三角函数图像2：周期性

#［错因分析］错解中求的不是最小正周期.对于y=Asin(ex+/)(A>0,e>0)，其周期为2n2nn［正解］令z=2x—6，TxWR,・・・zWR.又Vy=sinz的周期是2n,z+2nz+2n=,,、n+2n=2(x+n)—g,•f(x+n)=sin^2(x+n)—g=sin=fx)=sin=fx).••T=n.［点评］最小正周期是指使函数重复出现的自变量x要加上的最小正数，是对x而言,而不是对rnx而言.〔跟踪练习4〕对于函数y=sinx，xGR有$迅(彳+普)=砒，能否说普是它的周期?［解析］不能•周期必须对定义域内的每一个值都有fx+T)=fx).课堂检测1.列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)2°7////.3-2-1e11.列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(D)2°7////.3-2-1e1234i2.A.函数y=sin2x是(A)周期为n的奇函数B.周期为n的偶函数C.n周期为亍的偶函数D.n周期为2的奇函数3.A.C3.A.C.3n~2D.2n若函数fx)=cos(ex+3)(e>0)的最小正周期是2,则①的值为(B)n函数fx)是以2为周期的函数，且f(2)=2，则f(6)=_2__.［解析］f(6)=A4+2)=A4)=A2+2)=A2)=2.1315.设fx)是以1为一个周期的奇函数，且当x£(—2，0)时，f(x)=4x—1,求f(—8)的

值．［解析］Tfx)的周期为1,f(—¥)=/(—4+8)又当x£(—1,0)时，fx)=2x+l,113•\A—8)=4X(—8)—1=—2，又Tfx)是奇函数，•••/(—8)=—A*)，"8)=3•故f(—31)=2-A级基础巩固一、选择题1.设函数fx)(xWR)满足f(-x)=f(x),fx+2)=fx)，则函数y=f(x)的图象是(B)［解析］由已知，得fx)是周期为2的偶函数，故选B.2.函数y=sin(—2+4丿的最小正周期为(C)A.nB.2nnC.4nD.23.函数f(x)=7sin(2X+2^)是(A)A.周期为3n的偶函数B.周期为2n的偶函数C.周期为3n的奇函数4nD.周期为3的偶函数4.函数y=lcosxl的最小正周期是(C)nnA.4B.2C.nD.2n5.下列说法中正确的是(A)nnnA.当x=2时，sin(x+6)工sinx，所以&不是fx)=sinx的周期

当x=12时，sin(x+6)=sinx，所以6是f(x)=sinx的一个周期因为sin(n—x)=sinx，所以n是y=sinx的一个周期nn因为cos(2—x)=sinx，所以2■是y=cosx的一个周期邻冃相邻冃相个两离巨距［解析］函数y=2sinex的最小值是一2,该函数的图象与直线y+2=0的两个相邻公共点之间的距离恰好是一个周期，故由2n2n~3点之间的距离恰好是一个周期，故由2n2n~3得e=3.二、填空题若函数fx)=sinex(e>0)的周期为n,则rn=2.已知函数fx)是定义在R上的周期为6的奇函数，且f(1)=1,则f(5)=—1.［解析］由于函数f(x)是定义在R上的周期为6的奇函数，则f(5)=f(5—6)=f(—1)=—f(1).又f(1)=1，则f(5)=—1.三、解答题已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)fx)=1,求证：f(x)是周期函数.［证明］*/fx+2)=^,•:fx+4)=f［(x+2)+2］=乐+2)==fx).fx)•••函数f(x)是周期函数，4是一个周期.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是n,且当x丘［0，2】时，fx)=sinx.求当x£［—n，0］时，f(x)的解析式；画出函数f(x)在［―n,n］上的简图；求当f(x)三1时x的取值范围.［解析］(1)Vf(x)是偶函数，./—x)=f(x).•.•当x£[0，2〕时，f(x)=sinx.

.•.当x^[-nt.—2，0]时，fx)=f(—x)=sin(—x)=—sinx・又..•当x^[—n,—2]时，x+nW[O,2〕，fx)的周期为n,.\f(x)=f(n+x)=sin(n+x)=—sinx..•.当xW［—n,0］时，fx)=—sinx.(2)如右图.⑶•/在［0,n］内，当fx)=2时，x=n或5.•.在［0,n］内,fx)三1时，x£［6,5n］.又.fx)的周期为n,.•.当fx)±2时，x^［kn+|,kn+5n］,k^Z.B级素养提升一、选择题knB．111.函数y=cosqx+3)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是(B．11A．10C．12DC．12［解析］［解析］tW1kk、2'.•.k±4n又k^N*［解析］［解析］12nn3.:,k最小为13,故选D.2.函数y=7sin(3x—的周期是(C)B.nAB.nC.DC.3.函数y=lsinxl+lcosxl的最小正周期为(A)nA.2B.nC.2nD.C.2n2,15n2,3”2f(x)=4sin(§x十=4sin(§x+2兀)=一4co巧x,.•.T=3n，且满足2,15n2,3”2f(x)=4sin(§x十=4sin(§x+2兀)=一4co巧x,.•.T=3n，且满足f(—x)=f(x),4.函数f(x)=4sin(2x+^)是(A)A.周期为3n的偶函数B.周期为2n的偶函数4C.周期为話的奇函数D.周期为|n的偶函数［解析］故选A．二、填空题5•若函数f：x)是以n为周期的偶函数，且用)=1,则f(-^)=__i__.n［解析］・.7(工)的周期为2,且为偶函数，17nnnnnnnnn^)=A—3n+6)=A—6X2+6)=A6)=A2—2)=A—3)=A3)=1.6.设函数fx)=3sin(ex+6)，①＞0,xW(—g,+-),且以2为最小正周期.若(4+129595,4则sin«的值为」孑一，n［解析］-f(x)的最小正周期为2,①＞o,.2n..nA••e=兀=4...f(x)=3sin(4x+R.2(axnA(.n,nA9fj+12=3sin0+3+6_J=3cosa=5,cosacosa=5.•sina=±\1—cos2a=±5.三、解答题7.已知函数y=|sinx+|lsinxl.画出函数的简图；这个函数是周期函数吗？如果是,求出它的最小正周期［解析］(1)y=|sinx+|lsinxl'sinx,xW［2kn,2kn+n］(k^Z),、0,xW［2kn—n,2kn)(kWZ).函数图象如图所示．(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2n重复一次，则函数的周期是2n.n8.已知fx)是以n为周期的偶函数，且x£[0,2〕时，fx)=l—sinx,求当x£时fx)的解析式.[解析]xwgn,3n]时,n3n—xW[0,2〕，n因为x£[0,2〕时，fx)=1—sinx,所以f(3n—x)=1—sin(3n—x)=1—sinx.又fx)是以n为周期的偶函数，所以f(3n—x)=f(—x)=fx),所以fx