2024届一轮复习人教A版 第2章函数第1节函数及其表示 学案

第一节函数及其表示考试要求：1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的概念函数前提设A，B是两个非空的实数集对应关系f：A→B如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数记法函数y＝f(x)，x∈A2.函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的三要素：定义域、值域和对应关系．4．表示函数的常用方法：列表法、图象法和解析法．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．5．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，称这种函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，有时要分类讨论．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数． (×)(2)对于函数f：A→B，其值域是集合B. (×)(3)f(x)＝x-3+2-(4)若两个函数的定义域与对应关系相同，则这两个函数是同一个函数．(√)(5)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线． (×)2．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}．下面的4个图形中，能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A．①②③④ B．①②③C．②③ D．②C解析：①图象不满足函数的定义域，不正确；②③满足函数的定义域以及函数的值域，正确；④不满足函数的定义．3．已知一次函数f(x)的图象过点(1，0)和(0，1)，则此一次函数的解析式为()A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x＋1D解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则有a+b=0所以a＝－1，b＝1，所以f(x)＝－x＋1.4．函数f(x)＝1x+1＋lnx(0，＋∞)解析：要使函数有意义，需满足x+1≠0，x>0，5．设f(x)＝x，x∈-∞，(－∞，2]解析：因为f(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2].考点1函数的定义域——基础性1．(多选题)下列各组函数是同一个函数的是()A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1B．f(x)＝x－1，g(x)＝xC．f(x)＝x2，g(x)＝D．f(x)＝-x3，g(x)＝AC解析：对于A，f(x)＝x2－2x－1的定义域为R，g(s)＝s2－2s－1的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于B，f(x)＝-x3＝－x-x的定义域为{x|x≤0}，g(x)＝x-x的定义域为{x|x≤0}，对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝xx＝1的定义域为{x|x≠0}，g(x)＝1x0＝1的定义域为{x|x≠0}，定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝x的定义域为R，g(x2．(2022·烟台模拟)函数f(x)＝lnxx-1A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，1) D．(0，1)∪(1，＋∞)B解析：要使函数f(x)有意义，应满足xx-1>0，x≥0，3．已知等腰三角形ABC的周长为10，底边长y关于腰长x的函数解析式为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．{x|x∈R} B．{x|x＞0}C．{x|0＜x＜5} D．xD解析：由题意知x＞0，104．若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，则函数g(x)＝f2x[0，1)解析：因为y＝f(x)的定义域为[0，2]，所以，要使g(x)有意义应满足0≤2x≤2，x-常见函数类型的定义域(1)分式中，分母不为0.(2)偶次方根中，被开方数非负．(3)对于y＝x0，要求x≠0，负指数的底数不为0.(4)抽象函数定义域要注意对应法则下的取值范围.(5)对数式中，真数大于0.考点2求函数的解析式——综合性求下列函数的解析式：(1)已知f(1－sinx)＝cos2x，求f(x)的解析式；(2)已知fx2+1x2＝x4＋1(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式；(4)定义在(－1，1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求f(x)的解析式．解：(1)(换元法)设1－sinx＝t，t∈[0，2]，则sinx＝1－t.因为f(1－sinx)＝cos2x＝1－sin2x，所以f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2].即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2].(2)(配凑法)因为fx2+1x2＝x2+1x22(3)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有a=2，故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)①.又－x∈(－1，1)，以－x代替x得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)②.由①②消去f(－x)得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x求函数解析式的3种方法待定系数法当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个关于f(x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式1．已知f2x+1＝lgx，求f(解：令2x＋1＝t，得x＝2代入得f(t)＝lg2t-1.又x故f(x)＝lg2x-1，2．已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝0，知c＝0，所以f(x)＝ax2＋bx.又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a+b=b+1，a+b=1，解得a＝所以f(x)＝12x2＋12x，x∈3．已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解：由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x.②①×2－②，得3f(x)＝2x+1－2－x，即f(x)＝2x+1故f(x)＝2x+1-2-x考点3分段函数——应用性考向1分段函数求值(1)(2022·浙江卷)已知函数f(x)＝-x2+2，x≤1，x+1x-1，x>137283＋3解析：由已知可得f12＝－122＋2＝74，f74＝74+当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤－x2＋2≤3，所以－1≤x≤1；当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1≤x＋1x－1≤3，所以1<x≤2＋3故1≤f(x)≤3等价于－1≤x≤2＋3，所以[a，b]⊆[－1，2＋3]，所以b－a的最大值为3＋3.(2)设函数f(x)＝x2+2x+2，x≤0，-x2解析：当a>0时，f(a)＝－a2<0，f(f(a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝2(a＝0与a＝－2舍去)；当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f(f(a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝2.求分段函数的函数值的步骤(1)确定要求值的自变量所在区间．(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．提醒：①自变量的值不确定时，必须分类讨论．②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用．③出现f(f(a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．考向2分段函数与方程、不等式(1)(2022·安庆模拟)已知函数f(x)＝x+1，-1＜x＜0，2x，x≥0.若实数a满足A．2 B．4C．6 D．8D解析：由题意得a≥0且－1＜a－1＜0，即0＜a＜1.由f(a)＝f(a－1)，即2a＝a，解得a＝14，则f1a＝(2)设函数f(x)＝12x-1，A．[0，3] B．(－∞，3]C．[0，＋∞) D．[0，1]∪[3，＋∞)A解析：依题意，当x≤1时，由f(x)＝12x-1≤2，得21-x≤2，解得当x>1时，由f(x)＝1-log12x-1≤2，得log2(x－1)≤1，即0<x－1≤2，解得1<x求参数或自变量的值(范围)的解题思路(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．1．设f(x)＝x+3，x>A．16 B．18C．21 D．24B解析：因为f(x)＝x+3，x>10，f2．已知函数f(x)＝2x，x>0，x+1，x－3解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无实数解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件．课时质量评价(六)A组全考点巩固练1．下列集合A到集合B的对应f是函数的是()A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数的平方B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数求平方根C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值A解析：选项B，集合A中元素出现一对多的情况；选项C，D中均出现元素0无对应元素的情况．2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()B解析：A中函数的定义域不是[－2，2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0，2].3．若函数f(x)满足f(1－lnx)＝1x，则fA．12C．1eB解析：方法一：令1－lnx＝t，则x＝e1-t.于是f(t)＝1e1-t，即f(x)＝方法二：由1－lnx＝2，得x＝1e，这时1x＝114．若f(x－1)＝x＋x＋1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)B．f(x)＝x2－1(x≥－1)C．f(x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)D．f(x)＝(x－1)2(x≥－1)C解析：f(x－1)＝x＋x＋1，令t＝x－1≥－1,则x＝t＋1，∴f(t)＝(t＋1)2＋t＋1＋1＝t2＋3t＋3(t≥－1)，∴f(x)＝x2＋3x＋3(x≥－1)．5．已知函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，则f(4)＝()A．16 B．8C．4 D．2B解析：因为f(x＋1)＝2f(x)，且f(5)＝3f(3)＋4，故2f(4)＝32f(4)＋4，解得f6．(2022·北京卷)函数f(x)＝1x(－∞，0)∪(0，1]解析：因为f(x)＝1x+1-x，所以1故函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1].7．记[x]为不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[2.3]＝2.已知函数f(x)＝2x-1，x≥1，x3[－2，3)解析：根据[x]的定义，得f(f(－1.2))＝f(2.44)＝2[2.44]－1＝3.当x≥1时，由f(x)＝2[x]－1≤3，得[x]≤2，所以x∈[1，3)；当x<1时，由f(x)＝x2＋1≤3，得－2≤x<1.故原不等式的解集为[－2，3)．8．(2022·德州二模)设函数f(x)＝x2+1，x≤0，0或e解析：因为函数f(x)＝x2+1，x≤则当a≤0时，a2＋1＝1，所以a＝0；当a＞0时，lna＝1，所以a＝e.综上，a＝0或e.B组新高考培优练9．设x∈R，定义符号函数sgnx＝1，A．|x|＝x|sgnx|B．|x|＝xsgn|x|C．|x|＝|x|sgnxD．|x|＝xsgnxD解析：当x＜0时，|x|＝－x，x|sgnx|＝x，xsgn|x|＝x，|x|sgnx＝(－x)·(－1)＝x，故选D.10．(多选题)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋2D．f(x)＝－2xABD解析：若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．11．设f(x)，g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函数(f·g)(x)：∀x∈R，(f·g)(x)＝f(g(x)).若f(x)＝x，x＞0，xA．(f·f)(x)＝f(x)B．(f·g)(x)＝f(x)C．(g·f)(x)＝g(x)D．(g·g)(x)＝g(x)A解析：对于A选项，(f·f)(x)＝f(f(x))＝fx，