北京海淀区一零一中学2024届高一数学第一学期期末检测试题含解析

北京海淀区一零一中学2024届高一数学第一学期期末检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，且，则的最小值是（）A. B.8C. D.162．某数学兴趣小组设计了一种螺线，作法如下：在水平直线上取长度为1的线段AB，并作等边三角形ABC，然后以点B为圆心，BA为半径逆时针画圆弧，交线段CB的延长线于点D；再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，得到的螺线如图所示．当螺线与直线有6个交点（不含A点）时，则螺线长度最小值为（）A. B.C. D.3．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四”的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时，)A.1.24 B.1.25C.1.26 D.1.274．函数的图象如图所示，为了得到函数的图象，可以把函数的图象A.每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位B.每个点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D.先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）5．下列各式中成立的是A. B.C. D.6．已知向量，，若，则（）A. B.C.2 D.37．基本再生数与世代间隔是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与、近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至的4倍，至少需要（）（参考数据：）A.6天 B.7天C.8天 D.9天8．的定义域为（）A. B.C. D.9．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角（）A. B.C. D.10．已知x，y是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________.12．若关于的方程只有一个实根，则实数的取值范围是______.13．已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是__14．计算：__________.15．函数，在区间上增数，则实数t的取值范围是________.16．求值：__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；（2）求在区间上的值域18．现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解(请将所选条件的序号填写在答题纸指定位置)已知二次函数，且满足________(填所选条件的序号).（1）求函数的解析式；（2）设，若函数在区间上的最小值为3，求实数m的值.19．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝（0＜＜θ）（1）用表示矩形ABCD的面积S；（2）若θ＝，求当取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积20．已知，．若，求的取值范围.21．已知函数（1）利用函数单调性的定义证明是单调递增函数；（2）若对任意，恒成立，求实数取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解题分析】转化原式为，结合均值不等式即得解【题目详解】由题意，故则当且仅当，即时等号成立故选：B2、A【解题分析】根据题意，找到螺线画法的规律，由此对选项逐一分析，从而得到答案【题目详解】第1次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第2次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计1次；第3次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为3，交累计2次；第4次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第5次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计3次；前5次累计画线；第6次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计4次，累计画线；第7次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为；第8次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计5次；第9次画线：以点为圆心，，旋转，划过的圆弧长为，交累计6次，累计画线，故选项A正确故选：A另解：由前三次规律可发现，每画三次，与l产生两个交点，故要产生6个交点，需要画9次；每一次画的圆弧长度是以为首项，为公差的等差数列，所以前9项之和为：﹒故选：A﹒3、C【解题分析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.【题目详解】根据题意可得：可得，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是.故选：C.【题目点拨】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.4、C【解题分析】根据函数的图象，设可得再根据五点法作图可得故可以把函数的图象先向左平移个单位，得到的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到函数的图象，故选C5、D【解题分析】根据指数运算法则分别验证各个选项即可得到结果.【题目详解】中，中，，中，；且等式不满足指数运算法则，错误；中，，错误；中，，则，错误；中，，正确.故选：【题目点拨】本题考查指数运算法则的应用，属于基础题.6、A【解题分析】先计算的坐标，再利用可得，即可求解.【题目详解】，因为，所以，解得：，故选：A7、B【解题分析】根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果【题目详解】因为，，，所以可以得到，由题意可知，所以至少需要7天，累计感染病例数增加至的4倍故选：B8、C【解题分析】由对数函数的性质及分式的性质解不等式即可得解.【题目详解】由题意得，解得，所以的定义域为.故选：C.【题目点拨】本题考查了具体函数定义域的求解，属于基础题.9、A【解题分析】利用向量模的坐标求法可得，再利用向量数量积求夹角即可求解.【题目详解】由已知可得：，得，设向量与的夹角为，则所以向量与的夹角为故选：A.【题目点拨】本题考查了利用向量数量积求夹角、向量模的坐标求法，属于基础题.10、C【解题分析】由充要条件的定义求解即可【题目详解】因为，若，则，若，则，即，所以，即“”是“”的充要条件，故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、##-0.4【解题分析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值.【题目详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上,所以，，又，即，解得，所以，故答案为：.12、【解题分析】把关于的方程只有一个实根，转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，结合图象，即可求解.【题目详解】由题意，关于方程只有一个实根，转化为曲线与直线的图象有且只有一个交点，在同一坐标系内作出曲线与直线的图象，如图所示，结合图象可知，当直线介于和之间的直线或与重合的直线符合题意，又由直线在轴上的截距分别为，所以实数的取值范围是.故答案为.【题目点拨】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中把方程的解转化为直线与曲线的图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及数形结合思想的应用，属于基础题.13、②【解题分析】对于①，，则，位置关系不确定，的位置关系不能确定；对于②，由垂直于同一平面的两直线平行知，结论正确；对于③，，则或；对于④，，则或，故答案为②.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.14、【解题分析】直接利用二倍角公式计算得到答案.【题目详解】.故答案为：.15、【解题分析】作出函数的图象，数形结合可得结果.【题目详解】解:函数的图像如图.由图像可知要使函数是区间上的增函数，则.故答案为【题目点拨】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.16、【解题分析】利用诱导公式一化简，再求特殊角正弦值即可.【题目详解】.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）在区间上单调递增，证明见解析（2）【解题分析】（1）利用定义法，设出，通过做差比较的大小，即可证明；（2）根据第（1）问得到在区间上的单调性，在区间直接赋值即可求解值域.【小问1详解】在区间上单调递增，证明如下：，且，有因为，且，所以，于是，即故在区间上单调递增【小问2详解】由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,，所以在区间上的值域为18、（1）；（2）.【解题分析】（1）条件①，求出代入根据恒成立可得；条件②由一元二次不等式解的性质可得；条件③代入可得；分别根据选择①②，①③，②③，均可通过联立方程组可得结果；（2）求出函数的对称轴，将对称轴和区间的端点进行比较，根据函数的单调性列出关于的方程解出即可.【题目详解】（1）条件①：因为，所以，即对任意的x恒成立，所以，解得.条件②：因为不等式的解集为，所以，即.条件③：函数的图象过点，所以.选择条件①②：，，，此时；选择条件①③：，则，，，此时；选择条件②③：，则，，，此时.（2）由（1）知，其对称轴为，①当，即时，，解得；②当，即时，，解得(舍)；③当，即时，，无解.综上所述，所求实数m的值为.【题目点拨】二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.19、（1）S＝（0＜＜θ）；（2）当α＝时，S取得最大值为2﹣【解题分析】（1）由题意可求得∠ADO，△COD为等腰三角形，在△OAD中利用正弦定理求出AD，从而可用表示矩形ABCD的面积S；（2）由（1）可得，然后由的范围结合正弦函数的性质可求出其最大值【题目详解】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，∴∠POE＝∠PDA＝θ，∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2，△COD为等腰三角形故AB＝2sin（θ﹣），再由∠ADO＝＝π﹣θ，△OAD中，利用正弦定理可得，化简可得AD=故矩形ABCD的面积S＝f（）＝AB•AD＝（0＜＜θ）（2）θ＝，由（1）可得S＝f（）＝＝＝再由0＜＜可得＜2＋＜，故当2＋＝，即当＝时，S＝f（）取得最大值为2﹣20、.【解题分析】利用对函数数的性质化简，利用一元二次不等式的解法，讨论，，三种情况，分别分析集合，再结合，解得的取值范围【题目详解】由，得，解得，即，由，得，当时，是空集，不满足，不符合题意，舍去；当时，，不满足，不符合题意，舍去；当时，解得，因为，所以的取值范围是.21、（1