河南洛阳市2024届数学高一上期末综合测试试题含解析

河南洛阳市2024届数学高一上期末综合测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．用斜二测画法画一个水平放置平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC=AB=2，则原平面图形的面积为（）A. B.C. D.2．已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若是的一个单调区间，则的最大值为A.18 B.17C.15 D.133．在中，满足，则这个三角形是（）A.正三角形 B.等腰三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形4．已知函数（其中）的最小正周期为，则（）A. B.C.1 D.5．命题“，有”的否定是（）A.，使 B.，有C.，使 D.，使6．直线xa2-A.|b| B.-C.b2 D.7．已知三个变量随变量变化数据如下表：则反映随变化情况拟合较好的一组函数模型是A. B.C. D.8．设函数，，则函数的零点个数是A.4 B.3C.2 D.19．下列函数是幂函数的是（）A. B.C. D.10．不等式x2≥2x的解集是()A.{x|x≥2} B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤2} D.{x|x≤0或x≥2}二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．不等式的解集是___________.12．已知点为圆上的动点,则的最小值为__________13．给出以下四个结论：①若函数的定义域为，则函数的定义域是；②函数（其中，且）图象过定点；③当时，幂函数的图象是一条直线；④若，则的取值范围是；⑤若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是___________.14．已知一组样本数据x1，x2，…，x10，且++…+=2020，平均数，则该组数据的标准差为_________.15．如图，点为锐角的终边与单位圆的交点，逆时针旋转得，逆时针旋转得逆时针旋转得，则__________，点的横坐标为_________16．函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f(x)=sinxcosx−cos2x+m的最大值为1.（1）求m的值；（2）求当x[0，]时f(x)的取值范围；（3）求使得f(x)≥成立的x的取值集合.18．已知函数(1)求函数的最小正周期和在上的值域；(2)若，求的值19．为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：（1）求出图中a的值；（2）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；（3）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由20．已知的数（1）有解时，求实数的取值范围；（2）当时，总有，求定的取值范围21．已知函数.（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解题分析】先求出直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.【题目详解】直观图中，∠ADC=45°，AB=BC=2，DC⊥BC，∴，DC=4，∴原来的平面图形上底长为2，下底为4，高为的直角梯形，∴该平面图形面积为.故选：C2、D【解题分析】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案【题目详解】由题意，得，∴，又，∴（）∵是一个单调区间，∴T，即，∵，∴，即①当，即时，，，∴，，∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；②当，即时，，，∴，，∵，∴，此时在上不单调，∴不符合题意；③当，即时，，，∴，∵，∴，此时在上单调递增，∴符合题意，故选D【题目点拨】本题主要考查正弦型函数的单调性，对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.3、C【解题分析】由可知与符号相同,且均为正,则,即,即可判断选项【题目详解】由题,因为,所以与符号相同,由于在中,与不可能均为负,所以,,又因为,所以,即,所以,所以三角形是锐角三角形故选：C【题目点拨】本题考查判断三角形的形状,考查三角函数值的符号4、D【解题分析】根据正弦型函数的最小正周期求ω，从而可求的值.【题目详解】由题可知，，∴.故选：D.5、D【解题分析】全称命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可知正确选项.【题目详解】由全称命题的否定为特称命题，∴原命题的否定为.故选：D6、B【解题分析】由题意，令x=0，则-yb2=1，即y=-b27、B【解题分析】根据幂函数、指数函数、对数函数增长速度的不同可得结果.【题目详解】从题表格可以看出，三个变量都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量的增长速度最快，呈指数函数变化，变量的增长速度最慢，对数型函数变化，故选B【题目点拨】本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数模型的应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.8、B【解题分析】函数的零点个数就是函数的图象和函数的图象的交点个数，分别画出函数的图象和函数的图象,如图，由图知，它们的交点个数是，函数的零点个数是,故选B.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.9、C【解题分析】由幂函数定义可直接得到结果.【题目详解】形如的函数为幂函数，则为幂函数.故选：C.10、D【解题分析】由x2≥2x解得：x(x－2)≥0，所以x≤0或x≥2.选D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、或【解题分析】把分式不等式转化为，从而可解不等式.【题目详解】因为，所以，解得或，所以不等式的解集是或.故答案为：或.12、-4【解题分析】点为圆上的动点，所以.由，所以当时有最小值-4.故答案为-4.13、①④⑤【解题分析】根据抽象函数的定义域，对数函数的性质、幂函数的定义、对数不等式的求解方法，以及复合函数单调性的讨论，对每一项进行逐一分析，即可判断和选择.【题目详解】对①：因为，，所以的定义域为，令，故，即的定义域为，故①正确；对②：当，，图象恒过定点，故②错误；对③：若，则的图象是两条射线，故③错误；对④：原不等式等价于，故（无解）或，解得，故④正确；对⑤：实数应满足，解得，故⑤正确；综上所述：正确结论的序号为①④⑤.【题目点拨】（1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为，的定义域为，那么的定义域为；如果已知的定义域为，那么的定义域可取为.（2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立.14、9【解题分析】根据题意，利用方差公式计算可得数据的方差，进而利用标准差公式可得答案【题目详解】根据题意，一组样本数据，且，平均数，则其方差，则其标准差，故答案为：9.15、①.##0.96②.【解题分析】由终边上的点得，，应用二倍角正弦公式求，根据题设描述知在的终边上，结合差角余弦公式求其余弦值即可得横坐标.【题目详解】由题设知：，，∴，所在角为，则，∴点的横坐标为.故答案为：，.16、64【解题分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.【题目详解】令，则，故点；设幂函数，则，则；故；故答案为：64.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）（3）【解题分析】（1）将函数f(x)=sinxcosx−cos2x+m化为只含有一个三角函数的形式，根据三角函数的性质求其最大值，可得答案；（2）根据x[0，]，求出的范围，根据三角函数性质，求得答案；（3）根据f(x)≥，利用三角函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】由题意可知，函数的最大值，解得【小问2详解】由（1）可知，当时，，，所以，所以当时的取值范围是【小问3详解】因为，则，所以，所以，所以的解集是18、（1）见解析；（2）【解题分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为f（x）＝，进而得到函数的周期与值域；（2）由(1)知，利用二倍角余弦公式可得所求.【题目详解】(1)由已知，，，∴又，则所以的最小正周期为在时的值域为.(2)由(1)知，所以则【题目点拨】本题考查三角函数的图像与性质，考查三角函数的化简求值，考查恒等变形能力，属于中档题.19、（1）（2）9（3）不合理，理由见解析【解题分析】（1）根据频率分布直方图中，小矩形面积和为求解即可；（2）首先求学习时间不少于20小时的频率，再根据样本容量乘以频率=人数，计算结果；（3）结合样本来自同一个班级，故不具有代表性.【小问1详解】解：因为频率分布直方图中，小矩形面积和为，所以，解得.【小问2详解】解：由图可知，该班学生周末的学习时间不少于20小时的频率为则40名学生中周末的学习时间不少于20小时的人数为【小问3详解】解：不合理，样本的选取只选在高一某班，不具有代表性20、（1）；（2）【解题分析】（1）通过分离参数法得，再通过配方法求最值即可（2）由已知得恒成立，化简后只需满足且，求解即可.【题目详