江西省赣州市大余县衡水实验学校2023-2024学年九年级上学期9月初赛数学试卷（B卷）（含解析）

江西省赣州市大余县衡水实验学校2023-2024学年九年级上学期9月初赛数学试卷（B卷）一、单选题1．在277，355，544，633这四个数中，最大的数是（）A．277 B．355 C．544 D．6332．计算：的结果为（）A．﹣ B．﹣ C． D．3．若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．34．用[x]表示不超过x的最大整数，把x﹣[x]称为x的小数部分．已知，a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，则＝（）A． B． C．1 D．5．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝（）A． B． C． D．6．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013二、填空题7．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，则x＝．8．古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是．9．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…，请你推测320的个位数是．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论．①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论有（填写序号）．三、解答题11．化简：（1）（2）．12．先化简，再求值：÷，其中a＝﹣1．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．14．如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．（1）求A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积．15．如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求的值．16．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM＝EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．17．设不全相等的非零实数a，b，c满足++＝1，求a+b+c的值．18．回答下列问题：（1）如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．（3）如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．（4）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．

参考答案一、单选题1．在277，355，544，633这四个数中，最大的数是（）A．277 B．355 C．544 D．633【分析】分别把277，355，544，633这四个数变为（27）11，（35）11，（54）11，（63）11，比较它们的底数的大小即可求解．解：∵277，355，544，633这四个数变为（27）11，（35）11，（54）11，（63）11，而27＝128，35＝243，54＝625，63＝216，∴最大的数是544．故选：C．【点评】此题主要考查了幂的乘方与积的乘方，解题的关键是会利用法则变形才能解决问题．2．计算：的结果为（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】先根据二次根式成立的条件得到＞0，则a﹣1＜0，所以原式变形为﹣，然后利用二次根式的性质得到﹣×，再利用二次根式的乘法得到﹣，再约分即可．解：∵＞0，则a﹣1＜0，∴＝﹣＝﹣×＝﹣＝﹣，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：＝|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法．3．若关于x的方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，则所有满足条件的整数a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据方程的解为正数，且a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，可以求得a的取值范围，然后即可写出满足条件的整数a的值，再将它们相加即可．解：由方程可得，x＝，∵方程的解为正数，∴＞0，∴a＜，由y+3＞1得y＞﹣2，由3y﹣a＜1得y＜，∵a使得关于y的不等式组恰有两个整数解，∴这两个整数解为﹣1，0，∴0＜≤1，解得﹣1＜a≤2，由上可得﹣1＜a＜，∴所有满足条件的整数a的值为0，1，∵0+1＝1，∴所有满足条件的整数a的值和为1，故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程，解答本题的关键是求出a的取值范围．4．用[x]表示不超过x的最大整数，把x﹣[x]称为x的小数部分．已知，a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，则＝（）A． B． C．1 D．【分析】结合定义求出[t]和[﹣t]，由a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，表示出a、b代入即可得出结论．解：∵t＝＝＝2+，∴[t]＝3，[﹣t]＝﹣4．∵a是t的小数部分，b是﹣t的小数部分，∴a＝2+﹣3＝﹣1，b＝﹣（2+）﹣（﹣4）＝2﹣．∴﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是求出a、b．本题属于基础题，难度不大，但在运算过程中用到了平方差公式将分母有理化，此处需要注意别出现差错．5．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，，CD＝1，对角线的交点为M，则DM＝（）A． B． C． D．【分析】过点A作AH⊥BD于点H，利用有两个角相等的三角形相似判定△AMH∽△CMD，根据相似三角形的性质得比例式，设AM＝x，用含x的式子分别表示出CM、AH、BM，再由面积法得出AH的第二种表示方法，从而得关于x的方程，解得x的值，则CM的值可得，然后用勾股定理求得DM即可．解：如图，过点A作AH⊥BD于点H，∵∠AHM＝∠CDM＝90°，∠AMH＝∠CMD∴△AMH∽△CMD，∴，∵CD＝1，∴，设AM＝x，由于AC＝，故，∴在Rt△ABM中，AB＝由勾股定理得：，则∴，显然x≠0，化简整理得解得，（不符合题意，舍去），故，在Rt△CDM中，，故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方程思想在几何计算中的应用，本题具有一定的难度．6．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．2013【分析】该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12＝5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），由5n+3＝2013，解得n＝402，其余选项求出的n不为正整数，则选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．二、填空题7．已知（x2﹣x﹣1）x+2＝1，则x＝﹣2或﹣1或0或2．【分析】要使结果为1，可分为三种情况：①当指数是0时，②当底数为1时，③当底数为（﹣1）时，分别求出x即可得出答案．解：①当x+2＝0，即x＝﹣2时，x2﹣x﹣1≠0，∴x＝﹣2，成立；②当x2﹣x﹣1＝1时，解得：x＝2或﹣1，∴x＝2或﹣1，成立；③当x2﹣x﹣1＝﹣1时，解得：x＝0或1，当x＝0时，（﹣1）2＝1，成立，当x＝1时，（﹣1）3＝﹣1，不成立，故答案为：﹣2或﹣1或0或2．【点评】本题考查了零指数幂和有理数的乘方，掌握零指数幂的意义，有理数乘方的意义是解决问题的关键．8．古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是1275．【分析】研究图形发现规律“第n个“三角形数”是1+2+…+n＝”，代入n＝50即可得出结论．解：观察图形，发现第1个“三角形数”是1，第2个是1+2＝3，第3个是1+2+3＝6，第4个是1+2+3+4＝10，…由此发现规律：第n个“三角形数”是1+2+…+n＝．第50个“三角形数”是1+2+…+49+50＝＝1275．故答案为：1275．【点评】本题考查了图形的变化规律，解题关键是找出“第n个“三角形数”是1+2+…+n＝”这一规律．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，分析图形得出规律是关键．9．已知31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561…，请你推测320的个位数是1．【分析】根据所给的式子，观察发现：3n的个位数字是3，9，7，1四个一循环，而20÷4＝5，则320的个位数字与34的个位数字相同，即是1．解：∵3n的个位数字是3，9，7，1四个一循环，∴20÷4＝5，∴320的个位数字与34的个位数字相同，即是1．故答案为1．【点评】此题主要考查了数字的变化规律，是一道寻找规律的题目，考查了学生分析数据、归纳及应用规律的能力．解题关键是知道个位数字为3，9，7，1顺次循环．10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，下列4个结论．①abc＜0；②b＜a+c；③c＜4b；④a+b＜k（ka+b）（k为常数，且k≠1）．其中正确的结论有①③（填写序号）．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确；②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴b＞a+c故b＜a+c，故②错误；③当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且x＝﹣＝1，即a＝﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得c＜b，∵b＞0，∴c＜4b，故③正确；④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝k时，y＝ak2+bk+c，所以a+b+c＞ak2+bk+c，故a+b＞ak2+bk，即a+b＞k（ak+b），故④错误．故①③正确．故答案为：①③．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键．三、解答题11．化简：（1）（2）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据零指数幂与负整数指数幂的意义计算．解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2﹣+1+3﹣4＝2﹣．【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12．先化简，再求值：÷，其中a＝﹣1．【分析】将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为乘法后代入求值．解：原式＝[﹣]•＝•＝•＝．当a＝﹣1时，原式＝＝1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟悉通分、约分及因式分解是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边且BE＝CF，AD+EC＝AB．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【分析】（1）求出EC＝DB，∠B＝∠C，根据SAS推出△BED≌△CFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF即可；（2）根据三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝70°，根据全等得出∠BDE＝∠FEC，求出∠DEB+∠FEC＝110°，即可得出答案；【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，∴BD＝EC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（SAS）∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵∠A＝40°，∴∠B＝∠C＝＝70°，∴∠BDE+∠DEB＝110°，又∵△DBE≌△ECF，∴∠BDE＝∠FEC，∴∠FEC+∠DEB＝110°，∴∠DEF＝70°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．14．如图，已知直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7，直线l1、l2分别交x轴于B、C两点，l1、l2相交于点A．（1）求A、B、C三点坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）联立两直线解析式，解方程即可得到点A的坐标，两直线的解析式令y＝0，求出x的值，即可得到点A、B的坐标；（2）根据三点的坐标求出BC的长度以及点A到BC的距离，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．解：（1）直线l1：y＝2x+1、直线l2：y＝﹣x+7联立得，，解得，∴交点为A（2，5），令y＝0，则2x+1＝0，﹣x+7＝0，解得x＝﹣0.5，x＝7，∴点B、C的坐标分别是：B（﹣0.5，0），C（7，0）；（2）BC＝7﹣（﹣0.5）＝7.5，∴S△ABC＝×7.5×5＝．【点评】本题考查了两直线的相交问题，联立两直线的解析式，解方程即可得到交点的坐标，求直线与x轴的交点坐标，令y＝0即可，求直线与y轴的交点坐标，令x＝0求解．15．如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求的值．【分析】由绝对值和完全平方式的结果为非负数，且两非负数之和为0可得绝对值和完全平方式同时为0，可得ab＝2且b＝1，把b＝1代入ab＝2可求出a的值为2，把求出的a与b代入所求的式子中，利用＝﹣把所求式子的各项拆项后，去括号合并即可求出值．解：∵|ab﹣2|≥0，（1﹣b）2≥0，且|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，且1﹣b＝0，解得ab＝2，且b＝1，把b＝1代入ab＝2中，解得a＝2，则＝+++…+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．【点评】此题考查了有理数的混合运算，要求学生掌握两非负数之和为0时，两非负数必须同时为0，本题若直接按照运算顺序解题，运算量非常大，需利用计算技巧简化运算，根据所求式子各项的特点，利用拆项法进行化简，使拆开的一部分分数互相抵消，达到简化运算的目的．熟练运用＝﹣是解本题的关键．16．如图，在△ABC外分别以AB，AC为边作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，AM是△ABC中BC边上的中线，延长MA交EG于点H，求证：（1）AM＝EG；（2）AH⊥EG；（3）EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【分析】（1）延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，先证得△MBN≌△MCA，得到∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，从而得到BN∥AC，NB＝AG，进一步得到∠NBA＝∠GAE，根据SAS证得△NBA≌△GAE，即可证得结论；（2）由△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，进一步求得∠HAE+∠AEH＝90°，即可证得∠AHE＝90°，得到AH⊥EG；（3）连接CE、BG，易证△ACE≌△ABG，得出CE⊥BG，根据勾股定理得到EG2+BC2＝CG2+BE2，从而得到2（AB2+AC2）．【解答】（1）证明：延长AM到点N，使MN＝MA，连接BN，∵AM是△ABC中BC边上的中线，∴CM＝BM，在△MBN和△MCA中∴△MBN≌△MCA（SAS），∴∠BNM＝∠CAM，NB＝AC，∴BN∥AC，NB＝AG，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠GAE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠NBA＝∠GAE，在△NBA和△GAE中∴△NBA≌△GAE（SAS），∴AN＝EG，∴AM＝EG；（2）证明：由（1）△NBA≌△GAE得∠BAN＝∠AEG，∵∠HAE+∠BAN＝180°﹣90°＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，∴∠AHE＝90°，即AH⊥EG；（3）证明：连接CE、BG，易证△ACE≌△ABG∴CE⊥BG，∴EG2+BC2＝CG2+BE2，∴EG2+BC2＝2（AB2+AC2）．【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．17．设不全相等的非零实数a，b，c满足++＝1，求a+b+c的值．【分析】根据不全相等的非零实数a，b，c满足++＝1，灵活变化，进行化简，分解因式，即可求得问题的答案．解：∵++＝1，∴，，，c•（2a2+bc）（2b2+ac）＝（2c2+ab）（b3+abc+a3），化简，得a3+b3+c3﹣3abc＝0，即（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）＝0，∵a，b，c是不全相等的非零实数，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc≠0，∴a+b+c＝0．即a+b+c的值是0．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是化简后再因式分解，然后根据题目中的信息进行讨论．18．回答下列问题：（1）如图1，AB＝BC，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形．（2）在（1）中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小．（3）如图2，∠ABC＝60°，AB＝BC，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC面积是．（4）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC，点P在△ABC内，且PA＝，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）由AB＝BC，∠ABC＝90°可知点A旋转到点C，在BC的下方过点B作BP的垂线，并且在垂线上截取BP′＝BP，则P′为点P绕B点顺时针旋转90°以后的对应点，△P′CB即为所求；（2）连接PP′，求出△PBP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得PP′＝4，∠BP′P＝45°，再利用勾股定理逆定理求出∠CP′P＝90°，然后计算即可得解；（3）将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连接PP1，得出S△ABP+S△APC＝S四边形APCP1＝+6；同理求出△ABP和△BPC的面积的和，△APC和△BPC的面积的和，从而求出△ABC的面积，然后根据△BPC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△APC的面积的和计算即可得解；（4）首先作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积．解：（1）如图1所示，△P′CB即为所求；（2）如图2，连接PP′．∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝45°．在△CPP′中，∵PP′＝4，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC