工程数学本工程数学复习资料

12春）复习资料总结一、单项选择题(每小题3分，本题共15分)—110_QQ1.若，则x-(A)..2C.—3D.—21-20=015x—32.已知2维向量组ara2,a3，a，则r(^,a2,化，巴)至多是(B).A1B2C3D43•设A，B为n阶矩阵，则下列等式成立的是(C)AB=BA(AB)=A'B'(A+B)'=A'+B'(AB)，=AB若A，B满足(B)，则A与B是相互独立.P(B)—P(A)P(B|A)p(AB)=P(A)P(B)p(a—b)=p(a)—p(b)P(A)=P(B)P(AB)若随机变量X的期望和方差分别为E（X）和D（X），则等式（D）成立.D(X)—E[X—E(X)]d(x)-E(X2)+[E(X)]2D(X)-E(X2)D(X)-E(X2)-[E(X)]2若A是对称矩阵，则等式(B)成立.AA-1—IA'AA-1—IA'=AA'—A-1A-1—A_3T—1=(D).「-74-_45_5—3—5—霊立，则n元线性方程组AX=O有唯一解.r（A）=nA丰Or（A）<nA的行向量线性相关5—37—51若(A—43）成4•若条件（C）成立，则随机事件A,B互为对立事件.A.AB=0或A+B—Ub.P（AB）—0或P（A+B）—1C.AB=0且A+B—UD.P(AB)—0且P(A+B)—19•对来自正态总体X~N（卩，-2）（卩未知）的一个样本X1，X2,X3，记X=1£X，则下列i=1各式中(C)不是统计量.X£X.丄£(X-口)21£(X—X)2设A，B都是n阶方阵，则下列命题正确i3i3ii=13i=13i=1的是(A).A.|AB|=|A||B|B.(A—B)2—A2—2AB+B2C.AB=BAD.若AB=0，则A=0或B=011.110211.11020—1，2—30037向量组的秩是（B）..3C.A).12.n元线性方程组AX=b有解的充分必要条件是（A).r(A)=r(AM).A不是行满秩矩阵r(A)<n.r(A)=n13.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是（D）.633925102025设X1，X2，人，xn是来自正态总体N（卩，g2）的样本，则（C）是卩无偏估计.1x+1x+1X+x3-x+-x+-x—x+—x+—x设A，B为n阶矩阵，则下列等式成立515253123515253515253的是(A).A.IabI—BAIB.A+B|=IAI+BlC.(A+B)-1—A-1+B-1D.(AB)—1—A—1B—1

x一x=a16•方程组j1x；x=a相容的充分必要条件是⑻，其中ai丰0,(i=1,2,3).TOC\o"1-5"\h\z232x+x=a133A.a+a+a=0B.a+a-a=0c.a-a+a=0d.一a+a+a=012312312312317•下列命题中不正确的是(D).A.A与A有相同的特征多项式若九是A的特征值，贝IJ(九1一A)X=0的非零解向量必是A对应于九的特征向量若九=0是A的一个特征值，则AX=0必有非零解D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量18•若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是(A).A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.P(B)=1-P(A)c.P(A)c.P(A)=P(AB)D.P(AB)=P(A)P(B)19•设x,x,A,x是来自正态总体N(5，1)的样本，则检验假设H:卩=5采用统计量u=(c).12n0x—5x—5x—5x—5AKB.丽C.乔D•丁二、填空题(每小题3分，共15分)1.设A,B均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为A-1,B-1，则(B-1A')-1=(A-1)'B.TOC\o"1-5"\h\z向量组a1=(1,1,°)，a2=(0,1,1),a3=(1,0,k)线性相关，则k=-1.已知P(A)=0•&P(AB)=0.2，则P(A—B)=_4•已知随机变量X〜-1025，那么E(X)=_0.30.10.10.5_5•设x,x，A,x是来自正态总体N(卩,4)的一个样本，则丄穷x〜121010ii=16•设A,B均为3阶方阵，|A|=—6,|B|=3，则—(AB-1)3=—8•7•设A为n阶方阵，若存在数?和非零n维向量X，使得AX=九X，则称X为A相应于特征值？的特征向量._8.若P(A)=0.8,P(AB)=0.5，则P(AB)=9•如果随机变量X的期望E(X)=2，E(X2)=9，那么D(2X)=」n.10.不含未知参数的样本函数称为统计量11.设A,B均为3阶方阵，IAI=2,IBI=3，则|—3AB-1=-18.(012)12.设随机变量X〜，则a=(0.20.5a丿13•设X为随机变量，已知D(X)=3，此时D(3X―2)=27.14.设0是未知参数0的一个无偏估计量，则有—E(0)=°15•设|A|=112，贝/Al=0的根是1，-1，2,-2.16•设4元线性方程组AX=B有解且r(A)=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有3个解向量.17•设A,B互不相容，且P(A)>0，则P(BIA)=0.np.18•设随机变量X~B(n，p)，则E(Xnp.19.若样本x,x,19.若样本x,x,A,x来自总体X〜N(0,1)，且x=丄》x12nnii=1则x〜—N(0,1).n三、计算题(每小题16分，共64分)，求(1)|A|,1设矩阵A=2)A-1(1)II1—121—121—12(2)利用初等行变换得A=2—35=°—11=°—11=13—24°1—2°°一1j—1°922一1°°2°1'即即_—2°1_T°1°7—2—1T°1°7—2—1A—1=7—2—1°°15—1—1°°15—1—15—1—1解：2•当九取何值时,线性方程组Jx一x12x一2x12+x4+x+42•当九取何值时,线性方程组Jx一x12x一2x12+x4+x+4x=334有解，在有解的情况下求方程组的全部解．2x一3x+x+5x=九+21234解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形由此可知当九鼻3时，方程组无解。当九=3时，方程组有解此时相应齐次方程组的一般解为fx=x+2x<134Ix=x+3x234\o"CurrentDocument"分别令x3=1,x4\o"CurrentDocument"=111-=°,x4(X3,X4是自由未知量)=°及x3=°,x4=1，得齐次方程组的一个基础解系X=1111°]',X=(23°1]'12x3=°，x4=°，得非齐次方程组的一个特解X°=11-1°0]'由此得原方程组的全部解为X=X+kX+kX(其中k，k为任意常数)°1122123•设X〜N(3,4)，试求⑴P(5<X<9)；(2)P(X>7)•(已知①(1)=°.8413,①(2)=°.9772,①⑶=°.9987)解：⑴P(5<X<9)=&<宁<宁)=P(1<宁<3)=①(3)—①(1)=°.9987—°.8413=°.1574⑵P(X>7)=>2)=1—P<2)2222=1—①(2)=1—°.9772=°.°2284•已知某种零件重量X〜N(15,°.°9)，采用新技术后，取了9个样品，测得重量(单位：kg)的平均值为,已知方差不变，问平均重量是否仍为15(a=°°5,u°975=196)?解：零假设H°:卩=15.由于已知b2=°.°9，故选取样本函数U=工二牡〜N(0J)b%'n'已知x=14.9经计算得-b=°3=°1，v'9314.9—15°.1匸出=1<196=u故接受零假设，即零件平均重量仍为15.b、n°.9755•设矩阵1—1°2°°A=—121,B=°5°223°°5由已知条件u°975=196求A—1B「1°°—4—31「"—4-31一即T°1°—5—31A—1=—5—31°°164—164—1解：利用初等行变换得由矩阵乘法得—4—312°°—8—155A—1B=一5—31°5°=一1°—15564一1°°5122°一510.10.6•当九取何值时，线性方程组<x+x-2x-6•当九取何值时，线性方程组<x+x-2x-x=-21234有解，2x+x+7x+3x=6有解=X+1在有解的情况下求方程组的全部解.「11-2-1-2'「11-2-1-2_21736T0-1115109741X+10-22210X+1923解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形441239x+7x+4x1由此可知当九鼻1时，方程组无解。当九=1时，方程组有解。(x=—9x-4x此时齐次方程组化为L1=11x3+5x4分别令x3=1，x4=0及x3I234=0,x4=1，得齐次方程组的一个基础解系令x3=0,x4=0，得非齐次方程组的一个特解x0=k-100由此得原方程组的全部解为X=X0+k1X1+k2X2(其中k1,k2为任意常数)7•设X〜N(3,4)，试求：⑴P(X<1)；⑵P(5<X<7)•(已知①⑴=0.8413,①(2)=0.9772,①(3)=0.9987)解:⑴P(X<1)=PCX^3<)=P(<-1)=Q(-1)=1-①(1)=1-08413=01587222⑵P(5<X<7)=P(口<一<口)=P(1<心<2)2222=①(2)-①(1)=0.9772-08413=013598•某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布•今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为0062，试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(u0975=196)•解：由于已知b2，故选取样本函数U=王二匕〜N(0,1)已知无=15」，经计算得g\'n當=036=0.02滚珠直径均值的置信度为的置信区间为［x-u2,滚珠直径均值的置信度为的置信区间为［x-u2,x+u0.97590.975，又由已知条件u0.975二1.96，故此置信区间为[15.0608,15.1392]9.「1-9.「1-12「「2-15_2-35,B=0113-24设矩阵A=，且有AX=B'，求X•「1-12100「「1-12100「「1-12100'「1-12100'2-35010T0-11-210T0-11-210T01-12-10_3-24001_01-2-30100-1-5110015-1-1解：利用初等行变换得由矩阵乘法和转置运算得「1-10-922'「100-201'即「-「1-10-922'「100-201'即「-201'T0107-2-1T0107-2-1A-1=7-2-10015-1-10015-1-15-1-1=1求线性方程组—2的全部解.x-3x+x-x1234x-4x+3x+2x=112342x-4x+8x+2x=21234解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

X二(1000)'0x=1+5x1x=x24x=X二(1000)'0x=1+5x1x=x24x=一x434方程组的一般解为』（其中x4为自由未知量）令x4=0，得到方程的一个特解x=5x14x=x24x=一x34方程组相应的齐方程的一般解为（其中x4为自由未知量）1一1】）'.于是，方程组的全部解为x=X0+kX1（其中k为任意常数）11•据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度X〜N（32.5,L21），今从这批砖中随机地抽取了9块,测得抗断强度（单位：kg/cm2）的平均值为，问这批砖的抗断强度是否合格（a=005,u0975=196）•解：零假设H0：卩=32.5•由于已知b2=121，故选取样本函数U=丘二些〜N（0,］）已知x=3112,经计算得話二牛0.37'31.12-32.50.37由已知条件u0975经计算得話二牛0.37'31.12-32.50.37由已知条件u0975=196,=373>196=u0.975故拒绝零假设，即这批砖的抗断强度不合格12.设矩阵A=1012.设矩阵A=1011-100-11，求（AA'）-1•解：由矩阵乘法和转置运算得100「11-1「11-1AA'=11-1010=13-2利用初等行变换得-1010-11_-L-22_11一1100「「11-1100「「100201'「100201■13一2010T02-1-11000111201-1-10-1-1一220010-111010-1110100111214.+5x+3x=532x-414.+5x+3x=532x-4x12343x一6x+5x+2x=512344x一8x+15x+11x=151234求下列线性方程组的通解.'2-4535]'2-4535]〔1-20-10、(1-20-10、3-6525?1-20-10?00555?00111<4-8151115丿、00555丿、00555丿、00000丿解利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即Ix=2x方程组的一般解为：112丄1Ix=一x+134=x4=0，得方程组的一个特解X0=（°，°，x=2x+x124，x=一x34=1，x4=0，得导出组的解向量X1=（2,1=0，x4=1，得导出组的解向量X2=（10,方程组的导出组的一般解为：<，其中x2是自由未知量.1，0)'•其中x2，x4是自由未知量.0，0）'；一1】）'•所以方程组的通解为:「10020即(AA')-1=「201010011011001112112

X=X+kX+kX=(001,0)+k(21,00)+k(10—11)其中kk是任意实数.01122121215•设随机变量X~N(3,4)•求：(1)P(1〈X〈7)；(2)使P(X〈a)=成立的常数a.(已知①(1.0)=0.8413,①(1.28)=0.9,①(2.0)=0.9773).解：(1)P(1<X<7)=P(1—3<◎<7^3)=p(—1<—<2)=①⑵—①(—1)=+-1=(222)22)因为P(X2)因为P(X<a)=P(<a—3)=①(^3)=所以(22)2=1.28,a=3+2X1.2816.从正态总体N(卩,4)中抽取容量为625的样本，计算样本均值得x二，求卩的置信度为99%的置信区间•(已知口u—2.576)知0.995)解：已知b=2,n=625，且u=三二士~N(°,1)'n因为x=,«=0.01，1-牛二0.995，u訂2.576“%=2.576=0.20621—aSnv'62522所以置信度为99%的卩的置信区间为：［X—ub,X+u2］=［2.294,2.706］1—&、：n1—*Jn2217•某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布•今从一批产品里随机取出9个，测得直径平均值为15.1mm,若已知这批滚珠直径的方差为O.062，试找出滚珠直径均值的置信度为的置信区间(u0975=196).解：由于已知b2，故选取样本函数〃壬二丄N(01)已知X=I5」，经计算得字=006=0.02TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"U~N(0,1)逅3滚珠直径均值的置信度为的置信区间为［X—ub,X+u2］，又由已知条件u0975二1.96，故此置信0.97590.975J90.975区间为［15.0608,