2024届科大附中高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析

2024届科大附中高一上数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.2．函数的图象大致是（）A. B.C. D.3．已知，则A. B.C. D.4．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（）A.18人 B.36人C.45人 D.60人5．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.6．已知全集，集合1，2，3，，，则A.1， B.C. D.3，7．下列命题正确的是A.在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行B.一条直线与一个平面可能有无数个公共点C.经过空间任意三点可以确定一个平面D.若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行8．如图，四面体中，，且，分别是的中点，则与所成的角为A. B.C. D.9．若方程x2+ax+a=0的一根小于﹣2，另一根大于﹣2，则实数a的取值范围是（）A.（4，+∞） B.（0，4）C.（﹣∞，0） D.（﹣∞，0）∪（4，+∞）10．圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0的半径为（）A.1 B.C.2 D.4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．1881年英国数学家约翰·维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是______12．已知直线：，直线：，若，则__________13．已知角A为△ABC的内角，cosA=-4514．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)15．设函数，若关于的不等式的解集为，则__________16．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．某城市2021年12月8日的空气质量指数（AirQualityInex，简称AQI）与时间（单位：小时）的关系满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当时，曲线是函数（且）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态（1）求函数的解析式；（2）该城市2021年12月8日这一天哪个时间段空气属于污染状态？并说明理由18．已知平面向量满足:，|.（1）若，求的值；（2）设向量的夹角为，若存在，使得，求的取值范围.19．已知集合且（1）若，求的值;（2）若，求实数组成的集合20．计算下列各式：（1）（式中字母均为正数）；（2）.21．已知函数，其中向量，，.（1）求函数的最大值；（2）求函数的单调递增区间.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.【题目详解】解：当时，增函数，开口向上，对称轴，排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A,故选:C.【题目点拨】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.2、B【解题分析】根据函数的奇偶性和正负性，运用排除法进行判断即可.【题目详解】因为，所以函数是偶函数，其图象关于纵轴对称，故排除C、D两个选项；显然，故排除A，故选：B3、B【解题分析】，因为函数是增函数，且，所以，故选B考点：对数的运算及对数函数的性质4、B【解题分析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.【题目详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，故抽样比为：，抽取的男生人数为：.故选：B.5、C【解题分析】根据幂函数和指数函数的单调性比较判断【题目详解】∵，，∴.故选：C6、C【解题分析】可求出集合B，然后进行交集的运算，即可求解，得到答案【题目详解】由题意，可得集合，又由，所以故选C【题目点拨】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B，熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7、B【解题分析】根据平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，逐一判定，即可得到答案【题目详解】由题意，对于A中，在空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；对于B中，当一条直线在平面内时，此时直线与平面可能有无数个公共点，所以是正确的；对于C中，经过空间不共线的三点可以确定一个平面，所以是错误的；对于D中，若一个平面上有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，所以不正确，故选B【题目点拨】本题主要考查了平面的基本性质和空间中两直线的位置关系，其中解答中熟记平面的基本性质和空间中两直线的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题8、B【解题分析】设为中点，由中位线可知，所以就是所求两条之间所成的角，且三角形为等腰直角三角形你给，所以.考点：空间两条直线所成的角.【思路点晴】求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决9、A【解题分析】令，利用函数与方程的关系，结合二次函数的性质，列出不等式求解即可.【题目详解】令，∵方程的一根小于，另一根大于，∴，即，解得，即实数的取值范围是，故选A.【题目点拨】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系，数形结合思想在一元二次函数中的应用，是基本知识的考查10、C【解题分析】将圆的方程化为标准方程即可得圆的半径.【题目详解】由圆x2+y2+2x﹣4y+1＝0化为标准方程有：，所以圆的半径为2.故选：C【题目点拨】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，并由此得出圆的半径大小，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解不等式组即可【题目详解】由，又区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则或解得故答案为：12、1【解题分析】根据两直线垂直时，系数间满足的关系列方程即可求解.【题目详解】由题意可得：，解得：故答案为：【题目点拨】本题考查直线垂直的位置关系，考查理解辨析能力，属于基础题.13、35【解题分析】根据同角三角函数的关系，结合角A的范围，即可得答案.【题目详解】因为角A为△ABC的内角，所以A∈(0,π)，因为cosA=-所以sinA=故答案为：314、②③##③②【解题分析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.【题目详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.故答案为：②③15、【解题分析】根据不等式的解集可得、、为对应方程的根，分析两个不等式对应方程的根，即可得解.【题目详解】由于满足，即，可得，所以，，所以，方程的两根分别为、，而可化为，即，所以，方程的两根分别为、，，且不等式解集为，所以，，解得，则，因此，.故答案为：.【题目点拨】关键点点睛：本题主要考查一元二次不等式与方程之间的关系，即不等式解集的端点即为对应方程的根，本题在理解、、分别为方程、的根，而两方程含有公共根，进而可得出关于实数的等式，即可求解.16、【解题分析】根据题意，只要即可，再根据基本不等式中的“”的妙用，求得，解不等式即可得解.【题目详解】根据题意先求得最小值，由，得，所以若要不等式恒成立，只要，即，解得，所以.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态，理由见解析【解题分析】（1）先用待定系数法求得时的解析式，再算得当时的函数值，再由待定系数法可得时的解析式；（2）根据，分段解不等式即可.【小问1详解】当时，，将代入得，∵时，，∴由的图象是一条连续曲线可知，点在的图象上，当时，设，将代入得，∴【小问2详解】由题意可知，空气属于污染状态时，∴或，∴或，∴，∴当天在这个时间段，该城市的空气处于污染状态18、（1）；（2）.【解题分析】（1）用向量数量积运算法则展开；（2）两边同时平方，转化为关于的一元二次方程有解.【题目详解】（1）若，则，又因为，|，所以，所以；（2）若，则，又因为，，所以即，所以，解得或，所以.【题目点拨】本题关键:“向量模的关系”转化为“关于的一元二次方程有解”，，再转化为的不等式，属于中档题.19、（1），（2）【解题分析】（1）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值；（2）求得集合，由分类讨论可得值【小问1详解】因，，且，，所以，，所以，解得，所以．所以，所以，解得【小问2详解】若，可得，因为，所以．当，则；当，则；当，综上，可得实数a组成的集合为20、（1）；（2）.【解题分析】（1）根据给定条件利用指数运算法则化简作答.（2）根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算性质计算作答.【小问1详解】依题意，.【小问2详解】.21、见解析【解题分析】【试题分析】（1）利用