山东省青岛十七中2024届高一数学第一学期期末统考模拟试题含解析

山东省青岛十七中2024届高一数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A.1.2天 B.1.8天C.2.5天 D.3.5天2．已知，则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.53．将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数是（）A. B.C. D.4．已知集合，则下列关系中正确的是（）A. B.C. D.5．函数的值域为（）A. B.C. D.6．“是第一或第二象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知幂函数是偶函数，则函数恒过定点A. B.C. D.8．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.29．函数的单调递减区间为（）A. B.C. D.10．已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数恒过定点________.12．若，，则________.13．已知函数的最大值为，且图像的两条相邻对称轴之间的距离为，求：（1）函数的解析式；（2）当，求函数的单调递减区间14．已知向量，，，，则与夹角的余弦值为______15．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：16．若函数满足，则______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知不等式x2+ax+b<0(a,b∈R（1）求实数a，b的值；（2）若集合B=xx<0，求A∩B，18．已知函数，函数为R上的奇函数，且.（1）求的解析式：（2）判断在区间上的单调性，并用定义给予证明：（3）若的定义域为时，求关于x的不等式的解集.19．已知函数，.（1）求的值.（2）设，，，求的值.20．，，且，，且为偶函数（1）求；（2）求满足，的的集合21．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，（）求向量，夹角的正切值（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【题目详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【题目点拨】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.2、A【解题分析】由可得，将整理为，再利用基本不等式即可求解.【题目详解】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故选：A3、D【解题分析】根据图像平移过程，写出平移后的函数解析式即可.【题目详解】由题设，.故选：D4、C【解题分析】利用元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误.详解】∵，∴，所以选项A、B、D错误，由空集是任何集合的子集，可得选项C正确.故选：C.【题目点拨】本题考查元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.5、C【解题分析】由二倍角公式化简，设，利用复合函数求值域.【题目详解】函数，设，，则，由二次函数的图像及性质可知，所以的值域为，故选：C.6、A【解题分析】利用充分必要条件的定义判断.【题目详解】若角的终边在第一或第二象限，则，反过来，若，则的终边可能在第一或第二象限，也有可能在轴正半轴上.所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A7、D【解题分析】根据幂函数和偶函数的定义可得的值，进而可求得过的定点.【题目详解】因为是幂函数，所以得或，又偶函数，所以，函数恒过定点.故选：.【题目点拨】本题主要考查的是幂函数和偶函数的定义，以及对数函数性质的应用，是基础题.8、C【解题分析】根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.【题目详解】因为为上的偶函数，所以，又因为对于，都有，所以函数的周期，且当时，，所以故选：C.9、A【解题分析】解不等式，，即可得答案.【题目详解】解：函数，由，，得，，所以函数的单调递减区间为，故选：A.10、C【解题分析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.【题目详解】为奇函数,则，但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，所以是的充分不必要条件，故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解题分析】根据函数图象平移法则和对数函数的性质求解即可【题目详解】将的图象现左平移1个单位，再向下平移2个单位，可得到的图象，因为的图象恒过定点，所以恒过定点，故答案为：12、【解题分析】，然后可算出的值，然后可得答案.【题目详解】因为，，所以，所以，所以，，因为，所以，故答案为：13、（1）；（2）和【解题分析】（1）根据降幂公式与辅助角公式化简函数解析式，然后由题意求解，从而求解出解析式；（2）根据（1）中的解析式，利用整体法代入化简计算函数的单调减区间，再由，给赋值，求出单调减区间.【小问1详解】化简函数解析式得，因为图像的两条相邻对称轴之间的距离为，即，且函数最大值为，所以且，得，所以函数解析式为.【小问2详解】由（1）得，，得，因为，所以函数的单调减区间为和14、【解题分析】运用平面向量的夹角公式可解决此问题．【题目详解】根据题意得，，，，故答案为．【题目点拨】本题考查平面向量夹角公式的简单应用．平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.15、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解题分析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【题目点拨】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.16、【解题分析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解.【题目详解】由题意，函数满足，令，可得.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a=-1，b=-2（2）A∩B=x-1<x<0【解题分析】可根据题意条件，此一元二次不等式的解集转化成此一元二次方程的两个跟，然后利用根与系数的关系，即可完成求解；可根据集合A、B的范围分别求解出A∩B，A∪∁R【小问1详解】因为不等式的解集为A=x所以x1=-1，x2=2则有1-a+b=0,4+2a+b=0,解得a=-1，b【小问2详解】因为A=x-1<x<2，所以A∩B=x-1<x<0，∁18、（1）；（2）单调递增.证明见解析；（3）【解题分析】（1）列方程组解得参数a、b，即可求得的解析式；（2）以函数单调性定义去证明即可；（3）依据奇函数在上单调递增，把不等式转化为整式不等式即可解决.【小问1详解】由题意可知，即，解之得，则，经检验，符合题意.【小问2详解】在区间上单调递增.设任意，且，则由，且，可得则，即故在区间上单调递增.【小问3详解】不等式可化为等价于，解之得故不等式的解集为19、（1）；（2）.【解题分析】（1）代入可求得其值；（2）由已知求得，，再由同角三角函数的关系可求得，，运用余弦的和角公式可求得答案.【题目详解】解:（1）.（2），∴，∵，∴，∵，∴，，∵.20、（1）；（2）【解题分析】（1）首先利用向量数量积的坐标运算并且结合二倍角公式与两角和的正弦公式化简函数的解析式，可得：．由已知为偶函数知其图象关于y轴对称，可得：当x=0成立，从而可得，再根据θ的范围即可得到答案（2）由（１）可得：，再结合余弦函数的图象及性质可得：，进而结合x的取值范围得到结果试题解析：（1）由题意可得：所以函数解析式为：；因为为偶函数，所以有：即：又因为，所以（２）由（１）可得：，因为，所以由余弦函数的图象及性质得：，又因为，所以x的集合为考点：１．两角和与差的正余弦公式、二倍角公式；２．向量数量积的坐标运算；３．三角函数的性质21、（1）见解析；（2）见解析.【解题分析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为，则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由（1）知，利用基本不等式即可的结果.详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，当x=时，取得最