1对C.2对 D.3对4．函数的零点个数为A.1 B.2C.3 D.45．=(

)A. B.C. D.6．已知，则函数（）A. B.C. D.7．已知函数,若实数,则函数的零点个数为()A.0 B.1C.2 D.38．若是圆上动点,则点到直线距离的最大值A.3 B.4C.5 D.69．已知，且，则下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.10．如果幂函数的图象经过点，则在定义域内A.为增函数 B.为减函数C.有最小值 D.有最大值二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算____________12．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度至少需要计算的次数是______________13．命题“”的否定是_________.14．在中，，BC边上的高等于,则______________15．给定函数y＝f(x)，设集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}．若对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②；③y＝lgx．其中，具有性质P的函数的序号是_____16．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a－b|＝________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.18．已知.（1）化简，并求的值；（2）若，求的值19．函数的定义域，且满足对于任意,有(1)求的值(2)判断的奇偶性，并证明(3)如果，且在上是增函数，求的取值范围20．设向量，且与不共线（1）求证：；（2）若向量与的模相等，求.21．已知且是上的奇函数，且（1）求的解析式；（2）若不等式对恒成立，求取值范围；（3）把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解？若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】确定定义域相同，对应法则相同即可判断【题目详解】解：定义域为，A中定义域为，定义域不同，错误；B中化简为，对应关系不同，错误；C中定义域为，化简为，正确；D中定义域为，定义域不同，错误；故选：C2、C【解题分析】根据题意，直接求解即可.【题目详解】根据题意，由，得，因为不等式的解集为，所以由，知，解得，故不等式的解集为.故选：C.3、D【解题分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可【题目详解】由题意知函数f（x）=2x，x＜0关于y轴对称的函数为，x＞0，作出函数f（x）和，x＞0的图象，由图象知当x＞0时，f（x）和y=（）x，x＞0的图象有3个交点所以函数f（x）的““黄金点对“有3对故选D【题目点拨】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x＜0时函数f（x）关于y轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键4、C【解题分析】令，得到，画出和的图像，根据两个函数图像交点个数，求得函数零点个数.【题目详解】令，得，画出和的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有个交点，也即有个零点.故选C.【题目点拨】本小题主要考查函数零点个数的判断，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.5、A【解题分析】由题意可得：.本题选择A选项6、A【解题分析】根据，令，则，代入求解.【题目详解】因为已知，令，则，则，所以，‘故选：A7、D【解题分析】根据分段函数做出函数的图象，运用数形结合的思想可求出函数的零点的个数，得出选项.【题目详解】令，得，根据分段函数的解析式，做出函数的图象，如下图所示，因为，由图象可得出函数的零点个数为3个，故选：D.【题目点拨】本题考查函数零点,考查学生分析解决问题的能力,关键在于做出函数的图象，运用数形结合的思想得出零点个数，属于中档题.多选题8、C【解题分析】圆的圆心为(0,3)，半径为1.是圆上动点,则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径即可.又直线恒过定点，所以.所以点到直线距离的最大值为4+1=5.故选C.9、D【解题分析】对A，C利用特殊值即可判断；对B，由对数函数的定义域即可判断，对D，由指数函数的单调性即可判断.【题目详解】解：对A，令，，则满足，但，故A错误；对B，若使，则需满足，但题中，故B错误；对C，同样令，，则满足，但，故C错误；对D，在上单调递增，当时，，故D正确.故选：D.10、C【解题分析】由幂函数的图象经过点，得到，由此能求出函数的单调性和最值【题目详解】解：幂函数的图象经过点，，解得，，在递减，在递增，有最小值，无最大值故选【题目点拨】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、5【解题分析】由分数指数幂的运算及对数的运算即可得解.【题目详解】解：原式，故答案为：5.【题目点拨】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题.12、7【解题分析】设至少需要计算n次，则n满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次13、，【解题分析】根据全称命题的否定形式，直接求解.【题目详解】全称命题“”的否定是“，”.故答案为：，14、.【解题分析】设边上的高为，则，求出，．再利用余弦定理求出.【题目详解】设边上的高为，则，所以，由余弦定理，知故答案为【题目点拨】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.15、①③【解题分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可【题目详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0成立，即具有性质P；故答案为：①③【题目点拨】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题16、【解题分析】|a－b|＝三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】（1）可利用数轴求两个集合的交集；（2）根据子集关系列出不等式组，解不等式组即可【题目详解】（1）（2）因为，所以当时，有，解得，所以实数的取值范围是【题目点拨】解决集合问题应注意的问题：①认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件；②注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误；③防范空集：在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解18、（1），（2）【解题分析】（1）利用三角函数诱导公式将化简，将代入求值即可；（2）利用将变形为，继而变形为，代入求值即可.小问1详解】则【小问2详解】由（1）知，则19、（1）0；（2）偶函数；（3）见解析【解题分析】(1)令，代入，即可求出结果；(2)先求出，再由，即可判断出结果；(3)先由，求出，将不等式化为，根据函数在上是增函数，分和两种情况讨论，即可得出结果.【题目详解】(1)因为对于任意,有，令，则，所以；(2)令，则，所以，令，则，所以函数为偶函数；(3)因为，所以，所以不等式可化为；又因为在上是增函数，而函数为偶函数，所以或；当时，或；当时，或；综上，当时，的取值范围为或；当时，的取值范围为或.【题目点拨】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，以及抽象函数及其应用，常用赋值法求函数值，属于常考题型.20、(1)证明见解析；(2)或.【解题分析】（1）先求出，再计算的值，发现，得。（2）先利用向量的坐标表示求出，的坐标，通过，列方程求出。【题目详解】解：（1）证明：由题意可得，，，.（2）向量与的模相等，，.又，，解得，，又或.【题目点拨】本题考查向量垂直，向量的模的坐标表示，注意计算不要出错即可。21、（1）；（2）；（3）存在，正整数或2.【解题分析】（1）根据，，即可求出的值，从而可求函数的解析式；（2）根据函数的奇偶性和单调性由题意可得到恒成立，然后通过分类讨论，根据二次不等式恒成立问题的解决方法即可求出答案；（3）设等分点的横坐标为，.首先根据，可得到函数的图象关于点对称，从而可得到，；进而可求出；再根