2024届辽宁省沈阳市数学高一上期末质量检测试题含解析

2024届辽宁省沈阳市数学高一上期末质量检测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．为了节约水资源，某地区对居民用水实行“阶梯水价”制度：将居民家庭全年用水量（取整数）划分为三档，水价分档递增，其标准如下：阶梯居民家庭全年用水量（立方米）水价（元/立方米）其中水费（元/立方米）水资源费（元/立方米）污水处理费（元/立方米）第一阶梯0-180（含）52.071.571.36第二阶梯181-260（含）74.07第三阶梯260以上96.07如该地区某户家庭全年用水量为300立方米，则其应缴纳的全年综合水费（包括水费、水资源费及污水处理费）合计为元．若该地区某户家庭缴纳的全年综合水费合计为1180元，则此户家庭全年用水量为（）A.170立方米 B.200立方米C.220立方米 D.236立方米2．函数（且）的图像必经过点（）A. B.C. D.3．已知函数为偶函数，则A.2 B.C. D.4．已知向量，，那么（）A.5 B.C.8 D.5．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）A. B.C. D.6．设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是A. B.C. D.7．已知函数f(x)＝a＋log2(x2＋a)(a>0)的最小值为8，则实数a的取值属于以下哪个范围()A.(5，6) B.(7，8)C.(8，9) D.(9，10)8．已知函数的定义域为[1，10]，则的定义域为（）A. B.C. D.9．设命题，则命题p的否定为（）A. B.C. D.10．函数的图象是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知幂函数（为常数）的图像经过点，则__________12．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.13．角的终边经过点，则的值为______14．在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.15．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020，平均数，则该组数据的标准差为_________.16．“”是“”的______条件.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知幂函数在上单调递增，函数（1）求实数m的值；（2）当时，记的值域分别为集合，若，求实数k的取值范围18．已知函数定义域为，若对于任意的，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）若对所有，恒成立，求的取值范围.19．已知.（1）若，且，求的值.（2）若，且，求的值.20．已知函数，（为常数）.（1）当时，判断在的单调性，并用定义证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；（3）讨论零点的个数.21．设函数是增函数，对于任意都有（1）写一个满足条件的；（2）证明是奇函数；（3）解不等式

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】根据用户缴纳的金额判定全年用水量少于260，利用第二档的收费方式计算即可.【题目详解】若该用户全年用水量为260，则应缴纳元，所以该户家庭的全年用水量少于260，设该户家庭全年用水量为x，则应缴纳元，解得.故选：C2、D【解题分析】根据指数函数的性质，求出其过的定点【题目详解】解：∵（且），且令得，则函数图象必过点，故选：D3、A【解题分析】由偶函数的定义，求得的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案【题目详解】由题意，函数为偶函数，可得时，，，则，，可得，故选A【题目点拨】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数的运算性质，正确求解集合A，再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、B【解题分析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【题目详解】因为向量，，所以.故选：B.5、D【解题分析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.【题目详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解令，，当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增且，，由图1知，此时函数与在上只有一个交点；当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.综上，的取值范围为.故选：D6、A【解题分析】∵∴−=3(−)；∴=−.故选A.7、A【解题分析】根复合函数的单调性，得到函数f(x)的单调性，求解函数的最小值f(x)min＝8，构造新函数g(a)＝a＋log2a－8，利用零点的存在定理，即可求解.【题目详解】由题意，根复合函数的单调性，可得函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上递减，所以函数f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝a＋log2a＝8，令g(a)＝a＋log2a－8，a>0，则g(5)＝log25－3<0，g(6)＝log26－2>0，又g(a)在(0，＋∞)上是增函数，所以实数a所在的区间为(5，6)【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及零点的存在定理的应用，其中解答中根据复合函数的单调性，求得函数的最小值，构造新函数，利用零点的存在定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8、B【解题分析】根据函数的定义域，结合要求的函数形式，列出满足条件的定义域关系，求解即可.【题目详解】由题意可知，函数的定义域为[1，10]，则函数成立需要满足，解得.故选：B.9、C【解题分析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.【题目详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，命题的否定命题为，故选：C10、C【解题分析】由已知可得，从而可得函数图象【题目详解】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.即，故其图象应为C.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、3【解题分析】设，依题意有，故.12、【解题分析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.13、【解题分析】以三角函数定义分别求得的值即可解决.【题目详解】由角的终边经过点，可知则，，所以故答案为：14、【解题分析】根据二分法，取区间中点值，而，，所以，故判定根区间考点：二分法【方法点睛】本题主要考察了二分法，属于基础题型，对于零点所在区间的问题，不管怎么考察，基本都要判断端点函数值的正负，如果异号，那零点必在此区间，如果是几个零点，还要判定此区间的单调性，这个题考查的是二分法，所以要算区间的中点值，和两个端点值的符号，看是否异号．零点肯定在异号的区间15、9【解题分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案【题目详解】根据题意，一组样本数据，且，平均数，则其方差，则其标准差，故答案为：9.16、充分不必要【解题分析】解方程，即可判断出“”是“”的充分不必要条件关系.【题目详解】解方程，得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故答案为充分不必要.【题目点拨】本题考查充分不必要条件的判断，一般转化为集合的包含关系来判断，考查推理能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解题分析】（1）由幂函数定义列出方程，求出m的值，检验函数单调性，舍去不合题意的m的值；（2）在第一问的基础上，由函数单调性得到集合，由并集结果得到，从而得到不等式组，求出k的取值范围.【小问1详解】依题意得：，∴或当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去当时，上单调递增，符合要求，故.【小问2详解】由（1）可知，当时，函数和均单调递增∴集合，又∵，∴，∴，∴，∴实数k的取值范围是.18、（1）为奇函数；证明见解析；（2）是在上为单调递增函数；证明见解析；（3）或.【解题分析】（1）根据已知等式，运用特殊值法和函数奇偶性的定义进行判断即可；（2）根据函数的单调性的定义，结合已知进行判断即可；（3）根据（1）（2），结合函数的单调性求出函数在的最大值，最后根据构造新函数，利用新函数的单调性进行求解即可.详解】（1）∵，令，得，∴，令可得：，∴，∴为奇函数；（2）∵是定义在上的奇函数，由题意设，则，由题意时，有，∴，∴是在上为单调递增函数；（3）∵在上为单调递增函数，∴在上的最大值为，∴要使，对所有，恒成立，只要，即恒成立；令，得，∴或.【题目点拨】本题考查了函数单调性和奇偶性的判断，考查了不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.19、（1）或；（2）.【解题分析】（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解；（2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解.【小问1详解】.所以，因为，则，或.【小问2详解】由（1）知：，所以，即，所以，所以，即，可得或.因为，则，所以.所以，故.20、（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解题分析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；（2）由得，转化为，设，利用二次函数的性质，即可求解.（3）把函数有个零点转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像，结合图象，即可求解，得到答案.【题目详解】（1）当时，且时，是单调递减的.证明：设，则又且，故当时，在上是单调递减的.（2）由得，变形为，即，设，令，则，由二次函数的性质，可得，所以，解得.（3）由有个零点可得有两个解，转化为方程有两个解，令，作的图像及直线图像有两个交点，由图像可得：i）当或，即或时，有个零点.ii）当或或时，由个零点；iii）当或时，有个零点.【题目点拨】本题主要考查了函数的单调性的判定，以及函数与方程的综合应用，其中解答中熟记函数的单调性的定义，以及合理分离参数和转化为图象的交点个数，结合图象求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，试题有一定的综合性