2024届云南省楚雄州南华县民中数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2024届云南省楚雄州南华县民中数学高一上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若||=1，||=2，||=，则与的夹角的余弦值为（）A. B.C. D.2．已知，，则下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.3．若，则的值为（）A. B.C. D.4．已知x是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5．已知函数若函数有四个零点,零点从小到大依次为则的值为()A.2 B.C. D.6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是A. B.C. D.7．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是A.圆柱 B.圆锥C.四面体 D.三棱柱8．若，且则与的夹角为（）A. B.C. D.9．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（）A. B.C. D.10．函数图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若存在常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，，若函数和之间存在隔离直线，则实数的取值范围是______12．如图所示，正方体的棱长为,分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱.交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当时，四边形的面积最小；③四边形周长，是单调函数；④四棱锥的体积为常函数；以上命题中真命题的序号为___________.13．设函数即_____14．已知奇函数满足，，若当时，，则______15．给出以下四个结论：①若函数的定义域为，则函数的定义域是；②函数（其中，且）图象过定点；③当时，幂函数的图象是一条直线；④若，则的取值范围是；⑤若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是___________.16．已知函数，则的值为_________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知一次函数的图像与轴、轴分别相交于点，（分别是与轴、轴正半轴同方向的单位向量),函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当满足时，求函数的最小值.18．设函数.（1）若在区间上的最大值为，求的取值范围；（2）若在区间上有零点，求的最小值.19．证明：（1）；（2）20．已知函数，，（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间；（3）求在区间上的最大值和最小值21．已知函数且（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数在上的单调性，并给出证明；（3）当时，函数值域是，求实数与自然数的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】由题意把||两边平方，结合数量积的定义可得【题目详解】||＝1，||＝2，与的夹角θ，∴||27，∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，解得cosθ故选：B2、D【解题分析】直接利用特殊值检验及其不等式的性质判断即可.【题目详解】对于选项A，令，，但，则A错误；对于选项B，令，，但，则B错误；对于选项C，当时，，则C错误；对于选项D，有不等式的可加性得，则D正确，故选：D.3、D【解题分析】，故选D.4、A【解题分析】解一元二次不等式得或，再根据集合间的基本关系，即可得答案；【题目详解】或，或，反之不成立，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.5、C【解题分析】函数有四个零点，即与图象有4个不同交点，可设四个交点横坐标满足，由图象，结合对数函数的性质，进一步求得，利用对称性得到，从而可得结果.【题目详解】作出函数的图象如图,函数有四个零点，即与的图象有4个不同交点，不妨设四个交点横坐标满足，则，，,可得,由，得，则，可得，即，，故选C.【题目点拨】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.6、A【解题分析】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.7、A【解题分析】因为圆柱的三视图有两个矩形，一个圆，正视图不可能是三角形，而圆锥、四面体（三棱锥）、三棱柱的正视图都有可能是三角形，所以选A.考点：空间几何体的三视图.8、C【解题分析】因为，设与的夹角为，，则，故选C考点：数量积表示两个向量的夹角9、B【解题分析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.【题目详解】由当时，总有，得函数在上是增函数，由，得函数是上凸函数，在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；在上是增函数，是下凸函数；故C错误；在上是减函数，故D错误.故选：B10、A【解题分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再利用当x＞0时，函数值的正负确定选项即可.【题目详解】函数f（x）定义域为，所以函数f（x）是奇函数，排除BC；当x＞0时，，排除D故选：A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】由已知可得、恒成立，可求得实数的取值范围.【题目详解】因为函数和之间存在隔离直线，所以，当时，可得对任意的恒成立，则，即，当时，可得对恒成立，令，则有对恒成立，所以或，解得或，综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.12、①②④【解题分析】①连接，在正方体中，平面，所以平面平面，所以①是真命题；②连接MN，因为平面，所以，四边形MENF的对角线EF是定值，要使四边形MENF面积最小，只需MN的长最小即可，当M为棱的中点时，即当且仅当时，四边形MENF的面积最小；③因为，所以四边形是菱形，当时，的长度由大变小，当时，的长度由小变大，所以周长，是单调函数，是假命题；④连接，把四棱锥分割成两个小三棱锥，它们以为底，为顶点，因为三角形的面积是个常数，到平面的距离也是一个常数，所以四棱锥的体积为常函数；命题中真命题的序号为①②④考点：面面垂直及几何体体积公式13、-1【解题分析】结合函数的解析式求解函数值即可.【题目详解】由题意可得：，则.【题目点拨】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值14、【解题分析】由，可得是以周期为周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.【题目详解】因为，即是以周期为的周期函数.为奇函数且当时，，，当时，所以故答案为：15、①④⑤【解题分析】根据抽象函数的定义域，对数函数的性质、幂函数的定义、对数不等式的求解方法，以及复合函数单调性的讨论，对每一项进行逐一分析，即可判断和选择.【题目详解】对①：因为，，所以的定义域为，令，故，即的定义域为，故①正确；对②：当，，图象恒过定点，故②错误；对③：若，则的图象是两条射线，故③错误；对④：原不等式等价于，故（无解）或，解得，故④正确；对⑤：实数应满足，解得，故⑤正确；综上所述：正确结论的序号为①④⑤.【题目点拨】（1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为，的定义域为，那么的定义域为；如果已知的定义域为，那么的定义域可取为.（2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立.16、【解题分析】，填.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)；(Ⅱ).【解题分析】（Ⅰ）由已知可得，则,又因，所以.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由，得，即，解得.由条件得，故函数图象的对称轴为，①当，即时，在上单调递增，所以②当，即时，在处取得最小值，所以.③当，即时，在上单调递减，所以.综上函数的最小值为点睛：二次函数在给定区间上最值的类型及解法：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解18、（1）；（2）【解题分析】⑴根据函数图象可得在区间上的最大值必是和其中较大者，求解即可得到的取值范围；⑵设方程的两根是，，由根与系数之间的关系转化为，对其化简原式大于或者等于，构造新函数，利用函数的最值来求解解析：（1）因为图象是开口向上的抛物线，所以在区间上的最大值必是和中较大者，而，所以只要，即，得.（2）设方程的两根是，，且，则，所以，当且仅当时取等号.设，则，由，得，因此，所以，此时，由知.所以当且时，取得最小值.点睛：本题考查了函数零点的判定定理，二次函数的性质以及解不等式，在求参量的最值时，利用根与系数之间的关系，转化为根的方程，运用函数的思想当取得对称轴时有最值，本题需要进行化归转化，难度较大19、（1）证明见解析（2）证明见解析【解题分析】(1)利用三角函数的和差公式，分别将两边化简后即可；（2）利用和2倍角公式构造出齐次式，再同时除以即可证明.【小问1详解】左边===右边===左边=右边，所以原等式得证.【小问2详解】故原式得证.20、（1）1；（2）（3）最大值为2，最小值为-1.【解题分析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的值；(2)利用整体代换发即可求出函数的单调增区间；(3)结合(2)，利用函数的定义域求出函数的单调性，进而即可求出函数的最大、小值.【小问1详解】由，得；【小问2详解】令，整理，得，故函数的单调递增区间为；【小问3详解】由，得，结合(2)可知，函数的单调递增区间为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，函数取得最小值，且最小值为，当时，函数取得最大值，且最大值为.21、（1）奇函数，证明见解析；（2）答案见解析，证明见解析；（3），.【解题分析】（1）利用奇偶性定义判