多维随机变量及其分布文档

第三讲 多维随机变量及其分布考试要求理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、 边缘TOC\o"1-5"\h\z密度和条件密度•会求与二维随机变量相关事件的概率 •理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义 .会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布 .一、各种分布与随机变量的独立性各种分布一般二维随机变量 F(x,y)=P{X二x,Y<y},x：=(-：：,+：：),y：=(-：：,+：：)的性质F(x,y)为联合分布函数二1） 0才（x,y）wi,-x（-：：,+：：）,,y（-：：,F(x,y)为联合分布函数2） F（-：：,y）=F（x,-：：）=0,F（+：：,+：：）=1;F(x,y)关于x,y均为单调不减函数;F(x,y)关于x,y均分别右连续.(2)二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布、条件分布联合概率分布律P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2，…,pij>0,瓦瓦卩门=1.联合概率分布律ij边缘分布律pi.=P{X=:Xi}=' pij,ji=1,2,,pj=:P{Y:=yj }='卩订i,j=1,2,-,条件分布律P{X:=人|Y=lPij=yj}= ,P{Y=yj|X=xi}=PijP輛Pi,二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度f(x,y)为联合概率密度二1f(x,y)>0,2”i」lj(x,y)dxdy1.设(X,Y)~f(x,y)贝Uxy分布函数： f(x,y)=j二j=f(x,y)dxdy；边缘概率密度： fX(x)二_f(x,y)dy, fY(x)= .f(x,y)dx.

条件概率密度fxiY条件概率密度fxiY(x|y)f(x,y)

fY(y)P{(X,Y)D}二f(x,y)dxdyDf(x,y)=士卫d^dy随机变量的独立性和相关性X和Y相互独立二F(x,y)=Fx(x)Fy(y);=Pij=Pi・pj (离散型)f(x,y)=fx(x)fy(y)(连续型)【注】 1X与Y独立，f (x),g (x)为连续函数 =f (X)与g (Y)也独立.2若X1,■■■■,Xm,丫1,■■■■,Yn相互独立，f,g分别为m元与n元连续函数f(Xi,■■■■,Xm)与g(Yi,....,Yn)也独立.3常数与任何随机变量独立.常见的二维分布(1)二维均匀分布(X,Y)~U(D),D为一平面区域.(1)二维均匀分布f(X,y)n11S(D)，(x，y)"0, 其他.二维正态分布 (X,Y)~N(山,p2,-12，二22,「)， -：：<口，凹<+：：,二1>0, >0,|:|<1.联合概率密度为：(x,y)2^-7^211(X_P1)22P：(x,y)2^-7^211(X_P1)22P(xh心比)2(1_P2)I2CT1CJKT2；「2(y'2)2性质：(a) X~N(p1,q2), Y~N(吃)(b) X与Y相互独立 = ::xy=0,即X与Y不相关.(c) C1X+C2Y~N(C1 |H+ C2 国，C12 二12+ C22；「22 +2C1C2 '-：■.d C2 )X关于Y=y的条件分布为正态分布-1221 -(y」2),；「1(1「)]6】设A,B为事件，且P(A)=1,若A发生、、0,否则1 1(B|A)=—,P(A|B)=-2 2_J,若B发生

丫二0,否则试求(X,Y)的联合分布律；计算Cov(X,Y);计算Cov(2X2,4Y23).【例2】设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X,Y）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 •y1y2y3P{X=Xi}=Pi,X118X218P{Y=yj}=Pj161【例3】设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为X1221P—-—33记U=max'X，丫；V=minh(1)求(U,V)的概率分布；(II)求(U,V)的协方差Cov(U,V).【详解】(I)易知U,V的可能取值均为：1,2.且P(U=1,V=1)=P(max「X,Y、1,min〈X,Y、1})4二P(X=1,Y=1)=P(X=1)P(Y=1) ,9P(U=1,V=2)=P(max1x,Y；=1,min「X,Y；=2})=0,P(U=2,V=1)=P(max「X,Y；=2,mi门汶,丫；=1})=P(X=2,Y=1)P(X=1,Y=2)4

=P(XJP(Yi)+P(X"P—9,P(U=2,V=2)=P(max「X,Yl=2,min「X,Yl=2})1

=P(X=2,Y=2)=P(X=2)P(Y=2) ,9故(U,V)的概率分布为：(II)E(UV)=11- 0 214 22丄二169 9 9 9而4 5 14 8 1 10E(U)=1 2 ,E(V)=1 2 .9 9 9 9 9 9故16 14 10 4Cov(U,V)=E(UV)-E(U)E(V) .9 9 9 81【例4】设随机变量X在区间(0,1)上服从均匀分布，在X=x(0::：x::：1)的条件下，随机变量Y在区间(0,x)上服从均匀分布，求(I)随机变量X和Y的联合概率密度(n)Y的概率密度；(川)概率P{XY1}.二、二维(或两个)随机变量函数的分布1.分布的可加性若X~B(m,p),Y~B(n,p),且X与Y相互独立，则X+Y~B(m+n,p).若X~P(入)，Y~P(小,且X与Y相互独立，则 X+Y~P(入+Q.若X~N(4,；予),Y~P(心,；採),且X与Y相互独立，则X+Y~N(4」2,汙•三).一般地，若Xi~N(<q2),i=1,2,…，n，且X1,X2,…,Xn相互独立，则Y=C1X1+C2X2+…+CnXn+C仍服从正态分布，且此正态分布为n nN(7CfV〕C2^2i), 其中C1,…，Cn为不全为零的常数•i=1 i=1112.两个随机变量函数的分布【例5】设X与Y相互独立，且X~P(1),Y~P(2),则P{max(X,Y)式0}= ;P{min(X,Y)式0}= .【例6】设X与Y相互独立，其密度函数分别为：「1,fX(x)=「1,fX(x)=0,求Z=2X+Y的概率密度.0：：x：：1,其他•fY(X)]°,y0,其他.【例7】设二维随机变量(X,Y)的概率密度为：2—x—y,0<xv1,0cy£1,其它.f(x,八其它.(I)求P「X2Y?;(II)求Z=X+Y的概率密度fz(z).X2y(II)方法一： 先求Z的分布函数：【详解】(I)P〈X2丫亠 f(x,y)dxdy二°2dyX2y(II)方法一： 先求Z的分布函数：FZ(z)二P(XYEZ)!!f(x,y)dxdyx4y唾当z<0时,FZ(z)=0；当0乞z:::1时，Fz(z)二..f(x,y)dxdy=°dy°D1z Z今(2-x-y)dx二z21 33z；11“dy心(2一x-y)dx当1二z：：2时,FZ(z)=1 !!f(x,y)dxdy=1-D213=1-3(2-刁3;PP(丫=aJ=Pj, i=1,2.试求z=X+Y的概率分布当Z_2时,FZ(z)=1.故Z=X+Y的概率密度<22z-z,Oczcl,fz(z)=FZ(z)=<(2—z)2, 1兰z<2,O,其他.方法二：fz(z)二 f(x,z-x)dx,f(x,z_x)=2-x_(z_x),O,0：：x：：1,0：z-x：：1,

其他.'2_Z,0£Xv1,xczc1+x,i0, 其他.当z